Metodi Decisionali Multi Criterio - Massimo Paolucci

Metodi Multicriterio - Introduzione5! Passi generali di un processo decisionale:1. Inizializzazione (definizione del problema)2. Formulazione del problema (specifica degli attributi oobiettivi e dei criteri)3. Costruzione del modello (identificazione delle variabilidecisionali, vincoli, formalizzazione di proprietà strutturali,uso di tecniche di rappresentazione come grafi)4. Analisi, valutazione e decisione (generazione dell'insiemedelle alternative ammissibili e stima dei valori degli attributio obiettivi; raccolta di informazioni sullo stato (state ofnature) e dei giudizi di preferenza del decisore(i);definizione di una decisione5. Implementazione (attuazione) della decisione erivalutazione della decisione (eventuale iterazione delprocesso)Metodi Multicriterio - Introduzione6! Caratteristiche generali di un problemaMCDM:• molti criteri• molti attributi/obiettivi• conflitto tra i criteri• incommensurabilità tra attributi/obiettivi• scelta tra un insieme finito di alternative definiteesplicitamente oppure un insieme infinito dialternative definite implicitamente

Metodi Multicriterio - Introduzione11! Nel caso dei problemi MCDM verrà considerato uncontesto di tipo deterministico e la presenza di un singolodecisore! Una regola decisionale molto generale applicata per iproblemi MCDM consiste nei seguenti due passi:1. individuare l'insieme delle alternative efficienti (nondominate, Pareto ottimali);2. selezionare l'alternativa efficiente di compromessoutilizzando le informazioni di preferenza che il decisoremette a disposizione.A volte i passi non sono completamente distinti.Metodi Multicriterio - Introduzione12! Alternative efficientiDefinizioneUna soluzione (alternativa) ammissibile x 0 ∈X èefficiente (non dominata, Pareto ottima) se e solo senon esiste x∈X tale che f j (x)≥ f j (x 0 ) per ognij∈K={1,...,k} e f j (x)≠f j (x 0 ) per almeno un j∈K! Le alternative efficienti sono quelle per cui non esisteun’altra alternativa ammissibile in grado di produrre unmiglioramento rispetto un obiettivo/attributo senzapeggiorarne almeno un altro.

Metodi Multicriterio - Introduzione13! I metodi decisionali multicriterio (fase di analisi evalutazione delle alternative e decisione) hannotutti una struttura comuneFormulazione delproblema(obiettivi e alternative)Informazioni fornite daldecisore(giudizi di preferenza)Metodo MCDM(decision rule, ipotesisulla struttura dipreferenza del decisore)Decisione(Alternativa scelta,ordinamento trale alternative)Metodi Multicriterio – Metodi MADM14! Metodi Decisionali Multiattributo (MADM)• Un problema MADM è definito dalla Matrice delleDecisioni che descrive le alternative (finite) daconsiderare• In generale sono presenti m alternative A i , i=1,...,m,definite per mezzo di n attributi x j , j=1,..,n• Il valore assunto dall'attributo x j di un'alternativa A i èindicato con x ij• L'alternativa A i è definita come A i =[x i1 ,...,x in ]• La matrice delle decisioni D è una matrice mxn talecheD=[x ij , i=1,...,m; j=1,...,n]

Metodi Multicriterio - Metodi MADM15! Metodi Decisionali Multiattributo (MADM)• L'insieme delle alternative (la matrice D) èdeterminato dall'analisi del problema decisionale:" individuazione dei criteri ed attributi" selezione di un insieme di alternative candidate" valutazione dei valori degli attributi per le alternativeMetodi Multicriterio - Metodi MADM16! Un esempio• Una compagnia aerea vuole scegliere quale tipo diaereo da trasporto acquistare tra 4 possibili candidati• Vengono individuati 6 attributi rilevanti:# x 1 Velocità massima (mach)# x 2 Raggio di azione (km)# x 3 Carico massimo trasportabile (Kg)# x 4 Costo (M$)# x 5 Affidabilità (qualitativo)# x 6 Manovrabilità (qualitativo)

Metodi Multicriterio - Metodi MADM17! La matrice delle decisioni Dx 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6A 1 2.0 1500 20000 5.5 Media Molto AltaA 22.5 2700 18000 6.5 Bassa MediaA 3 1.8 2000 21000 4.5 Alta AltaA 4 2.2 1800 20000 5.0 Media Media• Non c'è un'alternativa che è chiaramente la migliore• Non tutti gli attributi sono numericiMetodi Multicriterio - Metodi MADM18! Scalarizzazione degli attributi qualitativi• In generale i valori di un attributo possono essereforniti in una delle seguenti scale:" scala nominale (identificatori)" scala ordinale (ordinamento tra gli identificatori)" scala di intervalli (significativa la differenza tra ivalori)" scala di rapporti (invarianza rispetto il rapportotra valori di scale diverse per la stessa misura;origine)

Metodi Multicriterio - Metodi MADM19! Scalarizzazione degli attributi qualitativi• Gli attributi qualitativi dell'esempio possono esserescalarizzati associandoli ad una scala di intervalli arbitrariache ne conservi l'ordine• Una possibilità è assegnare ai valori qualitativi degli intervallifuzzy centrati nel punto medio:Molto Basso = [0,2]; Basso = [2,4]; Medio = [4,6];Alto = [6,8]; Molto Alto = [8,10]In generale su tali intervalli può essere definita una funzionedi appartenenza (membership) che specifica lacorrispondenza tra numero e valore qualitativo(e.g., 6,3 potrebbe avere 0.2 di appartenenza a Medio e 0.8 adAlto)Metodi Multicriterio - Metodi MADM20! La matrice scalarizzatax 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6A 1 2.0 1500 20000 5.5 5 9A 2 2.5 2700 18000 6.5 3 5A 3 1.8 2000 21000 4.5 7 7A 4 2.2 1800 20000 5.0 5 5• Non esistono nell'esempio alternative dominate• Dominanza (alternative discrete)Date due alternative distinte A i e A k , A i domina A k(A i ≥A k ) se e solo se x ij ≥x kj per ogni j=1,...,n (gli attributimisurano tutti dei benefici)

Metodi Multicriterio - Metodi MADM21! Il concetto di compensazione• Compensazione tra attributi:la possibilità nella valutazione di un'alternativa dicompensare un valore "non buono" di un attributo conun valore "buono" di un altro attributo• Quando un decisore accetta la compensazione tra dueattributi è possibile definire un trade-off tra di essi,ovvero una misura dello scambio• Esempio: sono disposto a rinunciare in capacità dimemoria per un calcolatore per ridurre il costo dellostessoMetodi Multicriterio - Metodi MADM22! Il concetto di compensazione• I metodi MADM possono essere classificati come:" non compensatori (non permettono di esprimeretrade-off tra gli attributi)" compensatori (costruzione di una valutazioneglobale dell'alternativa); tre modelli generali:– Scoring models (definiscono un punteggioglobale)– Compromizing models (valutano la prossimitàrispetto l'ideale)– Concordance models (valutano in base allaconcordanza con i giudizi del decisore)

Metodi Multicriterio - Metodi MADM23! Classificazione dei metodi MADM in funzione del tipo diinformazione di preferenza fornita dal DM1. Nessuna informazione [Dominanza, Maximin,Maximax]2. Informazione sugli attributi2.1 Livelli standard [Disgiuntivo, Congiuntivo]2.2. Informazione ordinale [Lessicografico]2.3. Informazione cardinale [Simple Additive Weighting(SAW), Analytic Hierachy Process (AHP)]2.4. Tasso marginale di sostituzione [Trade-off gerarchici]3. Informazione sulle alternative3.1 Preferenza tra coppie [LINMAP]Metodi Multicriterio - Metodi MADM24! Metodi MADM senza informazione dal decisore• Analisi di dominanzaSi eliminano dalla matrice delle decisioni lealternative dominate e si propongono al decisorele rimanenti

Metodi Multicriterio - Metodi MADM25! Metodi MADM senza informazione dal decisore• MAXIMINCiascuna alternativa viene rappresentata dalvalore dell'attributo peggiore (caratteristica piùdebole) e si seleziona l'alternativa (le alternative)con il migliore tra tali valori (approccio pessimista)A*⎧⎡ ⎤⎫= ⎨Ai: i = argmax⎢minxij⎥,i= 1,...,m; j = 1,..., n⎬⎩ i ⎣ j ⎦⎭Metodi Multicriterio - Metodi MADM26! Metodi MADM senza informazione dal decisore• MAXIMIN - caratteristiche" Gli attributi devono essere commensurabili (misuratirispetto una scala comune)" Utilizza un sottoinsime delle informazioni disponibili" Non esiste la possibilità di compensare tra loro ivalori degli attributi

Metodi Multicriterio - Metodi MADM27! Metodi MADM senza informazione dal decisore• La normalizzazione degli attributi• Trasformare x ij, misurato in una scala particolare, inr ijcon 0≤r ij≤1xija. r ij =maxmaxxj= max xij(beneficio)xjxijb. rij= 1−(costo)xmaxjminxj1c. r ij =xij← xmin= min xij(costo)xx jijijiiMetodi Multicriterio - Metodi MADM28! Metodi MADM senza informazione dal decisorexij− x jd. rij=(beneficio)max minx − xjminjxj− xije. rij=(costo)max minx − xjmaxjxijf. rij=(costo)m2x∑i=1ij

Metodi Multicriterio - Metodi MADM29! Metodi MADM senza informazione dal decisore• Esempio: la scelta tra gli aerei da trasporto usando (a)e (c)r 1 r 2 r 3 r 4 r 5 r 6A 1 0.8 0.56 0.95 0.82 0.71 1.0A 2 1.0 1.0 0.86 0.69 0.43 0.56A 3 0.72 0.74 1.0 1.0 1.0 0.78A 4 0.88 0.67 0.95 0.9 0.71 0.56Metodi Multicriterio - Metodi MADM30! Metodi MADM senza informazione dal decisore• Esempio: MAXIMINr 1 r 2 r 3 r 4 r 5 r 6A 1 0.8 0.56 0.95 0.82 0.71 1.0A 2 1.0 1.0 0.86 0.69 0.43 0.56A 3 0.72 0.74 1.0 1.0 1.0 0.78A 4 0.88 0.67 0.95 0.9 0.71 0.560.560.430.720.56A 3

Metodi Multicriterio - Metodi MADM31! Metodi MADM senza informazione dal decisore• MAXIMAXCiascuna alternativa viene rappresentata dalvalore dell'attributo migliore (caratteristica piùforte) e si seleziona l'alternativa (le alternative) conil migliore tra tali valori (approccio ottimista)A*⎧⎡ ⎤⎫= ⎨Ai: i = argmax⎢max xij⎥,i= 1,...,m; j = 1,..., n⎬⎩i ⎣ j ⎦⎭" stesse caratteristiche del MAXIMINMetodi Multicriterio - Metodi MADM32! Metodi MADM senza informazione dal decisore• Esempio: MAXIMAXr 1 r 2 r 3 r 4 r 5 r 6A 1 0.8 0.56 0.95 0.82 0.71 1.0A 2 1.0 1.0 0.86 0.69 0.43 0.56A 3 0.72 0.74 1.0 1.0 1.0 0.78A 4 0.88 0.67 0.95 0.9 0.71 0.561.0 (x 6 )1.0 (x 1 ,x 2 )1.0 (x 3 ,x 4 ,x 5 )0.95 (x 3 )A 1A 2A 3

Metodi Multicriterio - Metodi MADM33! Metodi MADM senza informazione dal decisore• La procedura di HurwiczUn compromesso tra MAXIMIN e MAXIMAXA*⎧⎡⎤⎫= ⎨Ai:i = argmax ⎢α⋅min xij+ (1− α)maxxij⎥⎬⎩ i ⎣ jj ⎦⎭• con 0≤α≤1 α=0 MAXIMAX, α=1 MAXIMINMetodi Multicriterio - Metodi MADM34! Metodi MADM con informazione sugli attributi# Livelli StandardIl decisore indica un insieme di livelli di accettabilità pergli attributi• Metodo CongiuntivoLivelli standard: x j0 , per j∈S⊆{1,...,n}A i è considerata accettabile se e solo se x ij ≥x j0 , perj∈S (ipotesi: tutti gli attributi sono benefici)" Caratteristiche:– Attributi non normalizzati– Scale almeno ordinali

Metodi Multicriterio - Metodi MADM35! Metodi MADM - livelli standard• Metodo congiuntivo: esempio" Livelli standard per gli aerei da trasportox 0 =(2.0, 1500, 20000, 6.0, MEDIA, MEDIA)x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6A 1A 22.0 1500 20000 5.5 Media Molto Alta2.5 2700 18000 6.5 Bassa MediaA 3 1.8 2000 21000 4.5 Alta AltaA 42.2 1800 20000 5.0 Media Media⇒ A 4 è la sola alternativa accettabile.Metodi Multicriterio - Metodi MADM36! Metodi MADM - livelli standard• Metodo disgiuntivoLivelli standard: x j0 , per j∈S⊆{1,...,n}A i è considerata accettabile se e solo se per almenoun j∈S x ij ≥x j0 (ipotesi: tutti gli attributi sono benefici)" Esempio: Livelli standard per gli aerei da trasportox 0 =(2.4, 2500, 21000, 4.5, MOLTO ALTA, MOLTOALTA)⇒ A 1 , A 2 , A 3 le alternative accettabili.

Metodi Multicriterio - Metodi MADM37! Metodi MADM con informazione sugli attributi# Informazione ordinaleIl decisore indica l'importanza relativa degliattributi. Non è un'informazione quantitativa• Metodo Lessicografico– Il decisore ordina gli attributi in funzione dellaloro importanza– Gli attributi ordinati: x 1 , x 2 , ... , x n– Le alternative: A={A 1 ,...,A m } e l'insieme degliindici delle alternative: I={1,...,m}– Il metodo procede iterativamente restringendol'insieme delle alternative, considerando unattributo alla volta secondo l'ordine fissato.Metodi Multicriterio - Metodi MADM38! Metodi MADM - informazione ordinale• Metodo Lessicografico" Passo 0: k=0, I 0 =I⎪⎧1" Passo 1: k=1, I = ⎨i⎪⎩Se |I 1 |=1 fine, altrimenti vai al passo 2" Passo r-mo (generico): k=r, rI= argmaxxh∈I0Se |I r |=1 fine, altrimenti vai al passo r+1: i⎪⎧= ⎨i⎪⎩: ih1⎪⎫⎬⎪⎭= argmax xh∈Ir−1hr⎪⎫⎬⎪⎭" L'iterazione termina comunque quando k=n.

Metodi Multicriterio - Metodi MADM39! Metodi MADM - informazione ordinale• Metodo Lessicografico - osservazioni• Se |I n |>1 le alternative A i , i∈I n sono considerate equivalenti• Gli attributi non devono essere commensurabili• Limitato uso dell'informazione disponibile• Variante: intervalli di indifferenza ±∆Esempio: tre alternative e due attributiGli attributi sono benefici.x 1 più importante di x 2 .L'intervallo di indifferenza è ∆=1x 1 x 2A 1 2 6A 2 3 4A 3 4 2con x 1 si conclude che A 3 ≈A 2 ; quindi con x 2 è scelta A 2 .Metodi Multicriterio - Metodi MADM40! Metodi MADM con informazione sugli attributi# Informazione cardinaleIl decisore fornisce una misura dell'importanza degliattributi (pesi). Informazione quantitativa• Metodo del Simple Additive Weighting (SAW)– Il decisore fornisce un peso w j , j=1,...,n, perindicare l'importanza di ciascun attributo– Viene costruito un punteggio (score) per ognialternativa– Viene scelta l'alternativa con il punteggio più alto

Metodi Multicriterio - Metodi MADM41! Metodi MADM - informazione cardinale• Metodo del Simple Additive Weighting (SAW)w=[w 1 ,...,w n ] vettore dei pesi tali chen∑ wj=1j =1Gli attributi devono essere commensurabili(normalizzati)Il punteggio dell'alternativa i-ma:Ri∑ w= n j=1jxijMetodi Multicriterio - Metodi MADM42! Metodi MADM - informazione cardinale• Metodo del Simple Additive Weighting (SAW)L'insieme delle alternative selezionate (preferite):A*⎧⎨A⎩⎫: i = argmaxR ⎬⎭= iiiE' un metodo molto semplice che appartiene alla classe deimetodi decisionali che utilizzano "funzioni valore" (ValueFunction)

Metodi Multicriterio - Metodi MADM43! Metodi MADM - informazione cardinale• Analytic Hierarchy Process (AHP) - concetti baseIl metodo SAW costruisce un peso con cui valutare lealternative comedove di solitoSin∑ wj=1= n∑ wj=1n∑ wj=1j =jxijj1Metodi Multicriterio - Metodi MADM44! AHP - L’idea di base• I valori x ijsi possono interpretare come il punteggio di A iinbase al criterio j• x j=(x 1j, x 2j, ..., x mj) fornisce quindi l’importanza dellealternative rispetto al criterio j• w rappresenta il vettore dei pesi che misurano l’importanzarelativa dei criteri• L’idea di AHP sta nel derivare (o valutare) l’importanzarelativa delle alternative rispetto ad i singoli criteri, ossiam∑ xiji=1= 1∀j

Metodi Multicriterio - Metodi MADM45! AHP - L’idea di base• La decisione può essere strutturata secondo una gerarchiaGoal1w 1 w 2 w n. . . . . . .Crit 1 Crit 2 Crit nx 11x 12 x1nxmnA 1 A 2 . . . . . . . . . A mMetodi Multicriterio - Metodi MADM46! AHP - L’idea di base• Scopo del metodo:" definire le priorità relative delle alternative rispetto ilgoal (il nodo al più alto livello della gerarchia)• Il metodo procede bottom-up:" si comparano le alternative (livello più basso) tra loro inrelazione ad ogni singolo criterio del livelloimmediatamente superiore e si determina la loro prioritàrelativa" si sale di un livello e si comparano tra loro i criteri (subcriteri)rispetto al goal (ad ogni singolo criterio) a livellosuperiore e si determina il loro peso relativo" si aggregano tutte le priorità della gerarchia calcolando lapriorità delle alternative rispetto al goal (decisione)

Metodi Multicriterio - Metodi MADM47! AHP - Passi formali• Dati k livelli (k livello delle alternative):" Elementi al livello k (alternative): x 1 ,...,x k" Elementi al livello k-1 (criteri o subcriteri): y 1 ,...,y k-1" Elementi al livello k-2 (criteri, subcriteri o goal): z 1 ,...,z k-2" W yj =[w yj (x i )] matrice dei pesi relativi delle alternative rispetto alcriterio y j al livello superiore" W zh =[w zh (y j )] matrice dei pesi relativi dei criteri a livello k-1rispetto al criterio (goal) z h al livello superiore• La priorità di x i rispetto a z hk∑ − 1wz (xi)= wz(yj)⋅ wy(xi)hh jj=1Metodi Multicriterio - Metodi MADM48! AHP - Passi formali• In forma matriciale:[ wz(xi),i= 1,...,k] = Pk−1⋅[wz(y j),j = 1,...,k −1]h" Nel caso di 3 livelli (Goal, Criteri, Alternative)Wz= P2⋅ Wdove:– W è il vettore dei pesi dei criteri (al primo livello) rispettol’unico elemento del livello superiore, il goal– P 2 è la matrice (alternative x criteri) le cui colonne sono ivettori dei pesi relativi delle alternative rispetto ai criteri– W z è il vettore dei pesi (importanza) delle alternativerispetto al goal (la preferenza)h

Metodi Multicriterio - Metodi MADM49! AHP - Passi formali• In generale:SC 1SC 2 SC. . . . .nx 11x 12x 1nx mnA 1 A 2. . . . . . . . . A mWz= Pn⋅Pn−1⋅⋅⋅P2⋅ WGoal 1⎡w1⎤⎢w 1 w 2 w W =k⎢M⎢ ⎥ ⎥⎥C 1C 2 . . . . .⎣wk⎦C ky 11 y 1kAd esempio su 4 livelli:⎡y11⎢P2=⎢M⎢⎣yn1⎡ x11L⎢P3=⎢M⎢⎣xm1LLLx1n⎤⎥M⎥xnm⎥⎦y1k⎤⎥M⎥ynk⎥⎦Metodi Multicriterio - Metodi MADM50! AHP - Informazioni assolute e relative• Informazioni assolute" viene fornita la matrice delle decisioni" i pesi dei criteri rispetto ai subcriteri ed al goal sonomisure oggettive• Informazioni relative" non si conoscono misure oggettive ma si comparano lealternative in relazione ad i singoli criteri ed i criteri inrelazione al goal o ai sottocriteri" possono verificarsi inconsistenze

Metodi Multicriterio - Metodi MADM51! AHP - L’indice di consistenza (CI)• In caso di informazioni assolute il CI=0 (consistenzatotale)• Come viene calcolato?D = [xij,i= 1,...,m, j = 1,...,n]Matrice delle decisioni⎡ xkj⎤⎢ 1x⎥⎢ ej ⎥⎡xkj⎤ ⎢xej⎥1MC j = ⎢ ⎥ = ⎢ 1 ⎥ = [ ake]⇒ aek=⎢⎣xej⎥⎦⎢xkj⎥ake⎢ 1⎥⎢⎥⎣⎦Matrice di comparazionerispetto al criterio jMetodi Multicriterio - Metodi MADM52! AHP - L’indice di consistenza (CI)• Così costruita la matrice MC jè perfettamente consistente• Il più grande autovalore della matrice MC j è pari al numerodelle alternative, mentre gli altri autovalori sono nulliλ max = m• Nel caso di informazioni relative i rapporti x kj /x ej sono stimati(soggettivi) quindi la matrice di comparazione può nonrisultare completamente consistente• In questi casi il massimo autovalore si discosta da m (ed irestanti possono essere non nulli)~ max ≠ m λ

Metodi Multicriterio - Metodi MADM53! AHP - L’indice di consistenza (CI)• L’indice di consistenza è calcolato comeCI =λ~max − mm −1quindi CI=0 ⇒ consistenza completa• L’indice misura quanto il DM si discosta con i propri giudizi dauna situazione di consistenza completa• Lo scostamento dovrebbe essere causato da limitateviolazioni alla transitività dei giudizi e non da giudizi espressiin maniera del tutto casualeMetodi Multicriterio - Metodi MADM54! AHP - L’indice di consistenza (CI)• Per verificare che un CI non corrisponde a giudizi totalmenterandomici si confronta il CI con un Random Index (RI)• Gli RI sono misure random tabulate e generate per numerifissati di alternative• Per lo stesso numero m di alternative si calcola il Rapporto diConsistenza (CR)CR =• Empiricamente una soglia di accettabilità per CR è 0.1• Per valori superiori si suggerisce al DM di verificare i proprigiudiziCIRI

Metodi Multicriterio - Metodi MADM55! AHP - CR - implementazioni• Poichè il calcolo degli autovalori delle matrici dicomparazione risulta non risolubile in maniera esatta per m≥5si adottano dei metodi numerici per la stima di del massimoautovaloreMetodi Multicriterio - Metodi MADM56! Metodi MADM - informazione sugli attributi# Tasso marginale di sostituzione (MRS)• Metodi che usano esplicitamente l'informazione circa lapossibilità di compensazione tra (coppie) di attributiDati due attributi x 1 ed x 2 ed una alternativa corrispondentead un punto (x° 1 ,x° 2 ) nel sottospazio di x 1 ed x 2 , il tassomarginale di sostituzione λ(x° 1,x° 2) misura la disponibilitàdel DM a peggiorare il valore di x 1dell'alternativaconsiderata per ottenere un miglioramento unitario delvalore di x 21 00 0 x − x1 1 ∆xλ(x,x12) = =x1 0 x22− x ∆ 2 (x0,x )1 01 2

Metodi Multicriterio - Metodi MADM57! Metodi MADM - Tasso marginale di sostituzione# Tasso marginale di sostituzione (MRS)• E' una proprietà locale• E' definito solo per attributi non indipendentiAndamentocaratteristico del tassomarginale disostituzione tra dueattributi∆∆eb∆λ bad∆λ e∆λ a∆λ dλ b

Metodi Multicriterio - Metodi MADM59! Metodi MADM - Tasso marginale di sostituzione• Metodo dei trade-off gerarchici (o dell'aggregazionegerarchica)Note le curve di isopreferenza per il DM, riduce ilnumero degli attributi aggregando coppie di attributinon indipendenti." Esempio:Tre alternative, A 1 , A 2 , A 3 , descritte da 4 attributi x 1 , x 2 ,x 3, x 4Per x 1, x 2, attributi non indipendenti sono note le curve diisopreferenzaSi può eliminare dalla matrice delle decisioni l'attributo x 260Metodi Multicriterio - Metodi MADM! Metodi MADM - Tasso marginale di sostituzione• Metodo dei trade-off gerarchici - esempiox 2A 1x 32x 11x 1A' 1x 21A' 2A 3x 22A 2x 12x' 11x' 21x 31

Metodi Multicriterio - Metodi MADM61! Metodi MADM - Tasso marginale di sostituzione• Metodo dei trade-off gerarchici - esempio⎡x11D =⎢⎢x21⎢⎣x31x12x22x32x13x23x33x14⎤ ⎡x'11x⎥→⎢24⎥⎢x' 21x34⎥⎦⎢⎣x' 31x32x32x32x13x23x33x14⎤x⎥24⎥x34⎥⎦⎡x'11⇒ D' =⎢⎢x' 21⎢⎣x' 31x13x23x33x14⎤x⎥24⎥x34⎥⎦" In linea di principio è possibile iterare sino ad avere unsolo attributo aggregato sulla cui base decidere" Il metodo riduce la dimensione del problemaMetodi Multicriterio - Metodi MADM62! Metodi MADM - informazione sulle alternative# Preferenze tra coppie di alternative• Il DM specifica la sua preferenza tra coppie dialternative• Questa informazione è rappresentata da un insieme dicoppie ordinate Ω={(A k ,A l ): A k è preferita ad A l }• In generale Ω è un sottinsieme dell'insieme di tutte lepossibili coppie tra le alternative disponibili

Metodi Multicriterio - Metodi MADM63! Metodi MADM – preferenze tra coppie di alternative• Metodo LINMAP (LINear Programming techniques forMultimensional Analysis of Preference)Sono date m alternative descritte da n attributi ed un insiemeΩ di coppie di preferenza espresse dal decisorePrincipio:Si ipotizza l'esistenza di una alternativa "ideale" per il DM,si identifica tale alternativa e si ordinano le alternative sullabase della distanza pesata da quella ideale nello spaziodegli attributi" il DM può anche indicare un insieme di preferenze nontransitive" gli output del metodo sono l'alternativa ideale A * =(x * ), ilvettore dei pesi ideali w * , l'ordinamento (parziale) tra lealternativeMetodi Multicriterio - Metodi MADM64! Metodi MADM – preferenze tra coppie di alternative• Metodo LINMAPDistanza euclidea pesata dell'alternativa A i=(x ij) dall'alternativaideale A * =(x j*)1 2⎛ n⎞d* * 2i = ⎜ ∑ w j (x ij − x j ) ⎟⎜⎟⎝ j=1⎠" l’ordinamento è in base al quadrato della distanza s i =d i2" a minori valori di s i corrispondono le alternative miglioriProblemaDeterminare i valori di x * e w * in modo che siano il più possibilecongruenti con i giudizi forniti dal DMSe il DM indica una coppia (A k ,A l )∈Ω (per comodità la coppiasi può indicare con (k,l)), si ha congruenza se s k ≤s l

Metodi Multicriterio - Metodi MADM65! Metodi MADM – preferenze tra coppie di alternative• Metodo LINMAPIncongruenza della soluzione rispetto (k,l) ∈Ω⎧0se sl≥ sk( sl− sk)−= ⎨= max k −⎩sk− slse sl< sk[ 0,s s ]lLivello di incongruenza (poorness of fit)(B≥0)B =−∑(sl − sk)(k,l) ∈ΩIl problema consiste nell'identificare x * e w * in modo che B siaminimoPer evitare la soluzione banale w j* =0 (B=0) viene imposto chela congruenza della soluzione rispetto i giudizi del DM sia piùgrande dell'incongruenzaMetodi Multicriterio - Metodi MADM66! Metodi MADM – preferenze tra coppie di alternative• Metodo LINMAPCongruenza della soluzione rispetto (k,l) ∈Ω⎧sl− skse sl≥ sk( sl− sk)+= ⎨= max l −⎩0se sl< sk[ 0,s s ]Livello di congruenza (goodness of fit) G = ∑(s+l − sk)(k,l) ∈ΩIl problema:min Bs.t.G>B ovvero G-B=h>0 per h arbitrariok

Metodi Multicriterio - Metodi MADM67! Metodi MADM – preferenze tra coppie di alternative• Metodo LINMAPs.t.minB = min(k,l) ∈Ω[ − ]∑max0,s k s lG − B = ∑(sl − sk)= h(k,l) ∈ΩLe incognite sono le variabili nei vettori x * e w *Il problema non è lineare: si introducono delle variabili ausiliariez kl , ∀(k,l)∈ΩMetodi Multicriterio - Metodi MADM68! Metodi MADM – preferenze tra coppie di alternative• Metodo LINMAPmin ∑ zkl(k,l) ∈Ωs.t.(1) sl− sk+ zkl≥ 0 ∀(k,l)∈ Ω(2) ∑(sl− sk) = h(k,l) ∈Ω(3) zkl≥ 0 ∀(k,l)∈ ΩScrivendo i vincoli in funzione delle x * e w * si evidenziaun’ulteriore non linearità ...

Metodi Multicriterio - Metodi MADM69! Metodi MADM – preferenze tra coppie di alternative• Metodo LINMAPnns − =*∑ −* 2−*∑ −* 2l s k w j (x lj x j ) w j (x kj x j ) =j=1j=1nn=* 2∑ w −2−* * j (x x ) 2 ∑ w j x j (xlj− xkjkj)j= 1 lj j=1Si sostituiscelineare.w* * * j x j ← v jottenendo un problemaMetodi Multicriterio - Metodi MADM70! Metodi MADM – preferenze tra coppie di alternative• Metodo LINMAPmin ∑ zkl(k,l) ∈Ωs.t.(1)(2)nnw*(x2x2) 2 v*∑ j − − (x x ) z 0 (k,l)lj kj ∑ j − + kl ≥ ∀ ∈ Ωlj kjj=1j=1⎡ nn⎤w*(x2x2) 2 v*∑ ⎢ ∑ j − − j (x − x ) − h = 0lj kj ∑ lj kj ⎥(k,l) ∈ Ω ⎢⎣j=1j=1⎥⎦(3)zkl≥0∀(k,l)∈ Ω(4)w* j≥0v* jliberaj = 1,..., n

Metodi Multicriterio - Metodi MADM71! Metodi MADM – preferenze tra coppie di alternative• Metodo LINMAPIl metodo LINMAP interpreta la soluzione del problema comesegue:1. se w j* >0 si calcola x j* =v j* /w j*2. se w j* =0 e v j* =0 si definisce x j* =03. se w j*=0 e v j*>0 si definisce x j*=+∞4. se w j*=0 e v j*0} ed I"={j: w j* =0 e v j * ≠0}i = 1,..., mMetodi Multicriterio - Metodi MADM72! Metodi MADM – preferenze tra coppie di alternative• Metodo LINMAPNote:" LINMAP si basa su una funzione di costo quadratica" i pesi degli attributi sono un output del metodo" identifica la funzione di costo nell'ipotesi di indipendenzadegli attributi nel senso delle preferenze

Metodi Multicriterio - Metodi MODM73! Metodi Decisionali Multiobiettivo (MODM)• Problema di ottimizzazione vettoriale (Vector OptimizationProblem, VOP)maxs.t.[ f (x ),..., f (x )]F(x ) = 1x ∈ X ⊆ RnkTx = vettore delle variabili decisionalif j (.) = j-mo obiettivo X = x : g i(x)≤ 0,i = 1,...,m,x ∈ S{ } ⊆ Rn• Risolvere il VOP consiste nel determinare X * l'insieme dellesoluzioni efficienti• Per determinare X * si definiscono e risolvono problemi diottimizzazione scalareMetodi Multicriterio - Metodi MODM74! Metodi Decisionali Multiobiettivo (MODM)• Un approccio tra i più noti per la soluzione del VOP èla Scalarizzazione con pesiDato⎪⎧kW = ⎨w : w∈Rk,wj≥ 0, ∑ wj⎪⎩j=1⎪⎫= 1⎬⎪⎭si risolve il problemadefinito per un w∈WkP(w) : max ∑ w jfj(x)x∈Xj=1Teorema:x * è soluzione efficiente di VOP se esiste w∈W tale che x *risolve P(w) e se w j>0 per ogni j=1,...,k, oppure x * èsoluzione unica

Metodi Multicriterio - Metodi MODM75! Metodi Decisionali Multiobiettivo (MODM)• Una possibile classificazione dei metodi di MODM sullabase del tipo di informazione di preferenza fornita dalDM:1. Metodi senza informazione dal DM2. Metodi che usano informazioni fornite a priori dal DM3. Metodi iterativi (che usano informazione fornitaprogressivamente dal DM)4. Metodi che usano informazione fornita a posteriori dalDMMetodi Multicriterio - Metodi MODM76! Metodi MODM – senza informazione dal DM• Metodo del criterio globaleLa soluzione x° è determinata minimizzando un criterioglobale definito in base agli obiettivi originaliLa soluzione ideale rispetto l'obiettivo j-mo è x * (j)determinata risolvendomax f j (x)s.t. g i(x)≤0 i=1,...,mIl valore ideale dell'obiettivo j-mo è f j (x * (j) )

Metodi Multicriterio - Metodi MODM77! Metodi MODM – senza informazione dal DM• Metodo del criterio globaleIl criterio globale è definito come:Fp=pk ⎡ *f j (x (j)) − fj(x)∑*j= 1 f j (x (j)) ⎥ ⎥ ⎤⎢⎢⎣⎦p è un parametro che può essere ad esempio fissato comep=1 oppure p=2 (in questo secondo caso il criterio globalepuò essere calcolato come (F p ) 1/2 )La soluzione x° è calcolata risolvendomin F ps.t. g i (x)≤0 i=1,...,mMetodi Multicriterio - Metodi MODM78! Metodi MODM – informazione a priori• Questo tipo d'informazione può essere suddivisa in treclassi:" Informazione di tipo ordinale [Lessicografico]" Informazione di tipo cardinale [Goal Programming]" Livelli di accettabilità

Metodi Multicriterio - Metodi MODM79! Metodi MODM – informazione ordinale a priori• Metodo LessicograficoIl DM indica un'ordine di importanza (priorità) per gli obiettiviLa soluzione si determina ottimizzando un obiettivo allavolta, iniziando da quello più importanteSupponendo l'indice dell'obiettivo indicativo della suaimportanza:(P 1 ) max f 1 (x)s.t. g i(x)≤0 i=1,...,mSe la soluzione di (P 1), x * (1) , è unica x°=x* (1), altrimenti sirisolve(P 2 ) max f 2 (x)s.t. g i(x)≤0 i=1,...,mf 1(x)=f 1(x * (1) ) 80Metodi Multicriterio - Metodi MODM! Metodi MODM – informazione ordinale a priori• Metodo LessicograficoIl procedimento itera, risolvendo al j-mo passo(P j ) max f j (x)s.t. g i(x)≤0 i=1,...,mf w (x)=f w (x * (w) ) w=1,...,j-1sino a j=k o quando x * (w)risulta soluzione unicaVariante: ad ogni passo si considera una soglia ditolleranza, δ j j=1,...,k, sugli obiettivi(P j) max f j(x)s.t. g i (x)≤0 i=1,...,mf w(x)≥f w(x * (w) )- δ ww=1,...,j-1

Metodi Multicriterio - Metodi MODM81! Metodi MODM – inf. a priori: livelli d’accettabilità• Goal ProgrammingMetodologia generale: può usare i tre tipi di informazione aprioriPrincipio: il DM indica quali valori per i diversi obiettivirappresentano i suoi goal ed il metodo cerca una soluzione dicompromesso più vicina possibile ad essiI goal: y j* j=1,...,kPosto y j=f j(x) si definiscono due deviational variables+ ⎪ ⎧ y − y*se yOver-achievement = ⎨> y*d j j j jj⎪⎩ 0 altrimentiUnder-achievementd−j⎪ ⎧ y*− y se y= ⎨< y* j j j j⎪⎩ 0 altrimentiMetodi Multicriterio - Metodi MODM82! Metodi MODM – inf. a priori: livelli d’accettabilità• Goal ProgrammingDalle definizioni si ha chey* − =− −+j yjdjd jd−j ⋅ d+= 0jy* − =− ++j yjdjd jd−j≥ 0d+j≥ 0La soluzione di compromesso di può determinare risolvendomin ∑ wxs.t.jy− f (x)g (x) ≤ 0 ∀iij*jjp

Metodi Multicriterio - Metodi MODM83! Metodi MODM – inf. a priori: livelli d’accettabilità• Goal ProgrammingEsplicitando le nuove variabilimin w (d−pj j + d+∑ )xjjs.t. g i(x)≤ 0 ∀iy* j − fj(x)= d−j − d+jd−j ⋅ d+jd−j≥ 0,d+j= 0 ∀j≥ 0 ∀j∀jMetodi Multicriterio - Metodi MODM84! Metodi MODM – inf. a priori: livelli d’accettabilità• Goal Programming" Se gli obiettivi ed i vincoli sono lineari è un problema diLinear Goal Programming, che viene risolta con unsimplesso modificato che tiene conto implicitamente delvincolo non lineare (che impone che una delle variabilideviazionali sia sempre nulla)" Le deviazioni possono essere pesate anche diversamente" Nel caso in cui uno di tali pesi sia nullo si parla di One-sideGoal Programming

Metodi Multicriterio - Metodi MODM85! Metodi MODM – inf. a priori: livelli d’accettabilità• Goal ProgrammingUn problema di Goal Programming di tipo generalegoal rispetto ivincoli(vincoli fuzzy)min[P ⋅h(d ,dxs.t.1bydd1−i−j⋅d⋅d−+i+j+= 0= 0),P2⋅hdd−i−j2(d*− +i − g i(x)= di− di* − +j − fj(x)= dj− dj−,d∀i∀j≥ 0 d≥ 0 d++i+j),...,P≥ 0≥ 0q⋅h∀i∀jq(d−,d+)]relazioniparticolari sulledeviazioni rispettocerti goalpesi "ordinaliordine di prioritàdelle funzioni h qP e>> P e+186Metodi Multicriterio - Metodi MODM! Metodi MODM – informazione progressiva• Metodi iterativi:Il DM fornisce informazione circa le proprie preferenzementre "esplora" le soluzioniLe informazioni corrispondono a trade-off locali rispetto allasoluzione corrente e vengono usate per determinare unanuova soluzioneVantaggi dei metodi interattivi:1. nessuna informazione a priori2. apprendimento del DM (parte attiva nel processodecisionale)3. preferenze locali4. migliore accettabilità della soluzione finale5. ipotesi in genere meno restrittive

Metodi Multicriterio - Metodi MODM87! Metodi MODM – informazione progressiva• Due classi di metodi:" Metodi che usano informazione esplicitasui trade-off" Metodi che usano informazione implicitasui trade-offMetodi Multicriterio - Metodi MODM88! Metodi MODM – trade-off espliciti• Metodo di Ziont e WalleniusSi può usare per funzioni obiettivo lineari o concave e convincoli lineariViene ipotizzata la presenza di una value function V(.) nonnota a priori, ma con struttura lineare o concavaPrincipioDeterminare iterativamente i pesi di un problema P(w) inmodo che esso fornisca la miglior soluzione dicompromesso estraendola dall'insieme delle soluzioniefficienti.

Metodi Multicriterio - Metodi MODM89! Metodi MODM – trade-off espliciti• Metodo di Ziont e Wallenius – Sommario (obiettivi lineari)1. Si aggregano le f j() con pesi arbitrari w j. Si determinal'ottimo2. Si selezionano tra le variabili x ifuori base quelle"efficienti" (se portate in base producono unmiglioramento in qualche obiettivo ed un peggioramentiin qualche altro)3. Per ogni x iefficiente si calcolano i trade-off rispetto gliobiettivi4. Si verifica se il DM è disposto ad accettare qualcuna ditali variazioni rispetto ai valori degli obiettivi associati allasoluzione corrente5. In caso positivo si determinano i nuovi pesi degli obiettivie si itera il procedimento6. L'algoritmo termina se non esistono variabili fuori baseefficienti o se il DM non accetta alcun trade-offMetodi Multicriterio - Metodi MODM90! Metodi MODM – trade-off espliciti• Metodo di Ziont e Wallenius – Passi1. Inizializzazione: q=1, w 1 pesi arbitari tali che2. Soluzione del problema scalarizzato (ipotesi: f j (x) e g h (x)lineari)Si risolvekw11 w1∑ j= j≥ ε > 0.j=1maxx∈Xk∑ wj=1qjfj(x)dove X={g h(x)≤0 ∀h, x≥0}

Metodi Multicriterio - Metodi MODM91! Metodi MODM – trade-off espliciti• Metodo di Ziont e Wallenius – Passi3. Determinazione delle variabili fuori base efficientiPer ogni variabile fuori base x isi calcolaλijf*j(x) − fj(x(i))=xiossia la variazione del j-mo obiettivo causata da unaumento unitario della x i , rispetto alla soluzione x *calcolata al passo 2.Il vettore x (i) è la soluzione ammissibile corrispondentealla variazione unitaria di x iNel caso lineare le λ ijcorrispondano ai costi ridotti dellevariabili fuori base rispetto alle varie funzioni obiettivo.Metodi Multicriterio - Metodi MODM92! Metodi MODM – trade-off espliciti• Metodo di Ziont e Wallenius – Passi3. Determinazione delle variabili fuori base efficientiSe λ ij ≥0 per ogni f j (x) la variabile fuori base x i non èefficiente (perché?)Se qualche λ ij

Metodi Multicriterio - Metodi MODM93! Metodi MODM – trade-off espliciti• Metodo di Ziont e Wallenius – Passi4. Fase decisionaleSe non esistono variabili fuori base efficienti l'algoritmotermina, determinando i pesi w q miglioriLa soluzione corrente è la migliore soluzione dicompromessoAltrimenti, per ogni x i variabile fuori base efficiente siverifica se il DM è disposto ad accettarecomplessivamente una variazione di λ i1per l'obiettivof 1 (x), di λ i2 per l'obiettivo f 2 (x), e così via.Metodi Multicriterio - Metodi MODM94! Metodi MODM – trade-off espliciti• Metodo di Ziont e Wallenius – Passi4. Fase decisionaleIl DM può accettare o non accettare la variazione oconsiderarla indifferenteSe il DM non accetta alcuna variazione per ogni x iefficiente, la procedura termina, i pesi w q sono quellidefinitivi e la soluzione corrente è la migliore soluzione dicompromessoAltrimenti, se ci sono variazioni accettate, si costruisceun insieme di vincoli nelle variabili w per determinare unnuovo insieme di pesi per gli obiettivi

Metodi Multicriterio - Metodi MODM95! Metodi MODM – trade-off espliciti• Metodo di Ziont e Wallenius – Passi4. Fase decisionale• per ogni x i efficiente per cui il DM ha rispostopositivamentek∑ λij w j ≤ −ε(a)j=1• per ogni x i efficiente per cui il DM ha rispostonegativamentek∑ λ j ≥ ε(b)j=1ij w 0• per ogni x i efficiente per cui il DM è rimasto indifferentek∑ λ ij w j =j=1(c)Metodi Multicriterio - Metodi MODM96! Metodi MODM – trade-off espliciti• Metodo di Ziont e Wallenius – Passi4. Fase decisionaleε>0 è una costante che rappresenta la soglia minimaoltre la quale è interessante una variazione del criterioglobale5. Calcolo dei nuovi pesiSi risolve il problema di ammissibilità per i vincoli (a), (b),(c) e perk∑ w j = 1j=1Si pone q=q+1 e si assegna la soluzione del problema diammissibilità a w qSi itera al passo 2

Metodi Multicriterio - Metodi MODM97! Metodi MODM – trade-off impliciti• Metodo STEM (STEp Method)E' un metodo per la Multiobjective Linear Programming(MOLP)Richiede al DM di specificare i livelli di accettabilità localirispetto ad una soluzione (più semplice che valutare untrade-off).Problema MOLP:max [ cA x ≤ bx ≥ 0T1x,..., cTkx ]Metodi Multicriterio - Metodi MODM98! Metodi MODM – trade-off impliciti• Metodo STEM (STEp Method)Si calcolano i valori ideali per gli obiettivi:f j* = f j (x j ) =max f j (x)s.t. g i (x)≤0 i=1,...,mSi assume che il DM abbia un comportamento pessimista:l'insoddisfazione del DM per la soluzione è rappresentatadalla più grande deviazione rispetto ai valori idealimin d ∞(F(x),F * ) =x∈Xmin*jmax[ w ⋅(fjj− f (x))]j

Metodi Multicriterio - Metodi MODM99! Metodi MODM – trade-off impliciti• Metodo STEM (STEp Method)Posto J 0 ={1,...,k} l'insieme degli indici degli obiettivi e X 0l'insieme di ammissibilità originale del problema, ad ognipasso q si risolve un problema linearePer q=0 il problema corrisponde a(P 0 ) min λs.t. λ≥w j[f j*-f j(x)] j∈J 0x∈X 0λ≥0nelle variabili x e λMetodi Multicriterio - Metodi MODM100! Metodi MODM – trade-off impliciti• Metodo STEM (STEp Method)I pesi w j sono calcolati ad ogni passo in base alla matricedei payofff1L fjL fkjf*k1 f1L f L f1 1M M M Mfjf1jL f*j L fkjM M M M1 jfkf L fk kL f*kdove f j*= f j(x j ) e f ji= f j(x i ).

Metodi Multicriterio - Metodi MODM101! Metodi MODM – trade-off impliciti• Metodo STEM (STEp Method)I pesi w jesprimono l'importanza relativa degli scostamentirispetto ai vari obiettivi, ovvero misurano quanto è difficileavvicinarsi al valore massimo dell'obiettivo (w j=0 obiettivo inon critico)w juj= k∑uh 1=hdoveujf* minj − fj 1= ⋅fˆj n1/ 2⎛c2 ⎞⎜ ⎟∑ij⎝i=1 ⎠fmin= min f (xrj )j1≤r≤kf = ∑n i(x)cj=1ijxjfˆj=⎧⎪f*se f*j j > 0⎨fminse f*< 0⎪⎩ j jMetodi Multicriterio - Metodi MODM102! Metodi MODM – trade-off impliciti• Metodo STEM (STEp Method)Risolto il problema ad una iterazione q e trovata unasoluzione x (q) , si interroga il DM chiedendo di confrontare ivalori degli obiettivi, f 1 (x (q) ),..., f k (x (q) ), rispetto ai valori ideali,f 1* ,..., f k*Se il DM identifica degli obiettivi il cui valore non èsoddisfacente, viene chiesto al DM di indicare quali tra gliobiettivi che risultano soddisfacenti potrebbero esserepeggiorati nella speranza di poter migliorare i primiIn questo modo il DM specifica implicitamente un trade-off

Metodi Multicriterio - Metodi MODM103! Metodi MODM – trade-off impliciti• Metodo STEM (STEp Method)Se il DM accetta una diminuzione di ∆f h rispetto all'obiettivof h, allora si procede ad una nuova iterazione (q+1)definendoXˆ q={ x : x ∈ X,f (x) ≥ f (x ) − ∆f,f (x) ≥ f (x ) ∀j≠ h }hh(q)hjj(q)Xq+1= Xq∩ Xˆ quj, w h =0, wj= , J∑ uq+1 = J q -{h}jj≠hMetodi Multicriterio - Metodi MODM104! Metodi MODM – trade-off impliciti• Metodo STEM (STEp Method)Si risolve il problema della iterazione (q+1)(P q+1 ) min λs.t. λ≥w j [f j* -f j (x)] j∈J q+1x∈X q+1λ≥0Il processo termina quando il DM è soddisfatto dellasoluzione corrente, oppure se nessun obiettivo soddisfa ilDM oppure se q=k

Metodi Multicriterio - Metodi MODM105! Metodi MODM – trade-off impliciti• Metodo STEM (STEp Method) -passi1. Determinare f j*, j=1,...,k. Inizializzare q=0; X q =X; J q ={1,...,k}2. Risolvere il problema (P q ) e calcolare f j(x (q)), j=1,...,k3. Far valutare al DM i valori f j(x (q)) con f J*, j=1,...,k.Se il DM è soddisfatto l'algoritmo termina e x (q)è la miglior soluzionedi compromesso, altrimenti se nessun obiettivo soddisfa il DMl'algoritmo termina non essendo in grado di determinare unasoluzione di compromesso.Se il DM è soddisfatto solo da alcuni obiettivi, si chiede al DM discegliere un obiettivo h rispetto al quale sia disposto ad accettare unpeggioramento per cercare di migliorare gli obiettivi non soddisfacenti.Sia ∆f hil peggioramento accettato.4. Se q=k l'algorimo termina senza che sia stata determinata unasoluzione di compromesso, altrimenti q=q+1, si aggiorna X q , J q ed ipesi w e si itera al passo 2).Metodi Multicriterio - Metodi MODM106! Metodi MODM – informazione a posteriori• Sono metodi che risolvono il VOP determinandol'insieme delle soluzioni non dominate, o un suosottinsieme. Queste alternative vengono propostesuccessivamente al DM che seleziona quella preferita• Non vengono fatte ipotesi sulla struttura della V(.)• Di solito sono metodi non pratici poichè il numero dellesoluzioni generato può essere molto elevato• Spesso sono incorporati in altri metodi

Metodi Multicriterio - Metodi MODM107! Metodi MODM – informazione a posteriori• Il metodo parametrico" Utilizza la scalarizzazione per generare le soluzioni nondominate, ovvero risolve una sequenza di problemi P(w),fissando di volta in volta i valori dei parametri w" Se la preferenza varia in maniera monotona rispetto ivalori di ciascuna funzione obiettivo e la regione diammissibilità delle soluzioni è convessa, facendo variaresistematicamente i valori dei pesi w è possibile generarel'insieme delle soluzioni non dominate" Geometricamente ciò corrisponde a determinare, nellospazio degli obiettivi, quali tra gli iperpianiL={F(x): w T F(x)=c} sono tangenti allo spazio diammissibilità con c massimoMetodi Multicriterio - Metodi MODM108! Metodi MODM – informazione a posteriori• Un metodo generale per determinare le soluzioni nondominate (poco pratico):1. Per ogni w j scegliere un insieme di valori discreti tra 0 ed 1,W j ={w j1 ,...,we1j }, dove w j1 =0 e we1j =12. Generare l'insieme di k-ple W 1 xW 2 x...xW k3. Per ciascuna delle e 1 xe 2 x...xe k combinazioni risolvere P(w)4. Verificare se le soluzioni ottenute sono non dominate, ovverose vale almeno una delle seguenti condizioni:a. w j >0 per j=1,...,kb. la soluzione è unicac. la soluzione supera il seguente "test di non inferiorità"(noninferiority test)

Metodi Multicriterio - Metodi MODM109! Metodi MODM – informazione a posteriori• Noninferiority test:con α j >0, j=1,...,kkδ = max ∑ αjεjj=1s.t.x ∈ Xfj(x)− εj= f (x*j ) ∀jεj≥ 0 ∀jIl test è superato se δ=0;se δ>0 la x * è dominata, ma la nuova soluzione trovata è nondominata;se δ=∞, nell'ipotesi che X sia convesso e le f j (x) siano concave(massimizzazione), non esistono soluzioni non dominate per ilVOP.Se il problema è MOLP esiste un algoritmo basato sulsimplesso per la soluzione del LVOP.