Il pendolo di Maxwell - Dipartimento di Fisica

Il coefficiente k =1+I/mr 2 è il fattore di riduzione della accelerazione a rispetto al caso
di caduta libera, e il coefficiente I/mr 2 =(k–1) è pari al rapporto Er/Et tra energia
cinetica rotazionale e traslazionale.
All’ultima eguaglianza nella relazione [3] s può giungere o per similitudine con la
trattazione del moto dei gravi, o tramite la definizione di accelerazione come derivata
temporale della velocità:
dvx
( ) dvx
( ) dx
a = = =
dt
dx
dt
1
2
2g
± 1/ 2
( x) v( x)
2
1 I/ mr
1
+ ( )
4. La variazione del momento della quantità di moto.
g
I/ mr
= + ( ) =
2
g/ k
Allo stesso risultato si arriva usando l’equazione che uguaglia il momento delle forze
esterne T alla derivata del momento angolare L :
L
T =
t
d
[5]
d
Se calcoliamo il momento angolare rispetto all’asse di simmetria, dobbiamo tener conto
solo della tensione τ dei fili3 , dato che possiamo pensare la forza peso applicata al
baricentro (Figura 2) e quindi con momento risultante nullo rispetto all’asse.
In definitiva il momento totale delle forze agenti, che produce la rotazione è : T=τ r.
τ
mg
Figura 2
Il momento angolare è L=Iω,e la sua derivata vale dL/dt =Idω/dt=I(a/r). Quindi la
relazione[5] può essere riscritta:
τ r = (I/r) a [6]
D’altra parte, applicando la seconda legge di Newton per la forza risultante mg–τ
agente sul sistema, otteniamo una seconda relazione che lega tensione e accelerazione:
mg–τ =ma [7]
3 Ovviamente ciascuno dei due fili è soggetto a τ/2, ma come si è già notato tutto
avviene come se avessimo un solo filo verticale teso lungo la verticale passante per il
baricentro (cme nel caso dello Yo-Yo). I due momenti torcenti perpendicolari al piano
verticale contenente l’asse di simmetria nel pendolo di Maxwell sono uguali ed opposti
ed hanno quindi risultante nulla.
ω
[4]
4