Esplorazione MultiRobot.pdf - Automatica

Modello cinematico dell’uniciclo
I robot e-Puck utilizzati per le prove in laboratorio
hanno una struttura meccanica molto semplice,
modellizzabile direttamente come un uniciclo. La posizione
di un uniciclo su un piano è univocamente
determinata dalle coordinate:
⎡
q = ⎣ x
⎤
y ⎦
θ
Figura 11: Schema della struttura di un unicilo.
Lo stato di un uniciclo è descritto dalle equazioni:
˙x = v cos(θ)
˙y = v sin(θ)
˙θ = ω
dove v è la velocità lineare e ω la velocità angolare.
Il vincolo anolonomo imposto dalle ruote può essere
espresso dall’equazione:
˙x sin(θ) − ˙y cos(θ) = 0
che espressa in forma matriciale diventa:
sin(θ) − cos(θ)
⎡
˙x
0 ⎣ ˙y
˙θ
⎤
⎦ = 0
Per controllare un uniciclo esistono svariate tipologie
di controllo e la letteratura a riguardo è ampia.
Si è utilizzato per questo progetto il controllo con
linearizzazione dinamica 9 , già utilizzato con buoni
9 Dynamic Feedback Linearization, DFL
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risultati per i robot e-puck e la strumentazione del
laboratorio.
Per il controllo é conveniente introdurre uno stato
aggiuntivo ξ = v e si ottiene:
⎧
⎨
⎩
˙ξ = u1 cos θ + u2 sin θ
v = ξ
(u2 cos θ−u1 sin θ)
ω = ξ
(1)
dove u1 = ¨x e u2 = ¨y sono posti come ingressi. Considerando
l’errore di inseguimento di traiettoria così
definito:
e(t) =
ex(t)
ey(t)
=
x(t) − xr(t)
y(t) − yr(t)
(2)
è possibile stabilizzare il sistema mediante un PD così
costruito:
u1 = ¨xr + Kp1(xr − x) + Kd1( xr ˙ − ˙x)
(3)
u2 = ¨yr + Kp2(yr − y) + Kd1( yr ˙ − ˙y)
con Kp, Kd > 0.
Come spiegato in [?] quello considerato è un controllo
che permette l’inseguimento di una traiettoria
con buone prestazioni, a patto di avere a disposizione
una misura precisa della posizione e dell’angolo θ.
Il controllo così implementato ha una singolarità
quando si tenta di far muovere il robot nella direzione
del vincolo anolonomo, ovvero quando il riferimento
è lungo la retta passante per gli assi delle ruote.
Le equazione porterebbero in tal caso ad una velocità
angolare infinita. Per evitare quest’evenienza si
è impostato un limite inferiore alla velocità ξ sotto
al quale non viene calcolata la velocità angolare. Il
robot in questa evenienza non si muoverà (ξ 0 e
ω = 0 perchè imposto).
Nel tipo di esplorazione a celle considerato in
questo progetto una svolta di 90 ◦ è un evento molto
frequente. Tuttavia, a causa del rumore di misura,
un riferimento esattamente a 90 ◦ rispetto alla direzione
precedente di marcia in pratica non si verifica
mai. Con un tempo di campionamento adeguato
i robot sono in grado di girarsi in maniera soddisfacente,
come si può vedere dai dati sperimentali di
figura 12. Per maggior chiarezza della figura sono
plottati soltanto gli istanti di campionamento pari.