Il pendolo di Maxwell - Dipartimento di Fisica

Il momento di inerzia rispetto all’asse per un cilindro omogeneo di densità ρ, raggio R
e spessore s vale I=πR 4 sρ /2. Per il nostro pendolo, che è composto di quattro cilindri
coassiali, si ha :
4 4 4
4 4 4 4 4 ⎡ ⎧r
+ r + r ⎫⎤
1 2 3 2l
I = ( πρ/ 2)[ R s+ ( r1+ r2+ r3) 2l] = ( πρR
s/
2) ⎢1+
⎨
⎬⎥
[10]
4
⎣ ⎩ R s ⎭⎦
Il termine in parentesi grafa vale nel nostro caso circa 1.9×10-3 , che possiamo
trascurare rispetto all’unità. E’quindi giustificato approssimare I con il momento di
inerzia del solo disco: I≈mR2 /2,e porre k≈1+(R/r) 2 /2. Con i valori da noi usati
(R=47.5 mm, r=2 mm) otteniamo k≈283 e a= 0.035 m/s2 ,
Figura 6
Il valore misurato (a =0.044m/s 2 in figura 6) conferma l’ordine di grandezza della
nostra previsione, ma il valore sperimentale risulta in eccesso di oltre il 20% .
L’approssimazione fatta per il calcolo di I è dell’ordine di 0.2% e una correzione che
tenga conto del momento di inerzia dell’asse andrebbe a ridurre ancora di più il valore
teorico di a. Per “far tornare i conti” dobbiamo allora ipotizzare che nella costruzione
del nostro modello sia stato trascurato qualche aspetto del fenomeno studiato.
Osserviamo allora che nella relazione [1] abbiamo assunto nullo lo spessore del filo,
che nel nostro caso ha invece uno spessore di circa 0.4 mm.
Se supponiamo che la lunghezza del filo che si avvolge sull’asse resti costante al centro
della sezione del filo stesso 7 , allora il valore efficace del raggio dell’asse che abbiamo
usato va aumentato di metà del diametro del filo 8 , cioè 0.2 mm, e questo porta il valore
di k a 232, e il valore previsto dell’accelerazione diventa a =0.042 m/s 2 .
7 Facciamo cioè l’ipotesi che il filo sia un cilindro solido perfettamente elastico,
sottoposto ad una tensione costante, e ad una flessione con raggio di curvatura r..
8 Questa ipotesi può essere verificata qualitativamente ripetendo la misura con un filo
più sottile e con uno più spesso.
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