Il pendolo di Maxwell - Dipartimento di Fisica

integrale: m∆ v =∫ fi() t dt che ci assicura che la variazione della quantità di moto
nell’urto uguaglia l’integrale dell’impulso fidt.
La forza di interazione nel nostro caso è pari alla variazione ∆τ della tensione del filo
prodotta dalla “collisione” .
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Abbiamo visto già che prima della collisione la tensione vale τ1=mg(1–1/k) e quindi,
dato che il sensore misura sempre la tensione τ(t), la variazione della forza elastica che
si sviluppa nell’urto può essere scritta fi(t)=τ(t)–τ1 ≈F(t)–mg, ove F(t) è la forza
misurata dal sensore.
La legge di Hooke ci consente di scrivere τ=K ∆x, ove K è la costante elastica del
doppio-filo e ∆x l’allungamento. Poichè mg=K∆x1, ove x1 è l’allungamento in
condizioni di equilibrio stabile, possiamo scrivere fi=K∆X, con ∆X=∆x–∆x1.
Se per il momento trascuriamo la rotazione durante l’impulso possiamo considerare il
pendolo come un sistema massa-molla, ed aspettarci che il moto sia una oscillazione
armonica la cui pulsazione ω è determinata esclusivamente dalla costante elastica e
dalla massa: ω=√K/m.
In questa approssimazione, ci aspettiamo che la forza di interazione (tensione del filo)
abbia anch’essa un andamento all’incirca armonico, e questo ci permette di ricavare una
stima di K dalla misura della durata dell’impulso ∆t.
Dal grafico di figura 8 possiamo stimare ∆t≈0.16 s, e nell’ipotesi fatta poniamo
∆t≈T/2, ove T è il periodo di questo moto armonico, ed ω=2π/T =la sua pulsazione.
Questa stima del periodo T≈0.32 s fornisce il valore ω2 =K/m≈400 s –1 , e , nota la
massa m≈0.23 kg, otteniamo la stima di K≈90 N/m
Se ora scriviamo per lo spostamento ∆X(t) della massa m dalla posizione x=0 (pari
all’allungamento per effetto della “collisione”) la relazione
∆X(t) = A sinωt = ∆Xmax sinωt, [11]
ove A è l’allungamento massimo del filo, per ricavare la velocità deriviamo rispetto al
tempo ottenendo la relazione
v(t) = Aω cosωt = vmax cosωt [12]
ove Aω è il valor massimo della velocità, che possiamo stimare ancora usando il grafico
di figura 8: Aω ≈ 0.1 m/s.
Questo ultimo risultato ci consente di stimare il valor massimo dell’allungamento:
A= Aω /ω ≈ 0.1 / 20 =5 mm, valore ragionevole.
Per verificare la attendibilità delle stime fatte sin qui, vale la pena di vedere se le misure
di accelerazione durante la collisione forniscono risultati compatibili. Deriviamo
rispetto altemo anche la relazione [12], ottenendo:
a(t) = A ω2 sinωt = amax sinωt, [13]
Le nostre stime ci fanno prevedere che il valor massimo della accelerazione dovrebbe
essere amax = A ω2 ≈ 0.005×400 =2 m/s2 . Ebbene dal grafico di figura 6 vediamo che
questo è proprio il valore misurato.
La stima che abbiamo fatto per la costante elastica del filo K≈90 N/m può essere ora
confrontata con quella fornita dal valore della forza massima registrato durante la
collisione (τmax≈0.45 N in figura 8) diviso per il massimo allungamento stimato
K= τmax/ ∆Xmax ≈ 90 N/m.
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