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第 四 章 直 角 球 三 與 象 限 球 三
1. 直 角 球 三 (Right Angled Triangles)
2. 象 限 球 三 (Quadrantal Triangles)
1. 直 角 球 三 (Right Angled Triangles)
1. 直 角 球 三 公 式 :
設 ∆ ) π
ABC 中 , γ = 則 下 列 十 式 恆 成 立 。
2
Rule1:
sin a = sinα
sin c
sin b = sin β sin c
cosc
= cos a cosb
cosα
= sin β cos a
cos β = sinα
cosb
Rule2:
tan a = tanα
sin b
tan b = tan β sin a
cosc
= cotα
cot β
tan a = cos β tan c
tan b = cosα
tan c
證 明 技 巧 : 由 右 式 化 至 左 式 。( 化 為 sin 邊 或 cos 邊 。 須 用 Rule 1。)
2. 記 憶 口 訣 :Napier’s Rule
Rule 1: 本 部 正 弦 = 對 部 餘 弦 之 積
Rule 2: 本 部 正 弦 = 鄰 部 正 切 之 積
1

3. 直 角 球 三 的 運 用 概 念 (Napier’s Rule)
任 給 a、b、c、α、β 中 任 兩 個 , 則 其 餘 三 個 可 求 出 。
例 : 已 知 a、b 求 c、α、β( 僅 能 用 a、b 表 達 )。
4. 直 角 球 三 的 性 質
設 ∆ ) π
ABC 中 , γ = 其 餘 各 邊 、 角 均 不 為 直 角 , 則 有 下 列 的 性 質 :
2
(1) a、b、c 三 者 為 銳 角 或 恰 有 一 角 為 銳 角 ( 三 邊 中 , 不 可 能 有 兩 個 為 銳 角 , 一 個 為 鈍 角
之 情 形 )。
(2) a 與 α 在 同 象 限 。b 與 β 在 同 象 限
註 : 証 明 時 , 不 能 用 sin。 因 為 sin 之 Ⅰ、Ⅱ 象 限 均 為 正 , 所 以 無 法 變 別 銳 、 鈍 角 。
2. 象 限 球 三 (Quadrantal Triangles)
2. 象 限 球 三 公 式 :
設 ∆ ) π
ABC 中 , C = 則 下 列 十 式 恆 成 立 。
2
令 ∆ ) A’B’C’ 為 ∆ ) ABC 極 ∆ ) π
則 γ ' = π − c = 。
2
Sina'
= Sinα'
Sinc'
Sinα
= SinaSinγ
Sinb'
= Sinβ
' Sinc'
Sinβ
= SinbSinγ
其 中 Cosc'
= Cosa'
Cosb'
變 成 Cosγ
= −CosαCosβ
Cosα'
= SInβ
' Cosa'
Cosa = SinbCosα
Cosβ
' = Sinα'
Cosb'
Cosb = SinaCosβ
2

Tana'
= Tanα'
Sinb'
Tanb'
= Tanβ
' Sina'
其 中 Cosc'
= Cotα'
Cotβ
'
Tana'
= Cosβ
' Tanc'
Tanb'
= Cosα'
Tanc'
變 成
Tanα
= TanaSinβ
Tanβ
= TanbSinα
Cosγ
= −CotaCotb
Tanα
= −CosbTanγ
Tanβ
= −CosaTanγ
2. 記 憶 口 訣 :Napier’s Rule
Rule 1: 本 部 正 弦 = 對 部 餘 弦 之 積
Rule 2: 本 部 正 弦 = 鄰 部 正 切 之 積
3. 象 限 球 三 的 運 用 概 念 (Napier’s Rule)
任 給 α、β、γ、a、b 中 任 兩 個 , 則 其 餘 三 個 可 求 出 。
例 : 已 知 α、β 求 γ、a、b( 僅 能 用 α、β 表 達 )。
4. 象 限 球 三 的 性 質
設 ∆ ) π
π
ABC 中 , C = 其 餘 各 邊 、 角 均 不 為 , 則 有 下 列 的 性 質 :
2
2
(1) α、β、γ 三 者 為 鈍 角 或 恰 有 一 角 為 鈍 角 。
(2) a 與 α 在 同 象 限 。b 與 β 在 同 象 限
註 : 証 明 時 , 用 Cosγ=-CosαCosβ 証 之 。
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