Problemi di Localizzazione - Massimo Paolucci

Modelli decisionali su grafi
-
Problemi di Localizzazione
Massimo Paolucci
(paolucci@dist.unige.it)
DIST – Università di Genova
Location Problems: modelli ed applicazioni
2
Decisioni a medio e lungo termine (pianificazione)
Caratteristiche dei modelli:
• Orizzonte temporale (mono-periodo, multi-periodo)
• Omogeneità dei flussi (single-commodity, multi-commodity)
• Livelli dei flussi (singolo livello, due livelli)
Imprese logistiche e di servizi:
• Localizzare nodi logistici (centri di produzione, magazzini, centri di
distribuzione)
• Dimensionare i flussi logistici (trasporti)
• Dimensionare le capacità dei nodi
• Localizzare servizi (ospedali, protezione civile)

Modello singolo prodotto a un livello
3
Un livello: costo trasporto a monte ed a valle del sistema
trascurabile
• Esempio: localizzazione di centri di distribuzione
V 2
V 1
siti potenziali
punti di domanda
• G = (V 1 ∪V 2 , A)
• ipotesi: domanda frazionabile, costi lineari
Modello singolo prodotto a un livello
4
Formulazioni
• d j , j∈V 2 livello di domanda in j
(dato)
• q i , i∈V 1 capacità del sito i (dato)
• u i , i∈V 1 livello di attività del sito i
(var. decisionale)
• s ij , i∈V 1 j∈V 2 quantità di prodotto
inviata da i a j (var. decisionale)
• c ij , i∈V 1 j∈V 2 costo del trasporto
tra i e j (dato)
• f i , i∈V 1 costo della produzione nel
sito i (dato)
∑
∑
∑
min cijsij
+ fu i i
i∈V
1j∈V2
i∈V
1
∑ sij
= ui
i∈V1
j∈V
2
∑ sij
= dj
j∈V2
i∈V
1
ui
≤ qi
i∈V1
sij
≥ 0 i∈V 1,j
∈V2
ui
≥ 0 i∈V1
• Cosa rappresentano i vincoli?

Modello singolo prodotto a un livello
5
Formulazioni
• Costo della produzione con set-up (attivazione)
f i set-up , g i costo marginale per la produzione nel sito i:
⎧fi
+ gu i i
F(u i i)
= ⎨
⎩0
ui
ui
≥ 0
= 0
• y i i∈V 1 var.binaria (1= sito i attivato, 0 = sito i non attivato)
• la formulazione si modifica
∑ fiui
i∈V1
→
∑
i
i∈V1
( f y + g u )
i
i
i
ui
≤
qi
→
ui
≤
yiqi
i ∈ V1
Modello singolo prodotto a un livello
6
Formulazioni
• Imporre un numero prefissato p di nodi da introdurre:
∑ y i = p
i∈V 1
• Variazione: individuare tra n possibili località quelle in cui ospitare p
centri di smistamento minimizzando la distanza totale
• Tutti i nodi in V possono ospitare i centri
• Non è importante la capacità produttiva
• Non ci sono costi di set-up
• ...
• Come si può formulare?

Modello singolo prodotto a un livello
7
Formulazioni
• Capacità minima q i- e massima q i+ di un sito: q i- y i ≤ u i ≤ q i+ y i
• Costi di esercizio lineari a tratti e concavi
f i ”
f i ’
⎧fi
' + g i'ui
⎪
F(u i i)
= ⎨ fi
" + g i"ui
⎪ ⎩ 0
u’ i
0 ≤ ui
≤ u i'
ui
≥ u i'
ui
= 0
Si sostituisce i con due nodi i’ e i”
Minimizzando solo uno dei due (quello a costo minore per la u i
ottima) sarà selezionato
Modello multi prodotto a due livelli
8
Formulazioni
• K prodotti diversi ma di classe omogenea
• V 1 insieme impianti produttivi
• V 2 insieme centri di distribuzione potenziali (di cui attivarne p)
• V 3 insieme dei punti di domanda
• p k i, i∈V 1 k∈K massima quantità di k realizzabile in i (cap. impianto)
• d k r, r∈V 3 k∈K livello di domanda di k in r non frazionabile
• q j- , q j+ j∈V 2 capacità min e max del centro j
• c k ijr, i∈V 1 j∈V 2 r∈V 3 k∈K costo trasporto di k da i a r via j
• f j , g j j∈V 2 costi fissi e marginali del centro j (dato)
• z j , j∈V 2 var. binaria associata alla selezione del centro j
• y jr , j∈V 2 r∈V 3 var. binaria associata alla assegnazione di r a j
• s k ijr, i∈V 1 j∈V 2 r∈V 3 k∈K quantità di k inviata da i a r via j

Modello multi prodotto a due livelli
min
c
k
s
k
∑ ∑ ∑ ∑ ijr ijr
i∈V1j∈V2r∈V3k
∈K
s
k
∑ ∑ ijr
j∈V2r∈V3
s
k
d
k
∑ = r y jr j ∈ V2,r
∈ V3,k
∈ K
ijr
soddisf. domanda
i∈V1
∑ y jr = 1 r ∈ V3
fornitura non frazionabile
j∈V2
q
−
z
d
k
j j ≤
r y jr ≤ q
+
∑ ∑
z j j ∈ V
j
2
r∈V3
k∈K
∑ z j = p
capacità centri
j∈V2
z j ∈ B j ∈ V2
numero centri da attivare
y jr ∈ B j ∈ V2,r
∈ V3
s
k
ijr
≤ p
k
i ∈ V1,k
∈ K
i
capacità impianti
≥ 0 i ∈ V1,
j ∈ V2,r
∈ V3,k
∈ K
⎛
⎞
+ f z g d
k
∑ ⎜
j j + j ∑ ∑ r y ⎟
jr
j∈V
⎜
2 r V3k
K
⎟
⎝ ∈ ∈ ⎠
9
Localizzazione: centri e mediane
10
I problemi di localizzazione possono essere modellati
come problemi di centro e di mediana su grafi:
• Problemi di mediana (minisum)
minimizzare la media delle distanze tra gli utenti ed il servizio
di afferenza
• Problemi di centro (minimax)
minimizzare la distanza tra utente e servizio nel caso
peggiore (per il cliente più lontano)
I problemi di centro sono spesso utili nel settore dei servizi
pubblici

Localizzazione: centri e mediane
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I punti di servizio possono essere localizzati sui nodi
(problemi di vertice) o in un punto qualsiasi degli archi e
dei nodi (problemi assoluti)
Definizioni
• è dato un grafo G=(V,E) generico
• è nota d(v i ,v j ) distanza tra due vertici per ogni coppia di vertici
• è noto w(v i ) peso di un vertice per ogni vertice
• si indica con d(x,y) la distanza tra due punti generici del grafo
1-mediana (assoluta) di G ogni punto x di G per cui è minima la
funzione
f(x) =
1
V
∑d(x,vi
) ⋅ w(vi)
vi∈V
Localizzazione: centri e mediane
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Teorema (Hakimi)
In un grafo connesso non orientato G esiste almeno un
vertice v che è anche 1-mediana
Definizioni
• dato un grafo G=(V,E) generico e le grandezze prima definite si
dice
eccentricità di un punto x la distanza pesata di x dal vertice
più lontano
e(x)
= max
v i ∈V
{ d(x,v )w(v ) }
1-centro (assoluto) di G il punto x avente eccentricità minima
i
i

Localizzazione: centri e mediane
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Definizioni
• dato un grafo G=(V,E) generico e le grandezze prima definite
• dato un insieme di p punti di G=(V,E), X p ={x 1 , x 2 ,...,x p } ed un vertice
v, si dice distanza di v da X p la quantità
d(v,Xp
) = min
xi∈X
d(v,xi
)
• Nota: se v è un cliente si assume che si serva dal punto più vicino
p
p-mediana (assoluta) di G ogni insieme di p punti X p
di G per
cui è minima la funzione
f(Xp)
= ∑ d(Xp,vi
) ⋅ w(vi
)
v ∈V
i
Localizzazione: centri e mediane
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Teorema (Hakimi)
In un grafo non orientato e connesso G=(V,E) esiste almeno
un insieme di p vertici che costituisce una p-mediana
assoluta
• Difficoltà
• Determinare la 1-mediana in grafi connessi e non orientati è
semplice (si sceglie il minimo delle somme pesate delle righe
della matrice delle distanze tra ogni coppia di nodi)
• Determinare la p-mediana su un grafo qualunque è un
problema NP-hard
• Nel caso di alberi è un problema polinomiale

Localizzazione: centri e mediane
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Definizioni
• dato un grafo G=(V,E) generico e le grandezze prima definite
• dato un insieme di p punti di G=(V,E), X p ={x 1 , x 2 ,...,x p }
p-centro (assoluto) di G=(V,E) ogni insieme di p punti X p di G
per cui è minima la funzione
• Difficoltà
r(Xp
) = max d(Xp,vi)
⋅ w(vi)
v ∈V
i
• Determinare il 1-centro vertice in grafi connessi è semplice (si
sceglie il minimo del massimo delle distanze pesate estratto da
ogni riga della matrice delle distanze tra ogni coppia di nodi)
• In grafi non orientati connessi il 1-centro si può determinare con
un metodo grafico
• Determinare il p-centro di un grafo qualunque è un problema
NP-hard
Localizzazione: centri e mediane
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Esempio
• Ipotesi: pesi unitari
v 4
6
4
v 5
v 3
v 1 8
2 2
6 v 2
f(v1)
=
f(v2)
=
f(v3)
=
f(v4)
=
f(v5)
=
24 ⎡0
26
⎢
⎢
8
30⇐⎢8
⎢
32 ⎢6
20 ⎢
⎣2
8
0
2
10
6
8
2
0
12
8
6
10
12
0
4
2⎤
e(v 1)
=
6
⎥
e(v2
) =
⎥
8⎥
⇒e(v3
) =
⎥
4⎥
e(v 4)
=
0⎥
⎦ e(v5
) =
8
10
12
12
8
1-mediana
1-centri Vertice

Localizzazione: centri e mediane
17
Il metodo grafico di Hakimi per il 1-centro assoluto
• Si considera un arco alla volta
• Per ciascun arco (v i ,v j ) determina il punto x ij di eccentricità minima
• Quindi tra i vari punti x ij determina il punto di eccentricità minima in
assoluto
v h w(v h )
d(v i ,v h ) d(v j ,v h )
v i
t
y
l(v i ,v j )
l-t
v j
d(y,v h ) = min { d(v i ,v h ) + t, d(v j ,v h ) + l(v i ,v j ) - t }
• Si tracciano gli andamenti delle d(y,v h )w(v h ) al variare di y in (v i ,v h )
rispetto ad ogni nodo v h quindi si determina l’inviluppo massimo di
tali grafici
• Il punto x ij di eccentricità minima per l’arco corrisponde ad uno dei
minimi dell’inviluppo massimo
Localizzazione: centri e mediane
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Il metodo grafico di Hakimi per il 1-centro assoluto
• Esempi di andamenti della distanza di y in un arco dai vertici
d (y,v h ) d (y,v h ) d (y,v h )
v i
y v j v v j
i y v v j
i y
• Sovrapponendo i grafici si determina l’inviluppo massimo ed il suo
minimo
d (y,v h )
max d(y,vh
) ⋅ w(vh)
∈V
v h
v i
x ij
y
v j

Localizzazione: centri e mediane
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Tecniche euristiche per la determinazione della p-
mediana (ottimi locali)
Approccio 1
1. Scegliere arbitrariamente p vertici u 1 ,...,u p
2. Assegnare ogni altro vertice ad uno dei p vertici scelti in base alla
minima distanza. Sia V i l’insieme dei vertici assegnati ad u i .
Calcolare la somma S delle distanze
3. Per ogni V i cercarelamediana z i e sostituirla a u i .Calcolarela
nuova somma S’ delle distanze. Se S’T
V 1
siti potenziali
j
t ij ≤Ta ij =1 i
t kj >T a kj =0
k
V 2
punti di domanda

Localizzazione: modelli di copertura
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Si utilizza il modello del Set-Covering
• Variabili decisionali:
‣ y j , j∈V 1 vettore d’incidenza, attivazione siti y j ∈B
‣ z i , i∈V 2 cliente non servito z j ∈B (slack binaria)
min ∑ fjyj
+ ∑ pizi
j∈V
1 i∈V
2
∑ aijyj
+ zi
≥ 1
j∈V
1
yj
∈B
j∈
V1
zi
∈B
i∈
V2
i∈
V2
• E’ un problema di set-covering (NP-hard)
Localizzazione: modelli di copertura
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Si utilizza il modello del Set-Covering
• Se i costi di attivazione dei siti fossero uguali tra loro ci si può
porre il problema di stabilire il numero minimo di siti da attivare per
servire i clienti nel tempo minimo complessivo
• x ij , i∈V 2 , j∈V 1 x ij ∈B cliente i servito dal sito j
• M costante sufficientemente grande (big-M)
min ∑ Myj
+ ∑ ∑ tijxij
j∈V
1 i∈V
2 j∈V1
∑ aijxij
≥ 1 i∈
V2
j∈V
1
xij
≤ yj
i∈
V2,j
∈ V1
yj
∈B
j∈
V1
xij
∈B
i∈
V2,j
∈ V1