Il pendolo di Maxwell - Dipartimento di Fisica

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Il momento di inerzia rispetto all’asse per un cilindro omogeneo di densità ρ, raggio R e spessore s vale I=πR 4 sρ /2. Per il nostro pendolo, che è composto di quattro cilindri coassiali, si ha : 4 4 4 4 4 4 4 4 ⎡ ⎧r + r + r ⎫⎤ 1 2 3 2l I = ( πρ/ 2)[ R s+ ( r1+ r2+ r3) 2l] = ( πρR s/ 2) ⎢1+ ⎨ ⎬⎥ [10] 4 ⎣ ⎩ R s ⎭⎦ Il termine in parentesi grafa vale nel nostro caso circa 1.9×10-3 , che possiamo trascurare rispetto all’unità. E’quindi giustificato approssimare I con il momento di inerzia del solo disco: I≈mR2 /2,e porre k≈1+(R/r) 2 /2. Con i valori da noi usati (R=47.5 mm, r=2 mm) otteniamo k≈283 e a= 0.035 m/s2 , Figura 6 Il valore misurato (a =0.044m/s 2 in figura 6) conferma l’ordine di grandezza della nostra previsione, ma il valore sperimentale risulta in eccesso di oltre il 20% . L’approssimazione fatta per il calcolo di I è dell’ordine di 0.2% e una correzione che tenga conto del momento di inerzia dell’asse andrebbe a ridurre ancora di più il valore teorico di a. Per “far tornare i conti” dobbiamo allora ipotizzare che nella costruzione del nostro modello sia stato trascurato qualche aspetto del fenomeno studiato. Osserviamo allora che nella relazione [1] abbiamo assunto nullo lo spessore del filo, che nel nostro caso ha invece uno spessore di circa 0.4 mm. Se supponiamo che la lunghezza del filo che si avvolge sull’asse resti costante al centro della sezione del filo stesso 7 , allora il valore efficace del raggio dell’asse che abbiamo usato va aumentato di metà del diametro del filo 8 , cioè 0.2 mm, e questo porta il valore di k a 232, e il valore previsto dell’accelerazione diventa a =0.042 m/s 2 . 7 Facciamo cioè l’ipotesi che il filo sia un cilindro solido perfettamente elastico, sottoposto ad una tensione costante, e ad una flessione con raggio di curvatura r.. 8 Questa ipotesi può essere verificata qualitativamente ripetendo la misura con un filo più sottile e con uno più spesso. 8
Se alternativamente usiamo il valore sperimentale di k=g/a=223 per calcolare il valore efficace del raggio r troveremmo r =2.26 mm, corrispondente ad un filo di spessore 0.5 mm. Questo può insegnarci che i dettagli che a prima vista sembrano trascurabili si rivelano a volte più importanti del previsto. In questo caso infatti la correzione dovuta allo spessore finito del filo introduce una correzione del 27%, molto maggiore di quella relativa al momento di inerzia dell’asse ( 0.2%, che possiamo continuare a trascurare) . BISOGNA USARE UN DISCO OMOGENEO 9
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