Problemi di Trasporto – Vehicle Routing - Massimo Paolucci

Problemi decisionali neitrasporti:Vehicle Routing ProblemsMassimo Paolucci(paolucci@dist.unige.it)DIST – Università di GenovaProblemi di Trasporto2 Problemi di pianificazione e gestione con elevata incidenzasui costi (totali e logistici in particolare) Logistica• studio di procedure e metodi per la pianificazione ed il controllo deiflussi di materiali e delle relative informazioni nelle organizzazioni,imprese ed enti erogatori di servizi• opera in modo che materiali, materie prime, semilavorati, prodotti finitie servizi pervengano al posto giusto, al momento giusto ed a uncosto ragionevole• Sistema logistico: “è l’insieme delle infrastrutture, attrezzature,persone e politiche operative che permette il flusso di beni e dellenecessarie informazioni dall’acquisizione delle materie prime sino alladistribuzione dei prodotti finiti ai consumatori” (J. Heskett, R. Shapiro,Harward Business School)1

Problemi di Trasporto3 I problemi di trasporto sono associati ad altri problemidecisionali quali:• localizzazione dei centri logistici• allocazione della domanda• gestione delle scorte Una molteplicità di problemi decisionali:• composizione delle flotte• turni dei veicoli e del personale• determinazione delle rotte• assegnazione dei carichi e loro composizione• posizionamento dei veicoli vuoti Due classi principali di problemi:• problemi di trasporto a lunga distanza• problemi di trasporto a breve distanzaProblemi di Trasporto4 I problemi di trasporto a lunga distanza (long-haul, intercityfreight transportation)• Viaggi diretti (singola origine-destinazione)• da pochi a molti• realizzati in proprio dalle ditte produttrici• Viaggi indiretti• da molti a molti• spedizionieri con molteplicità di clienti• servizio in linea (orario prestabilito) o su richiesta (allocazionedinamica dei mezzi)• In questo contesto si utilizzano modelli decisionali per laprogettazione della rete di collegamento (Network Design, ND)• ND statico e dinamico• Modelli (lineari) di flusso: Min Cost Flow Prob., Max Flow Prob.2

Problemi di Trasporto5 I problemi di trasporto a breve distanza (short-haul, localfreight transportation)• Ambito cittadino o regionale• Presenza di uno o più depositi• Arco temporale giornaliero• Problematiche caratteristiche• distribuzione (delivery)• raccolta (pick-up)• distribuzione e raccolta combinata (pick-up and Delivery)• domanda variabile (giornaliera)• allocazione dinamica dei veicoliProblemi di Trasporto – Vehicle Routing6 Organizzazione dell’attività di raccolta e distribuzione: unodei problemi più rilevanti del trasporto a breve distanza Vehicle Routing Problem (VRP): definizione delle rotte deiveicoli• Problemi statici: richieste di servizio note a priori• Problemi dinamici: richieste note anche nel corso delleoperazioni (aggiustamento rotte)• Vedremo modelli nell’ipotesi di staticità e di veicoli omogenei3

Problemi di Trasporto – Vehicle Routing7 Vehicle Routing Problem• Formulazione• Dato un grafo G=(V,A) generico determinare l’insieme di m cicli(rotte) a costo minimo che comprendano U⊆V nodi di servizio(required vertices) e R⊆A archi di servizio (required edges) e chesoddisfino ad un insieme dato di vincoli operativi.• Costo di una rotta = somma costi degli archi che la compongono• Vincoli operativi possibili:– ogni rotta deve passare per uno o più nodi stabiliti– numero massimo dei veicoli– rispetto della capacità dei veicoli (peso, volume)– durata massima delle rotte– fasce orarie di servizio per i clienti (time windows)– richieste di servizio dei clienti soddisfatte da un singoli veicoloProblemi di Trasporto – Vehicle Routing8 Vehicle Routing Problem• Localizzazione dei clienti• distribuiti in modo discontinuo lungo le vie• concentrati nelle località associate ai nodi‣clienti associati ai nodi di servizio U, R=∅‣Node Routing Problem (NRP)• distribuiti in modo continuo lungo le vie‣clienti associati agli archi di servizio R, U=∅‣Arc Routing Problem (ARP)• Senza vincoli operativi:• NRP diventa un Traveling Salesman Problem (TSP)• ARP diventa un Rural Chinese Postman Problem (RCPP)• ARP con R=A diventa un Chinese Postman Problem (CPP)4

Problemi di Trasporto – Vehicle Routing9 TSP (NRP senza vincoli operativi)• Singolo veicolo• Soluzione: rotta a costo minimo che tocca tutti i nodi (undeposito) = sequenza di nodi• G=(V,A) → G’=(V’,A’) completo (orientato)• c ij (i,j)∈A’ costo minimo in G per andare da i a j• Soluzione ammissibile: ciclo orientato hamiltoniano in G’• TSP asimmetrico c ij ≠c ji (ATSP)• TSP simmetrico c ij =c ji (STSP)Problemi di Trasporto – Vehicle Routing10 Il TSP è un problema NP-hard molto studiato La più grande istanza risolta: Applegate, Bixby, Chvátal, andCook (2001) 15.112 città in Germania“The solution of the 15,112-citytraveling salesman problem wasaccomplished in several phases in2000/2001, and used a total of 22.6years of computer time, adjusted to a500 MHz, EV6 Alpha processor. Theinitial tour-finding and cutting-planephases were run on a cluster ofCompaq ES40 Alphaserversconsisting of 32 EV6 (500 MHz)nodes and 12 EV67 (667 MHz)nodes”(www.math.princeton.edu/tsp/index.html)5

Problemi di Trasporto – Vehicle Routing11 Le soluzioni al TSP si cercano nella pratica utilizzandoeuristiche La formulazione matematica è utile per determinare dei“lower bound”, quindi una stima della bontà delle soluzionisub-ottimeZ − Z*TSP LBZ*LB In genere si usano approcci distinti tra caso simmetrico edasimmetricoProblemi di Trasporto – Vehicle Routing ATSP• Formulazione: G’=(V’,A’) orientato completox ij =1 se il nodo j segue immediatamenteil nodo i nel tourmin ∑ cijxij(i,j) ∈A'∑ xij= 1i∈V'\{j}∑ xij= 1j∈V'\{i}xij∈ XSTExij∈Bj ∈ V'i ∈ V'∀(i,j) ∈ A'alternativi∑ ∑ xij≤|S | −1i∈Sj∈S• due classi di subtour elimination constraints4∑ ∑ xij≥ 1i∈Sj∉S532 1S ⊂ V',| S | ≥ 26S ⊂ V',| S | ≥ 2126

Problemi di Trasporto – Vehicle Routing13 ATSP• Rilassamento: Assigment Problem (AP)2 1min ∑ cijxij(i,j) ∈A'∑ xij= 1i∈V'\{ j}j∈V'4536∑ xij= 1j∈V'\{i}i ∈ V'xij∈ Bse la matrice dei costi èfortemente asimmetricaZ*Z* TSP − AP < 1%Z* TSPProblemi di Trasporto – Vehicle Routing14 STSP• Formulazione G’=(V’,A’) non orientato completox ij =1 se l’arco (i, j) è nel tourx ij ∀i,j∈V’ i i∑ xiv+ ∑ xvi= 2i∈V'i∈V'ivxij∈ XSTExij∈ B∀i,j ∈ V'i < jv ∈ V'alternativi∑ ∑ xij+ ∑ ∑ xij≥ 2i∈S j∉Si∉S j∈Si < j i < j∑ ∑ xiji∈S j∈Si < j3241S ⊂ V',2 ≤|S | ≤ ⎡|≤|S | −195678V'| /2⎤S ⊂ V',2 ≤|S | ≤ ⎡|V'| / 2⎤7

Problemi di Trasporto – Vehicle Routing15 STSP• Rilassamento : Min r-Span. Tree (r-ST)min ∑ ∑ cijxiji∈V'j∈V'i

Problemi di Trasporto – Vehicle Routing17 Euristiche di miglioramento (local search)• 2-OPT (3-OPT)• si migliora il ciclo scegliendo il miglior 2-scambio (si rimovuono 2archi nel ciclo sostituendoli con altri due in modo da ottenere unciclo) (molto valide)• Lin-Kernighan• esegue k-scambi con k variabile sino a che scopre che con k+1scambi non si miglioraProblemi di Trasporto – Vehicle Routing18 NRP con vincoli operativi514236101179Magazzino B13rete inizialeMagazzino A81212311Magazzino Bsoluzione546107913Magazzino A8129

Problemi di Trasporto – Vehicle Routing19 NRP con vincoli operativi• M-TSP: M commessi (senza vincoli di capacità)• Single Depot Multiple Vehicle NRP• Multiple Depot Multiple Vehicle NRP• La presenza dei vincoli complica la formulazione• La soluzione è costituita da K tour (K veicoli)• Euristiche:• classiche (’60-’90) - semplici• metaeuristiche (dal ’90) - complicateProblemi di Trasporto – Vehicle Routing20 NRP con vincoli operativi - Euristiche classiche• Cluster first, route second• nella prima fase associano ad ogni veicolo un sottinsieme di nodi(clienti) e nella seconda fase risolvono per ogni veicolo un TSPsul sottografo indotto dai nodi scelti• Route first, cluster second• nella prima fase viene risolto un TSP rilassando i vincoli (ingenere non ammissibile per il NRP) e nella seconda fase il ciclo èdecomposto in k≤K tour ammissibili• Algoritmo dei risparmi• si parte da una serie di soluzioni ammissibili per NRP (tour) che sifondono progressivamente per ottenere soluzioni migliori purrestando ammissibili (inizializzazione: ogni cliente è servito da unveicolo diverso)10

Problemi di Trasporto – Vehicle Routing21 NRP con vincoli operativi - Euristiche classiche• Algoritmo dei risparmi• si calcolano i risparmi e si introduce quello più convenienteammissibileirisparmioc 0iic ij0c 0i c i0c j0c 0jj0s ij =c i0 +c 0j -c ij22c j0j• Scambi (local search)• adattamento delle k-OPT al NRP (scambio di clienti nella rotta otra rotte) che richiedono le verifiche di ammissibilitàProblemi di Trasporto – Vehicle Routing NRP con vincoli operativi - Metaeuristiche• Tabù Search• si cerca una soluzione ottima locale, si generano delle soluzioninell’intorno accettando peggioramenti ed anche soluzioni nonammissibili, quindi riparte alla ricerca di una soluzione localmenteottima ammissibile• per evitare di restare bloccati in un ciclo di soluzioni si utilizza lalista delle soluzioni tabù• ci si ferma dopo un numero massimo di iterazioni o di nonmiglioramenti• Simulated annealing• simile alla tabù search, esplora un intorno di una soluzioneaccettando anche soluzioni peggiorative.• l’ampiezza dell’esplorazione e la propensione all’accettazione deipeggioramenti si riduce progressivamente (raffreddamento)11

Problemi di Trasporto – Vehicle Routing23 Il Postino Cinese (CPP) (ARP senza vincoli operativi)• Singolo veicolo• Tutti gli archi richiedono servizio (altrimenti si ha il Rural CPP)• Soluzione: rotta a costo minimo che attraversa tutti gli archialmeno una volta• G=(V,A):• euleriano se esiste un ciclo che passi per tutti gli archi una solavolta → è la soluzione ottima• non euleriano → almeno un arco attraversato due volte• G orientato e connesso è euleriano se ogni nodo ha tanti archientranti quanti uscenti (simmetrico)• G non orientato e connesso è euleriano se ogni nodo ha gradopari• Il CPP è un problema facile (P) se G è orientato o non orientatoProblemi di Trasporto – Vehicle Routing24 Il Postino Cinese (CPP) (ARP senza vincoli operativi)• G misto (archi sia orientati e non – caso realistico nei centriurbani)• G misto è euleriano se:• il numero totale di archi incidenti nei nodi è pari• per ogni insieme di nodi S⊂V la differenza tra il numero di archiorientati che attraversa il taglio (S, V\S) nei due sensi è minore ouguale al numero di archi non orientati del taglio121212V\SV\SV\S535353S4S4S4eulerianoeulerianonon euleriano12

Problemi di Trasporto – Vehicle Routing25 Il Postino Cinese (CPP) (ARP senza vincoli operativi)• Se G è misto il CPP è NP-hard• La soluzione nel caso di G non orientato:• G euleriano: si trova il circuito euleriano partendo da un nodoqualsiasi scegliendo un arco da percorrere che non sia “bridge”(eliminando gli archi percorsi non si disconnette il grafo ancora davisitare)• G non euleriano: si rende il grafo euleriano duplicando alcuniarchi. Prima si determinano i percorsi minimi tra ogni coppia dinodi con grado dispari (che sono in numero pari), poi si troval’accoppiamento tra tali nodi a costo minimo risolvendo unproblema di matching binarioProblemi di Trasporto – Vehicle Routing26 Il Postino Cinese Rurale (RCPP) (ARP senza vincolioperativi)• Alcune strade non debbono essere servite ma sono solo dicollegamento• Il procedimento di soluzione si basa sulla costruzione di ungrafo euleriano che comprende gli archi da servire e quelli dicollegamento necessari a costo minimo quindi sullacostruzione del ciclo eulerianoarco diservizio5132arco dicollegamento6 513264413

Problemi di Trasporto – Vehicle Routing27 Il Postino Cinese Rurale (RCPP) (ARP senza vincolioperativi)• Il RCPP è NP-hard anche per grafi orientati e non orientati (seil numero di componenti connesse del sottografo indotto dagliarchi da servire è maggiore di 1) ARP con vincoli operativi• Necessari in genere più veicoli• Si usano algoritmi simili a quelli per il NRP, ad esempio:• Route First, Cluster Second• Path Scanning (si procede sino a che la capacità del veicolo loconsente poi si rientra al dep. per il percorso più breve)• Alg. di Christofiedes: simile al path scanning ma si procede sino ache è possibile rientrare con un percorso a richiesta minima• Casi più complessi possono richiedere il trasferimento deicarichi tra veicoli (eg. raccolta rifiuti)14