Teoria delle Decisioni - Massimo Paolucci

La teoria delle decisioni3! Un semplice esempio• The newsvendor model:" Un venditore di giornali deve decidere di quanto rifornirsi" Acquista i giornali a 40 e li vende a 75" Non conosce a priori quale sarà la domanda di giornali" Se si rifornisce in eccesso perde l’investimento (40 per invenduto)" Se si rifornisce in difetto perde potenziali clienti (stima 50 per cliente)" Se ad esempio i livelli di domanda fossero d=0,1,2,3Livello della domandaDecisione012300-50-100-1501-4035-15-652-80-570203-120-4530105La teoria delle decisioni4! Fasi dell’analisi decisionale (Decision Analysis, DA)• Individuazione delle alternative A i , i=1,...,m (mutuamente esclusive)• Individuazione degli eventi futuri (stati della natura) S j , j=1,...,n(esaustivi e mutuamente esclusivi)UjSj= S S j ∩ S k=∅• Calcolo (stima) degli esiti della scelta nei diversi stati della natura(payoff) V ij , i=1,...,m; j=1,...,nMatrice dei PayoffA 1MA mS 1⎡ V 11⎢⎢M⎢⎣V m 1LLV ijLS nV 1nMV mn⎤⎥⎥⎥⎦

La teoria delle decisioni5! Fasi dell’analisi decisionale• Valutazione delle alternative! Tre classi di decisioni• Decisioni in condizioni di certezza" lo stato futuro della natura (esiti della decisione) sono certi• Decisioni in condizioni di rischio" lo stato futuro della natura è noto in probabilità• Decisioni in condizioni di incertezza" non si conosce nulla circa lo stato futuro della natura• Sono tre modelli “artificiali” (nella realtà non si verificano quasi mai)• Si cerca di modellare le situazioni di informazione imperfetta oparzialeLa teoria delle decisioni6certezza rischio incertezzaProdMix c jc j var. aleatoriep(c j )c j ∈{c j1 , c j2 , c j3 }Imperfezione dell’informazioneInaffidabilità dei modelli(insoddisfazione delle soluzioni)! Condizioni di rischio• la probabilità fornisce una misura del “rischio” di una decisioni• normalmente è una probabilità soggettiva (stima)

La teoria delle decisioni7! Nella realtà i fattori soggettivi (emotivi, avversione alrischio, valutazioni non quantitative) giocano un ruolofondamentale! La teoria delle decisioni fornisce un supporto metodologicoper confrontare alternative decisionali! I metodi assumono un comportamento razionale deldecisore (Decision Maker, DM):• “Un DM è razionale se sceglie l’alternativa che giudica la migliore”• Assunzioni della DA:" il DM è in grado di quantificare i suoi giudizi sui possibili stati futuridella natura (probabilità soggettive)" il DM è in grado di specificare le sue preferenze circa la desiderabilitàdelle alternative (teoria dell’utilità)" il DM (consistentemente rispetto alle probabilità soggettive e allapropria utilità) sceglie l’alternativa che massimizza l’utilità attesaLa teoria delle decisioni8! Decisioni strutturate e non strutturateStrutturateCertezzaRipetivitàOperativeObiettivo singoloProcedure disponibiliNon strutturateIncertezzaUnicitàStrategicheObiettivi multipli contrastantiNon esistono procedureDM sempre razionaliDM spesso non razionali! Ruolo della DA• fornire strumenti metodologici che aiutano i DM a prenderedecisioni rationali, ossia consistenti con i loro giudizi di preferenza

La teoria delle decisioni9! Teoria delle decisioni vs Teoria dei giochi• Nella Game Theory si ipotizza la presenza di più DM cheoperano in competizione ⇒ la decisione del DM è presa inpresenza di entità intelligenti che agiscono in opposizione(tendono a determinare uno stato futuro sfavorevole per ilDM) e possono subire a loro volta conseguenze (negative) inseguito alla decisione del DM• Nella Decision Analysis non esiste un entità che opera inopposizione ma un’entità, la “natura”, che determina lo statofuturo restando indifferente rispetto alle decisioni del DM(l’oppositore è la natura che non agisce in modo malevolo)D.A. – Decisioni in condizioni di rischio10! Si suppongono specificate le probabilità (soggettive) deglistati futuri della natura! Si basano sulla massimizzazione del valore atteso• Alternative A i , i=1,...,m• Stati delle natura S j , j=1,...,n• Probabilità di occorrenza degli stati p(S j ): 0 ≤ p(S j)≤ 1 ∑ p(S j)= 1j• Matrice dei payoff V (nxm) V =[V ij ,i=1,...,m j=1,...,n]• Valore monetario atteso dell’alternativa iEVi= ∑n p(Sj 1=j)Vij• Valore monetario atteso massimo (EV)⎧EV = max EV ⇒*i A = ⎨Ai: ii⎩=⎫arg max EVi⎬i ⎭

D.A. – Decisioni in condizioni di rischio11! Il criterio del massimo EV non è generalmente accettabile• Esempio: decidere un investimentoInvestimentodi 20.000p=0,51-p=0,5100.0000EV = 50.000Guadagno atteso = EV – Investimento = 30.000Due diversi decisori:" DM 1: una perdita > 5.000 corrisponde alla bancarotta ⇒ non investe" DM 2: dispone di un surplus di capitale ⇒ investeLa decisione dipende dalla diversa propensione del DM a rischiareD.A. – Decisioni in condizioni di rischio12! Il criterio del massimo EV non è generalmente accettabile• Esempio 2: una diversa opportunità di un investimento per DM 1Investimentodi 5.000p=0,51-p=0,523.0000EV = 11.500Guadagno atteso = EV – Investimento = 6.500Anche se il EV è molto inferiore DM 1 questa volta accetta diinvestire !

D.A. – Decisioni in condizioni di rischio13! Il criterio del massimo EV non è generalmente accettabile• Perchè il criterio del massimo valore atteso monetario nonfunziona?• Si basa sull’ipotesi che la situazione decisionale si possa ripetereun numero sufficiente grande di volte:" se Z i, i=1,..n sono le realizzazioni di una var.aleatoria Z con media E[Z]e varianza σ 2 ..." la media della sequenza campionaria tende a E[Z] per n→∞ dato chela varianza della sequenzaσ2→n• Il criterio si basa sulla legge dei grandi numeri ma la decisionereale è unica e non può essere ripetuta0D.A. – Decisioni in condizioni di rischio14! La decisione è presa considerando l’utilità attesa! L’utilità è una misura (cardinale) della preferenza di un DMin presenza di rischio! Tiene conto dei payoff delle alternative ma anche delladiversa avversione o propensione al rischio del DM! La funzione di utilità, U(.), fornisce un valore numerico cheè legato al valore intrinseco della decisione per un DM! U(.) esprime una misura soggettiva:• se A > B (A è preferita a B) ⇒ U(A) > U(B)• U(A) è una misura proporzionale alla preferenza del DM per A• è determinata fissando l’origine (zero) e la scala dei valori di utilità

D.A. – Decisioni in condizioni di rischio15! Costruzione della funzione di utilità (l’esperimento di VonNeumann-Morgenstern)• La lotteria standard (standard lottery) S(p)SceltapX E U(X E)1-pX D U(X D)• X E è l’alternativa più desiderabile (utilità massima)• X D è l’alternativa meno desiderabile (utilità minima)• Data un’alternativa A, U(A) si costruisce chiedendo al DM dispecificare per quale livello di p risulta indifferente scegliere A opartecipare alla lotteria S(p)• U(A) = EV(S(p)) = pU(X E )+(1-p)U(X D )D.A. – Decisioni in condizioni di rischio16! Costruzione della funzione di utilità: la CME (Certezzamonetaria Equivalente)1retta del valore attesop E i =p i X E +(1-p i )X DiCME ifunzionedi utilitàavversione alrischio0X DA iX E• La CME è il massimo valore che il DM è disposto a pagare per unalotteria con probabilità p i ,ossia con EV pari ad A i

D.A. – Decisioni in condizioni di rischio17! Costruzione della funzione di utilità: la CME (Certezzamonetaria Equivalente)• La CME è anche la minima somma a cui il DM è disposto a cedereil diritto a partecipare alla lotteria S(p i )" Esempio: lotteria con premi A e B1ABV j50020,5402U j500p1-pSe p=0,5EV=500p+2(1-p)=251EU=40p+2(1-p)=21 # U(CME(EV))02 CME 251U j 2 21 40V j18D.A. – Decisioni in condizioni di rischio! Costruzione della funzione di utilità: L’avversione al rischio• La curva di utilità indica l’avversione o propensione al rischiodel DMDM avverso al rischio(concava)DM propenso al rischio(convessa)• L’andamento della curva per un DM può variare nel tempo• La curva è non decrescente (l’utilità cresce con il ritorno)• Com’è la curva nel caso di indifferenza al rischio?

D.A. – Decisioni in condizioni di rischio19! Alberi decisionali• Formalizzano le decisioni in condizioni di rischio in base alcriterio del valore (utilità) attesa (Ipotesi: i payoff esprimonol’utilità del DM)• Mettono in evidenza le conseguenze delle decisioni• Utili per studiare processi decisionali a stadi (sequenza didecisioni)• Elementi:" nodi di decisione: scelta tra alternative" nodi evento: si verifica uno tra più stati della natura" nodi terminali: foglie dell’albero con associati i valori diguadagno (utilità) determinato dalla catena di decisioni edeventiD.A. – Decisioni in condizioni di rischio20! Alberi decisionali• EsempieventiconseguenzeA 1A mp 1p nc m1......punto didecisionealternative

D.A. – Decisioni in condizioni di rischio21! Alberi decisionali• Esempio" la ditta Acme vuole introdurre un nuovo prodotto non completamentetestato sul mercato" il prodotto se introdotto troppo in anticipo potrebbe non soddisfare iclienti perchè presenta ancora difetti" se Acme attende la concorrenza potrebbe precederla annunciando ilproprio prodotto rubandole fette di mercato" la decisione si sviluppa su T=3 periodi (e.g., mesi)" sono stati stimanti per t=1,...,T:–r tprofitto se Acme immette il prodotto prima della concorrenza–g tprofitto se Acme immette il prodotto insieme alla concorrenza–h tprofitto se Acme immette il prodotto dopo la concorrenza" supponiamo che r t> g t> h t(anche se per t=1 potrebbe non valere)D.A. – Decisioni in condizioni di rischio22! Alberi decisionali• Esempio" p tla probabilità (soggettiva stimata) che la concorrenza annunci ilprodotto sul mercato nel periodo t" Acme ha deciso di immettere il prodotto comunque se la concorrenzaannuncia il proprioimmissioneannunciop 1g 11-p 1non annuncior 10nonimmissionep 11-p 1h 1

D.A. – Decisioni in condizioni di rischio23! Alberi decisionali• Esempio" Si calcola il EV e lo si associa ad ogni nodo evento" Si calcola il massimo EV tra i nodi evento e lo si associa al nododecisioneimm.EV immp 1nonimm.annuncioEV imm =p 1 g 1 +(1-p 1 )r 1EVr non imm =p 1 h 11p 1h 1EV 1-p 10non immg 11-p 1non annunciof 1 =max [EV imm , EV non imm ]f 124D.A. – Decisioni in condizioni di rischio! Alberi decisionali• Esempio: T=3 periodi e per t=3 si stima che la concorrenza annuncieràcertamenteimm.annuncioEV immp 1g 11-p 1non annuncior 1p 2nonimm.EV non immf 1f 2imm.p 11-p 1h 1nonimm.1-p 2p 2g 2h 2p 3imm.1-p 2f 3p 3g 3r 2h 3non imm.

D.A. – Decisioni in condizioni di rischio25! Alberi decisionali• Esempio" Si procede a ritroso dallo stadio 3 (backward come per la P.D.)p 3imm.f 3nonimm.p 3h 3g 3EV i 3 = p 3 g 3EV ni 3 =p 3 h 3p 3 = 1f 3 = max [EV i 3, EV ni 3 ]= g 3D.A. – Decisioni in condizioni di rischio26! Alberi decisionali• Esempio" Per t=2p 2EV i 2 = p 2 g 2 + (1- p 2 )r 2imm.1-p 2g 2h 2r 2EV ni 2 = p 2 h 2 + (1- p 2 )f 3 = p 2 h 2 + (1- p 2 )g 3p 2f 2nonimm.f 2 = max [EV i 2, EV ni 2 ]1-p 2f 3

D.A. – Decisioni in condizioni di rischio27! Alberi decisionali• Esempio" Per t=1imm.p 11-p 1g 1r 1EV i 1 = p 1 g 1 + (1- p 1 )r 1EV ni 2 = p 1 h 1 + (1- p 1 )f 2f 1f 228nonimm.p 11-p 1h 1f 1 = max [EV i 1, EV ni 1 ]D.A. – Decisioni in condizioni di rischio! Alberi decisionali• Esempio: caso numericoh 1=40g 1=50r 1=60p 1=0,2=max⎧1⋅ 90⎨⎩1⋅ 80(imm .)(nonimm .)h 2=75h 3=80g 2=80g 3=90r 2=100p 2=0,4p 3=1=max0,4 ⋅ 800,4 ⋅ 75++f 3⎩ ⎨⎧ =0,6 ⋅ 1000,6 ⋅ 90= 92 (imm .)84 (non imm .)f 1 =max0,2 ⋅ 500,2 ⋅ 40f 2⎩ ⎨⎧ =+ 0,8 ⋅ 60+ 0,8 ⋅ 92=58 (imm .)81,6 (non imm .)

D.A. – Decisioni in condizioni di rischio31! Il valore atteso della perdita di opportunità (ExpectedOpportunity Loss, EOL)• Due osservazioni:" Il criterio del massimo EV e del minimo EOL forniscono semprela medesima soluzione" Nell’esempio il problema decisionale era di semplice soluzioneperchè l’alternativa “immettere” era dominante !" Nella DA le alternative dominate possono essere escluseDefinizioneA i è dominata se esiste una A k , k≠i, tale che V ij ≤V kj ∀j e valeV ij

D.A. – Decisioni in condizioni di rischio37! Il valore atteso della informazione campionaria (ExpectedValue of Sample Information, EVSI)• Si devono valutare" p(IA i ) le prob. a priori degli esiti dell’indagine" p(S j | IA h ) le prob. degli stati condizionate agli esiti dell’indagine(a posteriori)• Probabilità Totalep(IA i)=n∑ p(IA ij=1S j)⋅ p(S j)• Teorema di Bayesp(SjIAi)=p(IAiSjp(IA) ⋅ p(Si)j)D.A. – Decisioni in condizioni di rischio38! Il valore atteso della informazione campionaria (ExpectedValue of Sample Information, EVSI)• Si ottieneEV==SI=∑∑i= 1j=1m∑ p(IA ii= 1 = 1⎡ n) ⋅ ⎢ ∑⎢⎣jm∑ p(IA ii= 1 = 1mnp(IAiS⎡ n) ⋅ ⎢ ∑ p(S⎢⎣jjp(IAi) ⋅ p(SjSjj) ⋅ p(Sp(IA) ⋅ VijIAi)i) ⋅ Vjij⎤⎥⎥⎦) ⋅ Vij⎤⎥⎥⎦=• Inf. perfetta:p(IA i| S j) = 1 se V ij= V ijmax

D.A. – Decisioni in condizioni di rischio39! Il valore atteso della informazione campionaria (ExpectedValue of Sample Information, EVSI)• Il valore atteso dell’informazione campionariaEVSI = EV SI-EV• Efficienza dell’informazione campionaria (Sample InformationEfficiency, SIE)EVSISIE =EVPI0 ≤ SIE ≤ 1D.A. – Decisioni in condizioni di rischio40! Un esercizio• Valutare 4 tipi di innovazione tecnologica di un prodotto afronte di 3 possibili scenari futuri della domandaGuadagni (utilità)Decisioni\DomandaBassaMediaAltaA200350600B250350540C300375490D300350470Probabilità S j0,10,50,4

D.A. – Decisioni in condizioni di rischio41! Un esercizio• Valutare l’opportunità di eseguire o meno un test sulpossibile scenario di mercato avendo informazioni storichesulla probabilità degli esiti del test dati gli stati della naturap(T h/S j)Test Mercato\DomandaBassaMediaAltaFavorevole0.20.40.7Invariato0.20.30.2Sfavorevole0.60.30.1D.A. – Decisioni in condizioni di incertezza42! Non sono disponibili le informazioni sulla probabilità deglistati futuri della natura! Criteri decisionali f(V):• MAXIMIN• MAXIMAX• Hurwicz• Laplace (equiprobabilità)

D.A. – Decisioni in condizioni di incertezza43! Criterio MAXIMIN• Atteggiamento pessimista del DM: massimizza il payoff nelcaso più sfavorevolef(V )=maxi=1,..., mminj=1,..., nVij• Problemi:" Scarso uso dell’informazione disponibile" Miopia (incapacità di valutare un compromesso)D.A. – Decisioni in condizioni di incertezza44! Criterio MAXIMAX• Atteggiamento ottimista del DM: massimizza il payoff nelcaso più favorevolef(V ) =maxi=1,..., mmaxj=1,..., nVij• Problemi:" Gli stessi del MAXIMIN

D.A. – Decisioni in condizioni di incertezza45! Criterio di Hurwicz• Un compromesso tra MAXIMIN e MAXIMAX espresso da unparametro α [(MAXIMAX) 0 ≤α≤1 (MAXIMIN)]f(V) = maxi=1,...,m⎡⎢α ⋅ min⎣ j=1,...,nVij+ (1 − α)⋅maxj=1,...,n⎤Vij⎥⎦D.A. – Decisioni in condizioni di incertezza46! Criterio di Laplace (equiprobabilità)• Si considerano equiprobabili gli stati della natura e si scegliesecondo il massimo valore attesop(Sjf(V ))==1nmax∀ji=1,..., mn∑ p(Sj=1j)Vij

D.A. – Decisioni in condizioni di incertezza47! Esempio• Il problema della selezione della tecnologiaDecisioni\DomandaABCDGuadagni (utilità)Bassa Media Alta200 350 600250 350 540300 375 490300 350 470• D è dominata da C !!!D.A. – Decisioni in condizioni di incertezza48! Esempio• Il problema della selezione della tecnologiaGuadagni (utilità)Dec.\Dom.BassaMediaAltaMAXIMINMAXIMAXα=0.4EquipA200350600200600440383,3B250350540250540424380C300375490300490414388,3

D.A. – Decisioni in condizioni di incertezza49! Interpretazione geometrica dei criteri• Si può analizzare nel piano dei payoff coppie di stati dellanaturaV ik(S k)ABDCondizionidi certezzaCV ih (S h )" Gli assi rappresentano i payoff se si realizza uno stato" Esistono decisioni dominate ?D.A. – Decisioni in condizioni di incertezza50! Interpretazione geometrica dei criteri• Curve di indifferenza = luogo delle decisioni equivalenti• DM avverso al rischio ⇒ curve convesseV ik(S k)∆” 2 ≤∆’ 2∆” 1 ≤∆’ 1∆ 1∆’ 1∆” 1B 2∆ 1∆” 2 ∆’ 2 ∆ 2 ∆ 2B 1AC 1C 2Curva diindifferenzaV ih(S h)

D.A. – Decisioni in condizioni di incertezza51! Interpretazione geometrica dei criteri• Criterio MAXIMINV ik (S k )Bregione conV ik ≤ V ih52AV ih (S h )D.A. – Decisioni in condizioni di incertezza! Interpretazione geometrica dei criteri• Criterio MAXIMAXV ik(S k)BAregione conV ih ≥ V ikV ih(S h)

D.A. – Decisioni in condizioni di incertezza53! Interpretazione geometrica dei criteri• Criterio Laplace - EquiprobabilitàV ik (S k )BApendenzacostante = -1V ih (S h )D.A. – Decisioni in condizioni di incertezza54! Interpretazione geometrica dei criteri• Criterio di Hurwiczmax(α min V ij +(1- α) max V ij )V ik (S k )α=2/3α− 1 − αBAα=1α=2/3α− 1 −αα=0V ih (S h )

D.A. – Decisioni in condizioni di incertezza55! Analisi di sensitività – Break Even Point• Nel caso di 2 eventi si può analizzare l’andamento delladecisione in funzione della probabilità" Ad esempioDecisioniStati della NaturaS 1(p)S 2(1-p)A 1V 11V 12A 2V 21V 22A 3V 31V 32A 4V 41V 42" EV(A i ) = pV i1 + (1-p)V i2D.A. – Decisioni in condizioni di incertezza56! Analisi di sensitività – Break Even Point• GraficamenteEV(A i ) = pV i1 + (1-p)V i2Break EvenPointV 22V 12A 2A 1V 42A 4V 41V 11V 21V 32V 3101p