Modelli decisionali su grafi - Problemi di ... - Massimo Paolucci

Modelli decisionali su grafi-Problemi di LocalizzazioneMassimo Paolucci(paolucci@dist.unige.it)DIST – Università di GenovaPercorso Minimo tra tutte le coppie di verticiSi può applicare n volte Dijkstra oppure il più convenientealgoritmo di Floyd-Warshall2Algoritmo (Floyd-Warshall)1. Porre k=1, c ii =0 ∀i, c ij =∞ se (i,j)∉E2. ∀ i≠k : c ik ≠∞ e ∀ j≠k : c kj ≠∞ calcola c ij =min[c ij ,(c ik + c kj )]3. Se ∃ i con c ii < 0 ⇒ ∃ un ciclo negativo passante per i, non esistesoluzione finita e l’algoritmo termina.Se ∀ i, c ii ≥ 0e k=n ⇒ trovata la soluzione. La matrice [c ij ] fornisce ledistanze minime da ogni nodo i ad ogni nodo j. L’algoritmo termina.Se ∀ i, c ii ≥ 0e k≠n, k=k+1 e torna al passo (2).

Percorso Minimo tra tutte le coppie di vertici3• L’algoritmo di Floyd-Warshall si può applicare anche inpresenza di costi negativi.• Al passo k-mo la matrice [c ij ] fornisce le distanze minimetra ogni coppia di nodi considerando solo l’insieme{1,2,...,k} di possibili nodi intermedi.• Per determinare i percorsi si può usare il metodo,proposto da Hu, per conservare l’informazione dellasequenza di nodi da seguire: ....Percorso Minimo tra tutte le coppie di vertici4Il metodo di Hu• Si definisce la matrice [p ij ] tale che p ij è il nodoimmediatamente precedente j nel percorso minimo tra i e j.• Si inizializza p ij =i• Si aggiorna ad ogni passo (2) la matrice [p ij ] come segue:pij=⎧pkj⎨⎩pijsesecik+ ckj< cijcij≤ cik+ ckjAlla fine il percorso minimo tra i e j si può trovare seguendo aritroso la sequenza p ij =w, p iw =z, p iz =k, .... , p ih =i.

Percorso Minimo tra tutte le coppie di vertici5Se si inizializza con c ii = ∞, nella soluzione c ii rappresenta ilcosto (lunghezza) del più breve ciclo che passa per il nodo i.(esempio)Location Problems: : modelli ed applicazioni6 Decisioni a medio e lungo termine (pianificazione) Caratteristiche dei modelli:• Orizzonte temporale (mono-periodo, multi-periodo)• Omogeneità dei flussi (single-commodity, multi-commodity)• Livelli dei flussi (singolo livello, due livelli) Imprese logistiche e di servizi:• Localizzare nodi logistici (centri di produzione, magazzini, centri didistribuzione)• Dimensionare i flussi logistici (trasporti)• Dimensionare le capacità dei nodi• Localizzare servizi (ospedali, protezione civile)

Modello singolo prodotto a un livello7 Un livello: costo trasporto a monte ed a valle del sistematrascurabile• Esempio: localizzazione di centri di distribuzioneV 2V 1siti potenzialipunti di domanda• G = (V 1 ∪V 2 , A)• ipotesi: domanda frazionabile, costi lineariModello singolo prodotto a un livello8 Formulazioni• d j, j∈V 2livello di domanda in j (dato)• q i, i∈V 1capacità del sito i (dato)• u i, i∈V 1livello di attività del sito i (var.decisionale)• s ij, i∈V 1j∈V 2quantità di prodottoinviata da i a j (var. decisionale)• c ij, i∈V 1j∈V 2costo del trasporto tra ie j (dato)• f i, i∈V 1costo della produzione nel sitoi (dato)• Cosa rappresentano i vincoli?min ∑ ∑ cijsij+ ∑ fu i ii∈V1j∈V2i∈V1∑ sij= uii∈V1j∈V2∑ sij= djj∈V2i∈V1ui≤ qii∈V1sij≥ 0 i∈V 1,j∈V2ui≥ 0 i∈V1

Modello singolo prodotto a un livello9 Formulazioni• Costo della produzione con set-up (attivazione)f i set-up , g i costo marginale per la produzione nel sito i:⎧fi+ gu i iF(u i i)= ⎨⎩0ui≥ 0ui= 0• y i i∈V 1 var.binaria (1= sito i attivato, 0 = sito i non attivato)• la formulazione si modifica∑ fiui→ ii∈V1i∈V1∑ ( f y + g u )iiiui≤ qi→ ui≤ yiqii ∈ V1Modello singolo prodotto a un livello10 Formulazioni• Imporre un numero prefissato p di nodi da introdurre:∑ y i = pi∈V 1• Variazione: individuare tra n possibili località quelle in cui ospitare pcentri di smistamento minimizzando la distanza totale• Tutti i nodi in V possono ospitare i centri• Non è importante la capacità produttiva• Non ci sono costi di set-up• ...• Come si può formulare?

Modello singolo prodotto a un livello11 Formulazioni• Capacità minima q i- e massima q i+ di un sito: q i- y i ≤ u i ≤ q i+ y i• Costi di esercizio lineari a tratti e concavi⎧fi' + g i'uif i ”⎪F i(u i)= ⎨ fi" + g i"uif i ’⎪ ⎩ 0u’ iSi sostituisce i con due nodi i’ e i”0 ≤ ui≤ u i'ui≥ u i'ui= 0Minimizzando solo uno dei due (quello a costo minore per la u iottima) sarà selezionatoModello multi prodotto a due livelli12 Formulazioni• K prodotti diversi ma di classe omogenea• V 1insieme impianti produttivi• V 2insieme centri di distribuzione potenziali (di cui attivarne p)• V 3insieme dei punti di domanda• p k i , i∈V 1k∈K massima quantità di k realizzabile in i (cap. impianto)• d k r , r∈V 3k∈K livello di domanda di k in r non frazionabile• q j-, q j+j∈V 2capacità min e max del centro j• c k ijr , i∈V 1 j∈V 2 r∈V 3k∈K costo trasporto di k da i a r via j• f j, g jj∈V 2costi fissi e marginali del centro j (dato)• z j, j∈V 2var. binaria associata alla selezione del centro j• y jr, j∈V 2r∈V 3var. binaria associata alla assegnazione di r a j• s k ijr , i∈V 1 j∈V 2 r∈V 3k∈K quantità di k inviata da i a r via j

Modello multi prodotto a due livelli⎛⎞minckskf z g dk∑ ∑ ∑ ∑ + j j jr yijr ijr ∑ ⎜ + ∑ ∑ ⎟jri∈V1j∈V2r∈V3k∈Kj∈V⎜2 r V3kK⎟⎝ ∈ ∈ ⎠skpk∑ ∑ ≤ijr ij∈V2r∈V3skdk∑ = r y jr j ∈ V2,r∈ V3,k∈ Kijri∈V1∑ y jr = 1 r ∈ V3j∈V2q−zdkj j ≤r y jr ≤ q+∑ ∑z j j ∈ Vj2r∈V3k∈K∑ z j = pj∈V2z j ∈ B j ∈ V2y jr ∈ B j ∈ V2,r∈ V3i ∈ V1,k∈ Ksk≥ 0 i ∈ V1,j ∈ V2,r∈ V3,k∈ Kijrcapacità impiantisoddisf. domandafornitura non frazionabilecapacità centrinumero centri da attivare13Localizzazione: centri e mediane14 I problemi di localizzazione possono essere modellaticome problemi di centro e di mediana su grafi:• Problemi di mediana (minisum)minimizzare la media delle distanze tra gli utenti ed il serviziodi afferenza• Problemi di centro (minimax)minimizzare la distanza tra utente e servizio nel casopeggiore (per il cliente più lontano) I problemi di centro sono spesso utili nel settore dei servizipubblici

Localizzazione: centri e mediane15 I punti di servizio possono essere localizzati sui nodi(problemi di vertice) o in un punto qualsiasi degli archi edei nodi (problemi assoluti) Definizioni• è dato un grafo G=(V,E) generico• è nota d(v i ,v j ) distanza tra due vertici per ogni coppia di vertici• è noto w(v i ) peso di un vertice per ogni vertice• si indica con d(x,y) la distanza tra due punti generici del grafo1-mediana (assoluta) di G ogni punto x di G per cui è minima lafunzionef(x) =1V∑d(x,v) ⋅ w(v )vi∈ViiLocalizzazione: centri e mediane16 Teorema (Hakimi)In un grafo connesso non orientato G esiste almeno unvertice v che è anche 1-mediana Definizioni• dato un grafo G=(V,E) generico e le grandezze prima definitesi diceeccentricità di un punto x la distanza pesata di x dal verticepiù lontanoe(x)= max { d(x,vi)w(vi)}v i ∈V1-centro (assoluto) di G il punto x avente eccentricità minima

Localizzazione: centri e mediane17 Definizioni• dato un grafo G=(V,E) generico e le grandezze prima definite• dato un insieme di p punti di G=(V,E), X p ={x 1 , x 2 ,...,x p } ed unvertice v, si dice distanza di v da X p la quantitàd(v,Xp) = min d(v,xi)xi∈Xp• Nota: se v è un cliente si assume che si serva dal punto più vicinop-mediana (assoluta) di G ogni insieme di p punti X p di G percui è minima la funzionef(Xp)= ∑ d(Xp,vi) ⋅ w(vi)vi∈VLocalizzazione: centri e mediane18 Teorema (Hakimi)In un grafo non orientato e connesso G=(V,E) esiste almenoun insieme di p vertici che costituisce una p-medianaassoluta• Difficoltà• Determinare la 1-mediana in grafi connessi e non orientati èsemplice• Determinare la p-mediana su un grafo qualunque è unproblema NP-hard• Nel caso di alberi è un problema polinomiale

Localizzazione: centri e mediane19Algoritmo per il calcolo della mediana1. Calcolare la matrice D(G)=[d(v i ,v j )] delle distanze fra ognicoppia di vertici e moltiplicare ogni colonna j-ma per ilpeso w(v j ). Sia D’(G) la matrice così ottenuta.2. Sommare gli elementi di ciascuna riga di D’(G) escegliere la riga h-ma corrispondente alla sommaminima. Il vertice v h è la mediana di G.Localizzazione: centri e mediane20Esempio (con pesi dei vertici unitari)MedianaassolutaVV 21 566475V 4 3V 165510V 76 V 89V 6V 32

Localizzazione: centri e mediane21Esempio (con pesi dei vertici unitari)sommaD(G) =V1⎡ 0V ⎢2 11⎢V3⎢ 8V ⎢4 4⎢V5⎢V⎢6 M⎢V7⎢V⎢8 ⎣151105715850121947120117593M106621021912175615⎤15⎥⎥19⎥11⎥⎥⎥M⎥⎥⎥0⎥⎦6061725253717297V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 V 8Localizzazione: centri e mediane22Mediana di un alberoRisultatiDato un albero T, con archi e nodi pesati, se si elimina unarco qualsiasi (u, z) si ottengono due sotto alberi T u e T z .T uuzT z

Localizzazione: centri e mediane23Mediana di un alberoU = insieme dei nodi di T uZ = insieme dei nodi di T zLa mediana appartiene ad U se e solo se w(U)≥w(Z).TeoremaPosto w(U)≥w(Z) la determinazione della mediana di T èequivalente a quella del sotto-albero T u in cui al posto delpeso del vertice u si sostituisce la somma w(u)+w(Z).Localizzazione: centri e mediane24Mediana di un alberoAlgoritmo per il calcolo della mediana di un albero(1) Scegliere un nodo v i di grado 1.(2) Se w(v i )≥w(V)/2 allora v i è la mediana assoluta;se w(v i )

Localizzazione: centri e mediane25 Definizioni• dato un grafo G=(V,E) generico e le grandezze prima definite• dato un insieme di p punti di G=(V,E), X p ={x 1 , x 2 ,...,x p }p-centro (assoluto) di G=(V,E) ogni insieme di p punti X p di Gper cui è minima la funzioner(Xp) = max d(Xp,vi) ⋅ w(vi)vi∈V• Difficoltà• Determinare il 1-centro vertice in grafi connessi è semplice• In grafi non orientati connessi il 1-centro si può determinare conun metodo grafico• Determinare il p-centro di un grafo qualunque è un problemaNP-hardLocalizzazione: centri e mediane26Algoritmo per il calcolo del centro vertice(1) Calcolare la matrice D(G)=[d ij ] delle distanze fra ognicoppia di vertici (v i ,v j ).(2) Moltiplicare ogni colonna j-ma per il peso w(v j ).(3) Determinare il massimo su ogni riga ottenendoe(vi)= maxv j∈V{ d ⋅ w(v ) }(4) Il centro vertice x è il vertice a cui corrisponde il valoreminimo tra gli e(v i ).ijj

Localizzazione: centri e mediane27 Esempio• Ipotesi: pesi unitariv 464v 5v 3v 1 82 26 v 2f(v1)=f(v2)=f(v3)=f(v4)=f(v5)=24 ⎡026⎢⎢830⇐⎢8⎢32 ⎢620 ⎢⎣280210682012861012042⎤e(v1) =6⎥e(v2) =⎥8⎥⇒e(v3) =⎥4⎥e(v4) =0⎥⎦ e(v5) =810121281-mediana1-centri VerticeLocalizzazione: centri e mediane28 Il metodo grafico di Hakimi per il 1-centro assoluto• Si considera un arco alla volta• Per ciascun arco (v i,v j) determina il punto x ijdi eccentricità minima• Quindi tra i vari punti x ijdetermina il punto di eccentricità minima inassolutov h w(v h )v id(v i ,v h ) d(v j ,v h )tyl(v i ,v h )d(y,v h ) = min { d(v i ,v h ) + t, d(v j ,v h ) + l(v i ,v h ) - t }• Si tracciano gli andamenti delle d(y,v h)w(v h) al variare di y in (v i,v h) rispettoad ogni nodo v hquindi si determina l’inviluppo massimo di tali grafici• Il punto x ijdi eccentricità minima per l’arco corrisponde ad uno dei minimidell’inviluppo massimol-tv j

Localizzazione: centri e mediane29 Il metodo grafico di Hakimi per il 1-centro assoluto• Esempi di andamenti della distanza di y in un arco dai verticid (y,v h ) d (y,v h ) d (y,v h )v iy v j v v ji y v v ji y• Sovrapponendo i grafici si determina l’inviluppo massimo ed il suominimod (y,v h )max d(y,vh) ⋅ w(vh)v h ∈Vv iyv jx ij30Localizzazione: centri e mediane Tecniche euristiche per la determinazione della p-mediana (ottimi locali)Approccio 11. Scegliere arbitrariamente p vertici u 1 ,...,u p2. Assegnare ogni altro vertice ad uno dei p vertici scelti in base allaminima distanza. Sia V i l’insieme dei vertici assegnati ad u i .Calcolare la somma S delle distanze3. Per ogni V i cercare la mediana z i e sostituirla a u i . Calcolare lanuova somma S’ delle distanze. Se S’

Localizzazione: modelli di copertura33 Si utilizza il modello del Set-Covering• Se i costi di attivazione dei siti fossero uguali tra loro ci si puòporre il problema di stabilire il numero minimo di siti da attivare perservire i clienti nel tempo minimo complessivo• x ij , i∈V 2 , j∈V 1 x ij ∈B cliente i servito dal sito j• M costante sufficientemente grande (big-M)min ∑ Myj+ ∑ ∑ tijxijj∈V1 i∈V2 j∈V1∑ aijxij≥ 1 i∈V2j∈V1xij≤ yji∈V2,j∈ V1yj∈Bj∈V1xij∈Bi∈V2,j∈ V1