Problemi di Network Flow - Massimo Paolucci

Problemi di 

Network Flow 

Massimo Paolucci 

(paolucci@dist.unige.it) 

DIST – Università di Genova 

Grafi di Flusso - Network Flow 

2 

I modelli di flusso (reti di flusso) sono utilizzati per prendere 

decisioni in vari contesti applicativi, e.g.: 

• sistemi di telecomunicazioni 

• trasporti 

• sistemi idraulici e/o sistemi meccanici 

Attraverso modelli di network flow si possono affrontare 

anche problemi in cui non “esiste” un vero e proprio flusso, 

e.g.: 

• problemi di percorso minimo 

• problemi di assegnazione 

• problemi di scheduling 

• problemi di pianificazione


3 

Dato un grafo G=(V, E) orientato con definite le seguenti 

grandezze: 

• d ij ∀(i, j)∈E capacità dell’arco (i, j) 

• w ij ∀(i, j)∈E costo del flusso in (i, j) 

• b i ∀i∈V flusso nel nodo i, dove: 

– b i >0 ⇒ sorgente 

– b i


5 

Un flusso a costo minimo in G: 

x ij ∈R ∀(i, j)∈E taleche 

min ∑ wijxij 

(i,j) ∈E 

s.t. (1) e 

(2) 

Caso particolare: 

il problema del trasporto 

G=(V 1 ∪V 2 , E) bipartito e tale che b i >0 ∀i∈V 1 e b i

Grafi di Flusso - Max Flow e Min Cut 

7 

Il Max Flow si puo’ formulare come problema lineare 

• b i =0 ∀i∈V\{s,t} 

• w ij =0 ∀(i,j)∈E (i,j)≠(t,s) 

• w ts =-1 

• Detto v il flusso da s a t: 

v 

= 

∑ 

x 

= 

∑ x = 

si 

(s,i) ∈ δ 

+ 

(s) (i,t) ∈δ 

− 

(t) 

it 

x 

ts 


8 

Il Max Flow si puo’ formulare come problema lineare 

Il problema del Max Flow 

max v 

s.t. 

∑ xij 

(i,j) ∈δ 

+ 

(i) 

0 ≤ xij 

≤ dij 

− ∑ x ji 

(j,i) ∈δ 

− 

(i) 

∀(i,j) 

∈E 

= 

⎧v 

⎪ 

⎨0 

⎪ 

⎩− 

v 

i = 

i ≠ 

i = 

s 

s,i ≠ 

t 

t


9 

Il Max Flow è strettamente legato al Min Cut 

• Taglio (Cut) 

Un taglio (U,U’) è una partizione di V 

• s-t cut 

L’insieme degli archi δ + (U)={(i,j)∈E, i∈U, j∈U’} dove 

s∈U e t∈U’. 


10 

Un esempio di s-t cut 

s 

t 

s-t cut 

• Capacità del taglio ∑ dij 

( i,j) ∈ δ + (U)


11 

Il problema del taglio minimo 

Trovare il s-t cut a minima capacità. 

Teorema (Max Flow - Min Cut) 

IL valore del flusso massimo da s a t è pari al flusso che 

può passare per il taglio minimo che separa s da t. 

Max Flow - Algoritmo di Ford-Fulkerson 

12 

Si basa sul concetto di cammino aumentante (augmenting 

path) rispetto ad un flusso x. 

i 

(x ij , d ij ) 

j 

Esempio 

(2,2) 

(1,3) 

2 

(1,4) 

4 

(1,1) 

s 

1 

(0,4) 

6 

t 

(2,8) 

3 

(2,2) 

5 

(3,5)


13 

Definiamo: Arco saturato 

Dato x, (i,j)∈E è saturato se x ij =d ij 

• Se P è un s-t path senza archi saturati allora posto: 

min (dij 

(i,j) ∈P 

− 

x ij ) 

= 

∆ 

il flusso x non è massimo ma può essere aumentato di ∆. 


14 

Se non esistono s-t path senza archi saturati allora x è un 

blocking flow. 

Nota: un blocking flow può non essere massimo 

Esempio 

s 

1 

+1 +1 -1 

3 4 

+1 +1 

2 5 6 

t 

Un’unità di flusso è rimandata da 4 a 2 (per poi proseguire 

verso 5).


15 

Cammino aumentante rispetto ad un flusso x 

Dato x si definisce un grafo orientato D(x)=(V, E(x)) tale che 

E(x) = {(i,j): (i,j)∈E, x ij 0} 

= E f (x) ∪ E r (x) 

dove E f (x) è l’insieme degli archi “forward”mentre E r (x) è 

l’insieme degli archi “reverse”. 


16 

Cammino aumentante rispetto ad un flusso x 

• Un s-t path in D(x) è un cammino aumentante rispetto a x 

• Un flusso ammissibile è massimo se non esiste un 

cammino aumentante rispetto a tale flusso. 

Esempio: D(x) 

2 

4 

s 

1 

6 

t 

3 

5 

cammino aumentante


17 

Labelling algorithm 

• L’algoritmo del cammino aumentante etichetta ogni 

nodo j con (p(j),∆), dove p(j) è il nodo predecessore da 

cui si riceve il flusso ∆. 


18 

L’algoritmo del cammino aumentante 

1) Inizializzazione 

Fissare un flusso ammissibile (e.g., x=0). Etichettare s con 

(s, ∞). 

Tutti gli altri nodi i∈V restano non etichettati. 

Porre i=s.


19 


2) Esame del nodo i 

• ∀j∈V tale che (i,j)∈E e x ij 0, j non etichettato, etichettare 

j con 

(i, min [∆, x ji ]) 

• marcare il nodo i come nodo esaminato. 


20 


3) Se il pozzo t è etichettato andare al passo 4. 

Scegliere un nodo i etichettato non esaminato ed andare al 

passo 2. 

Se non esistono nodi non esaminati il flusso corrente è 

massimo.


21 


4) Sia (p(j), ∆) l’etichetta di t. E’ stato trovato un cammino 

aumentante determinato a ritroso sino al nodo s dalla 

sequenza dei p(j). 

Il nuovo flusso è determinato aumentando di +∆ il flusso 

sugli archi forward del cammino e diminuendolo di -∆ sugli 

archi reverse. 

Eliminare tutte le etichette ed iterare al passo 1. 


22 

L’operazione di labelling sugli archi di G. 

Arco forward (d ij 0) 

(p(i), ∆) 

i 

(x ij , d ij ) 

j 

(i, min [∆, x ji ])


23 

Un esempio 

s 

1 

(2, 2) 

(1, 3) 

2 

(1, 4) 

(0, 4) 

4 

(1, 1) 

6 

t 

(2, 8) 

3 

(2, 2) 

5 

(3, 5) 


24 

Un esempio 

esame nodo 1: 

(2, 2) 

(s,∞) 1 

(1, 3) 

2 

(1, 4) 

(0, 4) 

4 

(1, 1) 

6 

t 

(2, 8) 

3 

(1,6) 

(2, 2) 

5 

(3, 5)


25 

Un esempio 

esame nodo 3: 

(2, 2) 

(s,∞) 1 

(1, 3) 

2 

(1, 4) 

(0, 4) 

4 

(3,4) 

(1, 1) 

6 

t 

(2, 8) 

3 

(1,6) 

(2, 2) 

5 

(3, 5) 


26 

Un esempio 

esame nodo 4: 

(2, 2) 

(s,∞) 1 

(4,1) 

(1, 3) 

2 

(1, 4) 

(0, 4) 

(3,4) 

4 

(1, 1) 

6 

t 

(2, 8) 

3 

(1,6) 

(2, 2) 

5 

(3, 5)


27 

Un esempio 

esame nodo 2: 

(2, 2) 

(s,∞) 1 

(4,1) 

(1, 3) 

2 

(1, 4) 

(0, 4) 

(3,4) 

4 

(1, 1) 

6 

t 

(2, 8) 

3 

(1,6) 

(2, 2) 

5 

(2,1) 

(3, 5) 


28 

Un esempio 

esame nodo 5: 

(2, 2) 

(s,∞) 1 

(4,1) 

(1, 3) 

2 

(1, 4) 

(0, 4) 

(3,4) 

4 

(1, 1) 

6 

(5,1) 

t 

(2, 8) 

3 

(1,6) 

(2, 2) 

5 

(2,1) 

(3, 5)


29 

Un esempio 

L’iterazione termina avendo trovato un cammino 

aumentante 

Il nuovo flusso 

(2, 2) 

s 1 

(0, 3) 

2 

(2, 4) 

(1, 4) 

4 

(1, 1) 

6 

t 

(3, 8) 

3 

(2, 2) 

5 

(4, 5) 


30 

Un esempio 

Inizia una nuova iterazione 

esame nodo 1: 

(2, 2) 

(s,∞) 1 

(0, 3) 

2 

(2, 4) 

(1, 4) 

4 

(1, 1) 

6 

t 

(3, 8) 

3 

(1,5) 

(2, 2) 

5 

(4, 5)


31 

Un esempio 

esame nodo 3: 

(s,∞) 

1 

(2, 2) 

(3, 8) 

Non è possibile etichettare alcun altro nodo. 

Il flusso trovato è massimo. 

2 

3 

(1,5) 

(2, 4) 

(1, 4) 

(0, 3) 

(2, 2) 

(3,3) 

4 

5 

(1, 1) 

(4, 5) 

6 

t 


32 

Un esempio 

• Si può verificare che tale flusso corrisponde al taglio 

minimo: 

L’algoritmo determina un Min Cut: 

U={i∈V nodo esaminato} 

U’=V\U 

s∈U e t∈U’ 

Ad esempio: U={1,3,4} 

U’={2,5,6}

Max Flow - Possibili varianti 

33 

Max Flow tra molte sorgenti e molti pozzi 

archi a capacità ∞ 

archi a capacità ∞ 

s 

t 1 

s 1 

... 

t 2 

s 2 

t 

t 3 

Ci si riconduce al caso precedente aggiungendo una 

sorgente ed un pozzo fittizi. 


34 

Grafi con capacità negli archi e nei nodi 

• Nodi con capacità c i . Il flusso entrante deve essere 

inferiore della capacità: 

∑ xhi 

∀(h,i) 

∈δ − 

(i) 

≤ 

ci 

Si aggiungono degli archi fittizi. 

arco a capacità c i 

c i 

i - i +


35 

Grafi con capacità negli archi e nei nodi 

• Archi non orientati. Si introduce una coppia di archi 

orientati 

i j i j 

• Archi orientati con capacità minima negativa. Si 

sostituiscono con una coppia di archi orientati con 

capacità sempre positiva 

i j i j 

-c ij ≤ d ij ≤ q ij 

0 ≤ d’ ij ≤ q ij 

0 ≤ d” ij ≤ c ij

Problemi di Network Flow - Massimo Paolucci

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