Metodi e Modelli di Programmazione Lineare - Massimo Paolucci

Metodi e Modelli di
Programmazione Lineare
Massimo Paolucci
(paolucci@dist.unige.it)
DIST – Università di Genova
La Programmazione Lineare (LP)
2
Modello di programmazione matematica
max f(x)
s.t.
x ∈ X ⊆ R n
• x vettore delle variabili decisionali
• X insieme delle soluzioni ammissibili
• f(x) funzione obiettivo scalare
Metodo decisionale = algoritmo di ottimizzazione

LP – richiami teorici
3
La definizione di un modello di programmazione
matematica
Definizione
delle variabili
Formulazione
Matematica
Definizione
dell’obiettivo
Definizione
dei vincoli
LP – richiami teorici
Quando sia la funzione obiettivo che le relazioni che
esprimono i vincoli sono lineari si ha un problema di PL
4
max
x
0
x ∈R
= c
n
T
x
Ax = b (1)
x ≥ 0 (2)
Problema in
Forma
Standard
• x è il vettore nx1 delle variabili decisionali
• c è il vettore nx1 dei coefficienti della funzione obiettivo
• b è il vettore mx1 dei termini noti dei vincoli
• A è la matrice mxn dei coefficienti dei vincoli; A=[a ij ],
i=1,...,m, j=1,...,n

LP – richiami teorici
5
Ipotesi nella forma standard
• b≥0 ⇒ b i ≥0 ∀i=1,...,m
• m

LP – richiami teorici
7
X Politopo
{
n
} x∈R
: Ax ≤ ≠ ∅
X = b
X
X Aperto
X
X Vuoto
X 1
X 2
X = X 1 ∩ X2
= ∅
LP – richiami teorici
8
La soluzione ottima finita (se esiste) corrisponde ad uno o
più punti estremi del poliedro.
Tali punti estremi sono caratterizzati algebricamente dalle
soluzioni di base ammissibili
Una soluzione di base corrisponde alla scelta di m variabili
su n, ossia alla scelta di una sottomatrice B (detta Base)
mxm di A invertibile, e si calcola annullando le restanti n-m
variabili fuori base.
x
=
⎡x
⎢
⎣x
B
N
⎤
⎥
⎦
Vettore
Vettore
delle
delle
var
var
.di base (mx 1)
. fuori base ((n −
m)x1)

LP – richiami teorici
Soluzione di base
x
−1
xB
B b
= ⎡ ⎣ ⎢ ⎤
x
⎥
N ⎦
= ⎡ ⎣ ⎢
⎤
⎥
0 ⎦
9
Soluzione di base ammissibile se
x B b
B =
−1
≥
0
Teorema
Dato X={Ax=b, x≥0} insieme convesso, dove A è una
matrice mxn di rango m con m

LP – L’algoritmo del simplesso (simplex)
11
Il simplesso cerca la soluzione ottima esplorando le soluzioni di base
effettuando una ricerca locale: data una soluzione di base verifica se
l’obiettivo può essere migliorato e se ciò è possibile determina una
soluzione di base migliore adiacente a quella di partenza
Geometricamente esplora la frontiera del poliedro dei vincoli (algoritmo
esterno)
x 2
D (ottima)
C
f.obj
B
X
A (iniziale)
x 1
LP – L’algoritmo del simplesso (simplex)
12
Problema in forma standard
max
x
0
x ∈R
= c
Ax = b
x ≥ 0
n
T
x
max
s.t.
a
M
a
x
11
m1
1
x
x
1
1
x ∈R
c
n
1
x
1
+ L+
a
+ L+
a
≥ 0,...,x
+ L+
c
n
1n
x
mn
≥ 0
n
x
n
n
x
n
= b
1
= b
m
Generica equazione (m equ. dei vincoli + 1 equ. obiettivo)
x
B i
= y − ∑
i0
j∈R
y
ij
x
j
∀i
= 0,1, K,m

LP – L’algoritmo del simplesso (simplex)
13
Il Simplesso (in forma algebrica)
1. Inizializzazione
Determinare una soluzione di base ammissibile
2. Verifica dell’ottimalità
Se y 0j ≥0 ∀j∈R allora la soluzione corrente è ottima e l’algoritmo
termina, altrimenti andare al passo 3
3. Scelta della variabile entrante in base
Scegliere una var. fuori base x k tale che y 0k 0
⎫
⎬
⎭
LP – L’algoritmo del simplesso (simplex)
14
Il Simplesso (in forma algebrica)
5. Pivoting.
Risolvere le equazioni
x
B i
= y − ∑
i0
j∈R
y
ij
x
j
∀i
= 0,1, K,m
ricavando x k e x Br i≠r, in funzione di x j ,j∈R-{k} e di x Br
La nuova soluzione si ottiene ponendo x j =0, j∈R-{k} e x Br =0
Andare al passo 2.

LP – L’algoritmo del simplesso (simplex)
15
Il Tableau
Contiene i coeff. delle m+1 equazioni dei vincoli e f.ob. e permette di
effettuare i passi dell’algoritmo in maniera semplice
xB i
+ ∑ yijxj
= yi0 ∀ i = 01 ,, K , m
j∈R
x L x L x L x L x L
B1
B r B m j k
x 0 L 0 L 0 L y L y L y
0 0j
0k
00
x 1 L 0 L 0 L y L y L y
B1 1j 1k
10
M M O M M M M M
x 0 L 1 L 0 L y L y L y
Br rj rk r0
M M M O M M M M
x 0 L 0 L 1 L y L y L y
B m mj mk m0
LP – L’algoritmo del simplesso (simplex)
16
Il Simplesso (sul tableau)
1. Inizializzazione
Costruire il tableau iniziale con una soluzione di base ammissibile
2. Verifica dell’ottimalità
Se nella riga di x 0 non esistono coefficienti negativi la soluzione
corrente è ottima e l’algoritmo termina, altrimenti andare al passo 3
3. Scelta della variabile entrante in base
Scegliere una var. fuori base x k tale che y 0k 0, e scegliere la riga r-esima associata
al rapporto più piccolo. Il coeff. y rk èilpivot

LP – L’algoritmo del simplesso (simplex)
17
Il Simplesso (sul tableau)
5. Pivoting.
Portare in base x k al posto di x Br dividendo la riga r-esima per il pivot,
quindi sottraendo la nuova riga r alle altre righe del tableau, obiettivo
incluso, dopo averla moltiplicata per il corrispondente coeff. della
colonna k. In questo modo la nuova colonna k sarà formata da tutti
coeff. nulli tranne il coeff. r-esimo uguale ad 1.
Aggiornare l’etichetta della riga r-esima con x k.
Andare al passo 2.
LP – L’algoritmo del simplesso (simplex)
18
Trasformazione dei problemi in forma standard
• Vincoli di ≤ si introducono var. di slack (scarto)
n
∑ a
j=
1
x
b
i
∑ a
≥ 0
• Vincoli di ≥ si introducono var. di surplus (eccedenza)
n
∑ a
j=
1
ij
ij
x
j
j
≤
≥
b
i
→
→
n
j=
1
n
∑ a
j=
1
ij
ij
x
• Variabili libere si effettua la sostituzione x j = u j –v j con u j ≥0v j ≥0
x
j
j
+
− s
s
i
i
=
=
b
b
i
i
s
s
i
i
≥ 0
• Termini noti negativi (b i ≤0) si cambia il segno al vincolo
• Problema di minimo si cambia segno alla f.ob. e si massimizza
(oppure si inverte la condizione di ottimalità dell’algoritmo)

LP – L’algoritmo del simplesso (simplex)
19
Inizializzazione
• Base iniziale formata da var. di slack Ax + Is = b
• Metodo delle due fase (Two-Phase Method)
• Metodo del Big-M
Soluzioni degeneri
• Almeno una componente di x B è nulla
• Possono causare loop nell’algoritmo (cycling)
Criteri di scelta della var. entrante
• Metodo del gradiente
• Metodo del massimo incremento
LP – Il problema della produzione (Product Mix)
Il problema
Determinare quali e quanti prodotti produrre (in generale, quali attività
eseguire ed a quale livello) in modo da massimizzare il profitto
conseguente tenendo conto della disponibilità limitata delle risorse
necessarie alla produzione
• Il problema si può affrontare in generale con l’Analisi Marginale (...)
• Può essere modellato con la PL se le relazioni tecnologiche che
legano prodotti e risorse possono essere approssimate in modo
lineare
x
x
20
r
r
• Inoltre tutte le grandezze possono essere considerate
deterministiche (in particolare, i ricavi dalla vendita dei prodotti)

LP – Il problema della produzione (Product Mix)
21
Formulazione ed interpretazione del problema
• Si dispone di j=1,...,m risorse produttive (ad esempio, materie prime) in
quantità limitata
• La massima disponibilità delle risorse è b 1 ,...,b m
• Si possono produrre i=1,...,n diversi prodotti utilizzando con una data
tecnologia le risorse disponibili
• Sono note le quantità di risorse necessarie per produrre una unità di
ciascun possibile prodotto: per produrre una unità del prodotto i-mo si
utilizzano a ij unità della risorsa j-ma (nell’ipotesi di linearità questo
coeff. resta costante)
• Agli n prodotti sono associati i profitti unitari c 1 ,..., c n (profitto per unità
di prodotto, ipotizzando tutta la produzione venga venduta, ovvero che
vincolando la produzione ad una domanda supposta costante e nota)
LP – Il problema della produzione (Product Mix)
22
Formulazione ed interpretazione del problema
n
i
i=
1
n
∑ aij
i=
1
max ∑ c
x
x
i
i
x
x
i
i
≤ b
≥ 0i = 1,...,n
∈ Ri
= 1,...,n
j
j = 1,...,m
Variabili
• x i quantità di prodotto i-mo
• continue (?) e positive
Vincoli
• la quantità totale di ogni
risorsa utilizzata nella
produzione non può superare
la disponibilità massima
Obiettivo
• il ricavo totale della
produzione

LP – Il problema della produzione (Product Mix)
Formulazione ed interpretazione del problema
• E’ un PL in forma canonica di massimizzazione
max
x
0
Ax ≤ b
x ≥ 0
x ∈R
= c
n
T
x
23
• A è detta matrice tecnologica
• All’ipotesi di condizioni deterministiche (parametri costanti) si risponde con
l’Analisi di Post-ottimalità
• Esempi ed interpretazione:
• 2 prodotti 3 risorse (simplesso sul tableau + analisi grafica nel piano dei
prodotti)
• Uso di pacchetti sw (Excel, Lindo, Lingo)
• 4 prodotti e 3 risorse
• 4 prodotti e 2 risorse (simplesso con sw + analisi grafica nel piano delle risorse)
LP – Il problema della produzione (Product Mix)
Esempio 1
max
(2)
3
B C
2
(3)
D
1
x
2x
x
1
1
x
+ 2x
1
0
+ x
x
= 3x
2
2
2
≥ 0,x
≤ 8
≤ 2
≤ 6
2
1
+ 2x
≥ 0
(1)
(2)
(3)
2
24
x 2
x 0 =0
A
1 2 3 4 5 6
E
(1)
x 1

LP – Il problema della produzione (Product Mix)
Esempio 1: Forma Standard
max
3
B C
2
1
D
x
2x
x
1
i
x
+ 2x
1
0
+ x
x
≥ 0
= 3x
2
2
2
1
+ x
+ 2x
3
i = 1,...,5
2
+ x
4
+ x
5
= 6
= 8
= 2
(1)
(2)
(3)
25
x 2
x 0 =0
(2) x 4
(3) x 5
(1) x 3
A
1 2 3 4 5 6
E
x 1
LP – Il problema della produzione (Product Mix)
Esempio 1: Il tableau
• Base iniziale formata dalle slack
• Il Tableau iniziale
x
B
⎡x
=
⎢
x
⎢
⎢⎣
x
3
4
5
⎤ ⎡6⎤
⎥
=
⎢
8
⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥⎦
⎢⎣
2⎥⎦
26
x
x
x
x
0
3
4
x
1
− 3
1
2
0
x
2
− 2
2
1
1
5
• 1 a iterazione: X 1 entra ed x 4 esce (dal vertice A al vertice ???;
eseguire i calcoli ....)
x
3
0
1
0
0
x
4
0
0
1
0
x
5
0
0
0
1
0
6
8
2

LP – Il problema della produzione (Product Mix)
Esempio 1: Il tableau
27
• Il Tableau dopo la prima iterazione
x
x
x
x
0
3
1
5
x
1
0
0
1
0
x
2
−1/
2
3 / 2
1/ 2
1
x
3
0
1
0
0
x
4
3 / 2
−1/
2
1/ 2
0
x
5
0
0
0
1
12
2
4
2
• 2 a iterazione: X 2 entra ed x 3 esce (dal vertice ??? al vertice ???;
eseguire i calcoli ....)
LP – Il problema della produzione (Product Mix)
Esempio 1: Il tableau
28
• Il Tableau dopo la seconda iterazione
x
x
x
x
0
2
1
5
x
1
0
0
1
0
x
2
0
1
0
0
x
3
1/ 3
2 / 3
−1/
3
−
2 / 3
x
4
4 / 3
−1/
3
2 / 3
1/ 3
x
5
0
0
0
1
38 / 3
4 / 3
10 / 3
2 / 3
• Il tableau è ottimo
• La soluzione ottima
x
*
B
⎡x
=
⎢
x
⎢
⎢⎣
x
2
1
5
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
⎡ 4/3 ⎤
=
⎢
10/3
⎥
⎢ ⎥
⎢⎣
2/3 ⎥⎦
x
⎡x
= ⎢
⎣x
⎤
* 3
N ⎥ =
4⎦
0

LP – Il problema della produzione (Product Mix)
Esempio 1: Domande
29
• Cosa succede alla soluzione se il poliedro fosse aperto?
• Provare con max x = x + 3x
• Come si riconosce il caso di più soluzioni ottime equivalenti?
• Provare con max
x
x
x
1
1
3x
1
0
x
2
≥ 0,x
x
+ 2x
1
0
+ 2x
x
1
≤ 2
2
= 3x
2
2
≥ 0,x
2
≤ 2
≥ 0
≤ 6
2
1
≤ 8
≥ 0
2
+ 2x
2
LP – Il problema della produzione (Product Mix)
30
Esempio 1: Uso di software per la soluzione di PL
• Excel (Solver)
• Esempi grafici (2D) (caso di sol. illimitata e problema non amm.)
• Lindo
• Lingo (formulazione simbolica)
Esempio 2: 4 prodotti e 3 risorse
max x0
= 4x1
+ 5x2
+ 9x3
+ 11x 4
x1
+ x2
+ x3
+ x4
≤ 16
7x1
+ 5x2
+ 3x3
+ 2x4
≤ 120
3x1
+ 4x2
+ 10x3
+ 15x4
≤ 100
xi
≥ 0 i = 1,...,4

LP – Il problema della produzione (Product Mix)
Interpretazione economica
• Funzione Obiettivo Curva Isoguadagno
31
• Vincoli Saturi (binding constraints) Risorse Scarse
• Slack nulle
• Converrebbe aumentarne la disponibilità e se sì cosa accadrebbe?
• Vincoli non saturi Risorse abbondanti
• Slack positive
• Converrebbe aumentarne la disponibilità e se sì cosa accadrebbe?
• Domande di carattere economico/gestionale conseguenti alla
soluzione:
• Vi sono risorse non utilizzate? Posso diminuire lo spreco?
• Ci sono risorse che mi converrebbe acquisire ulteriormente? Quali e
con che priorità?
• Di quanto ha senso aumentare la disponibilità delle risorse?
• Che accade se variano i ricavi per i miei prodotti, ovvero quanto è
robusta la soluzione?
LP – L’analisi di sensitività (post-ottimalità)
32
L’analisi di sensitività consente di valutare gli effetti di
piccole variazioni dei parametri rispetto la soluzione ottima
del problema (variazioni marginali)
I casi che vedremo:
• Range di variazione della disponibilità delle risorse
• Aumento di risorse scarse
• Diminuzione di risorse abbondanti
• Range di variazione dei coeff. di guadagno
• Effetti causati dall’acquisizione di nuove risorse
• Effetti causati da produzione diversa dall’ottimo (prodotto non
conveniente, nuovo prodotto)
Teoria necessaria: definizione di alcune grandezze e la
teoria della dualità

LP – Definizione di alcune grandezze
33
Coefficienti di costo ridotto r = (r j , j∈R)
• Sono i coeff. delle variabili fuori base nella riga della f.ob. nel
tableau = y 0j j∈R
• Consideriamo un tableau in forma matriciale ed il caso in cui la
base iniziale è formata da slack
s x
x0 0
T
− c
T
s I A
0
b
x0
s
s
0
T
I
xB
− c
T
B
B
xN
− c
T
N
N
0
b
x0
xB
s
c
T
B
−1
B
B
−1
xB
0
T
I
xN
c
T
B
−1
N − c
T
B N
B
−1
N
c
T
B
−1
b
B
B
−1
b
LP – Definizione di alcune grandezze
34
Coefficienti di costo ridotto r = (r j , j∈R)
• Corrispondono a
e la condizione di ottimalità è r j ≥0j∈R
Domanda: che significato ha la presenza di almeno un r j =0 nel
tableau ottimo?
I moltiplicatori del simplesso π = (π j , j∈R)
• Corrispondono a
rj
= c
T
B
−1
a
B j − c j
π = c T 1
B B −
Osservazioni sul tableau ottimo
• I moltiplicatori del simplesso sono parte degli r e si riducono agli r
corrispondenti alle slack fuori base
• Se la base iniziale era costituita da slack, le colonne delle slack
all’ottimo contengono B -1

LP – La Teoria della Dualità
35
Ad ogni problema di PL (Primale) è associato un
problema Duale
Problema Primale (P)
max
s.t.
c1x
1 + L+
cnxn
a11x
1 + L+
a1n
xn
≤ b1
M
am1x
1 + L+
amnxn
≤ bm
Problema Duale (D)
min
s.t.
b1y1
+ L + bmym
a11y1
+ L + am1y
m ≥ c1
M
a1n
y1
+ L + amnym
≥ cn
(n variabili, m vincoli) (m variabili, n vincoli)
LP – La Teoria della Dualità
36
Il problema D ha tante variabili quanti sono i vincoli
di P e tanti vincoli quante sono le variabili di P.
In forma matriciale:
(P)
max
T
c
x
(D)
min b
T
y
Ax ≤ b
x ≥ 0
x ∈ R
n
A
T
y ≥ c
y ≥ 0
y ∈R
m

LP – La Teoria della Dualità
37
Forma simmetrica della dualità
regole di trasformazione
(P)
(D)
max ⇒ min vincoli ≥
min ⇒ max vincoli ≤
LP – La Teoria della Dualità
Duale di un Primale con vincoli di uguaglianza:
Infatti:
(P)
max
Ax = b
x ≥ 0
x ∈R
n
c
T
x
A x = b equivale a
min
A
u
T
≥
0
(b
u −
v
T
u,v ∈ R
A
u − b
≥
m
T
v
0
≥
T
c
v)
(D)
⎧A x ≤ b
⎨
⎩A x ≥ b⇒−
A x
min b
T
y
A
T
y ≥
y
var .libere
y ∈R
m
≤ −b
introducendo 2m variabili duali, u e v
e sostituendo y= u -vsi ottiene (D)
c
38

LP – La Teoria della Dualità
39
Forma non simmetrica della dualità: regole
di trasformazione
(P)
(D)
max ⇒ min vincoli ≥
min ⇒ max vincoli ≤
vincolo = ⇒ var. libera
var. libera ⇒ vincolo =
Le trasformazioni sono reversibili: il duale del duale è il
primale.
LP – La Teoria della Dualità
40
La teoria della Dualità è importante perchè:
• le soluzioni di P e D sono legate tra loro
• le soluzioni duali hanno un’interpretazione economica utile
per l’analisi di sensitività (post-ottimalità);
• sulla teoria della dualità sono basati algoritmi, quali il
Simplesso Duale e l’Algoritmo Primale-Duale, alternativi al
Simplesso (Primale) utili per certe classi di problemi;
• può in certi casi essere conveniente risolvere D al posto di P
(conviene risolvere il problema con il minor numero di vincoli)

LP – La Teoria della Dualità: risultati fondamentali
41
Consideriamo la coppia di problemi (P) e (D)
(P) min c
T
x (D) max b
T
y
Ax ≥ b
x ≥ 0
A
T
y ≤ c
y ≥ 0
1. Teorema (debole) della dualità
Siano x e y soluzioni ammissibili rispettivamente per (P) e (D),
allora
c
x
b
T
y
T ≥
42
LP – La Teoria della Dualità: risultati fondamentali
Dimostrazione:
y soluzione ⇒ A y ≤ c
T
T T T
x ≥ 0 ⇒ ( A y)
x ≤ c x
x soluzione ⇒ A x ≥ b
T
T
y ≥ 0 ⇒ ( Ax)
y ≥ b y
T T T T T T T
c x ≥ ( A y) x = x A y = ( Ax)
y ≥ b y
Corollario
Se (P) è illimitato ⇒ (D) non è ammissibile
Se (D) è illimitato ⇒ (P) non è ammissibile
Se (P) ha soluzione ottima finita ⇒ (D) ha soluzione ottima finita
Se (D) ha soluzione ottima finita ⇒ (P) ha soluzione ottima finita

LP – La Teoria della Dualità: risultati fondamentali
43
2. Teorema (forte) della dualità
Se (P) e (D) ammettono soluzione ottima finita, allora per ogni
ottimo x * per (P) esiste una soluzione ottima y * per (D) tale che
c
T
x
*
= b
T
y
*
Dal Teorema della dualità forte si ricava valore della soluzione
ottima di (D) corrispondente alla soluzione ottima di (P)
x
*
⎡x
* ⎤ ⎡B
−1
⎤
= B b
⎢ ⎥ = ⎢ ⎥
⎢⎣
x
*
N⎥⎦
⎣ 0 ⎦
c
T
B
−1
b = b
T
y
*
B
c
T
x
*
*
T
y
= c
T
x
*
B B
= c
T
B
−1
B
= c
T
B
−1
b
B
LP – La Teoria della Dualità: risultati fondamentali
Osservazioni
• La base B è ottima per (P) e per (D).
• Una base B ammissibile per (P) corrisponde ad una
base ammissibile per (D) solo se B è ottima.
(P) max c
T
x c
T
B + x
B N N
BxB
+ NxN
= b
xB
≥ 0 xN
≥ 0
x ∈ X ⇒ B
−1 b ≥ 0
(D)
min b
T
y
y
T
B ≥ c
T
B
y
T
N ≥ c
T
N
y var .libere
44
y
T
= c
T
B
−1
B
y
T
⎧a)
∈ Y ⇒ ⎨
⎩b)
(c
(c
T
B
T
B
B
B
−1
−1
)B ≥ c
)N ≥ c
T
B
T
N

LP – La Teoria della Dualità: risultati fondamentali
Osservazioni
• La base B è ottima per (P) e per (D).
• Una base B ammissibile per (P) corrisponde ad una
base ammissibile per (D) sono se B è ottima.
45
y
T
∈ Y ⇒
⎧
⎪a)
⎨
⎪⎩
b)
(c
T
B
−1
)B ≥ c
T
B B
(c
T
B
−1
)N ≥ c
T
B N
a)
b)
c
T
≥ c
T
B B
c
T
B
−1
N − c
T
B N
(vera sempre)
≥ 0
c
T
B
−1
a
j
B
− c j ≥ 0 j ∈ R
sono le condizioni di ottimalità su costi ridotti di (P)
LP – La Teoria della Dualità: risultati fondamentali
Osservazioni
• Solo in corrispondenza dell’ottimo dalla base B
ammissibile per (P) si ottiene una soluzione ammissibile
per (D) (che è anche ottima).
• Ad una generica iterazione del simplesso dalla base di
(P) si può costruire il vettore dei moltiplicatori del
simplesso che non è soluzione di (D).
46
Qual è il significato economico del problema
duale? Cosa rappresentano le variabili duali?

LP – La Dualità: interpretazione economica
Consideriamo:
• un problema (P) max c
T x
Ax ≤ b
x ≥ 0
47
• la soluzione (non degenere)
x
*
B
1
b
x
* ⎡ ⎤ ⎡ − ⎤
= B
⎢
x
* ⎥ = ⎢ ⎥
⎢⎣
N⎥⎦
⎣ 0 ⎦
x
*
B
> 0
• ed una piccola variazione ∆b>0 di b non cambia la base
ottima B
⎡x
*
+ ∆x
* ⎤ ⎡B
−1
(b + ∆b)
⎤
x
*
= B B
⎢ ⎥ = ⎢ ⎥
⎢⎣
x
*
N ⎥⎦
⎣ 0 ⎦
LP – La Dualità: interpretazione economica
48
Come cambia il valore dell’obiettivo?
x c
T
B
1
(b b) x c
T
B
1
T
b x y
*
0 =
−
+ ∆ ⇒ ∆ 0 =
−
∆ ⇒∆ 0 = ∆b
B
B
• Varia della variazione delle risorse per il valore della
soluzione ottima duale !
• Allora y * può essere interpretato come il prezzo (valore)
marginale delle risorse (b) poichè indica qual è la
variazione dell’obiettivo (guadagno) conseguente ad
una maggior disponibilità delle risorse.
• I valori duali ottimi sono anche detti prezzi ombra

LP – La Teoria della Dualità: risultati fondamentali
Lo scarto complementare (complementary
slackness)
• Consideriamo una coppia (P), (D)
(P) max c
T x
Ax ≤ b
x ≥ 0
Ax + Is = b
x ≥ 0
s ≥ 0
n var .
m var .di slack
49
(D)
min b
T
y
A
T
y ≥ c
y ≥ 0
A T y − Iv = c
≥
y ≥ 0
v
0
m var .
n var .di surplus
Ad ogni variabile di (D) è associato un vincolo di (P) e quindi la
corrispondente variabile di slack e viceversa.
LP – La Teoria della Dualità: risultati fondamentali
Lo scarto complementare (complementary
slackness
50
3. Teorema della slackness complementare
Data la coppia di soluzioni x e y rispettivamente ammissibili
per (P) e (D), x e y sono ottime per (P) e (D) se e solo se
s j ⋅ y j
=
(b j
−
a
j
x) ⋅ y j
=
0
j
= 1, K,m
vi
⋅ xi
=
(a
T
y
i
− ci)
⋅ xi
=
0
i
= 1, K,n
dove
a j è il vettore riga j-esima di A
a i è il vettore colonna i-esima di A

LP – La Teoria della Dualità: risultati fondamentali
Lo scarto complementare (complementary
slackness
• Il teorema stabilisce che
51
a.
b.
c.
d.
x 0 a
T
i > ⇒ y = c
i i
a
T
y > ci
⇒ xi
= 0
i
y 0 a
j
j > ⇒ x = bj
a
j
x < bj
⇒ y j
= 0
(vincolo duale saturo: v i =0)
(vincolo duale non saturo: v i >0)
(vincolo primale saturo: s j =0)
(vincolo primale non saturo: s j >0)
LP – La Dualità: interpretazione economica
Il problema del Product Mix
• Stabilire i livelli ottimi di produzione per un insieme di prodotti in
modo da massimizzare il profitto ricavato dalla loro vendita,
rispettando la disponibilità limitata delle risorse necessarie alla
produzione
(P) max c
T x
Ax ≤ b
x ≥ 0
x i
c i
b j
a ij
livello di produzione del prodotto i-mo
profitto per unità di prodotto i-mo
disponibilità della risorsa j-ma
quantità di risorsa j-ma necessaria per
produrre un’unità di prodotto i-mo
52
j-mo vincolo di (P)
a
j
x
≤ bj
il consumo totale di risorsa j-ma non
supera la sua disponibilità massima

LP – La Dualità: interpretazione economica
Il duale del problema del Product Mix
• Avendo scelto di vendere le risorse produttive, determinare il loro
prezzo minimo, imponendo che la loro vendita sia almeno tanto
conveniente che vendere i beni prodotti con le risorse
53
(D)
min b
T
y
A
T
y ≥ c
y ≥ 0
y j
c i
b j
a ij
prezzo minimo a cui vendere la j-ma risorsa
profitto per unità di prodotto i-mo
disponibilità della risorsa j-ma
quantità di risorsa j-ma necessaria per
produrre un’unità di prodotto i-mo
i-mo vincolo di (D)
a
T
y ≥ c
i i
il valore di una unità di prodotto i-mo, calcolato
considerando le risorse necessarie per produrlo e
il loro prezzo minimo, deve superare il prezzo
unitario di vendita del prodotto stesso
LP – La Dualità: interpretazione economica
54
Interpretazione economica della slackness complementare
• Primale:
• Il valore delle risorse (il valore ottimo delle variabili duali) è positivo
solamente quando le risorse sono utilizzate completamente (risorse
scarse), ovvero quando sono nulle le variabili di slack associate ai
vincoli corrispondenti
• Duale
s b a
j
j = j − x ⇒ s jy
j = 0
• Il livello di produzione dei prodotti (il valore ottimo delle variabili primali)
è positivo solamente quando il profitto unitario che si ricava dalla loro
vendità è pari a quanto si ricaverebbe vendendo le risorse necessarie
alla produzione al loro prezzo minimo (condizione di bilancio
economico), ovvero quando il surplus di guadagno unitario della
vendita delle risorse rispetto la produzione dei prodotti è nullo
v a
T
i = y−
ci
⇒xivi
= 0
i

LP – La Dualità: interpretazione economica
Il problema della Dieta (blending)
• Determinare la dieta bilanciata più economica avendo la possibilità
di acquistare n diversi cibi. Una dieta è bilanciata se soddisfa i livelli
minimi giornalieri di calorie e di altri elementi nutrizionali (e.g.,
proteine, calcio, ferro, vitamine). Quindi determinare la quantità che
deve essere acquistata per ciascun cibo, minimizzando la spesa
complessiva e soddisfacendo i livelli nutrizionali minimi
(P)
min
Ax
x
≥
≥
c
T
x
0
b
j-mo vincolo di (P)
a
j
x ≥ bj
x i
c i
b j
a ij
quantità di cibo i-mo da acquistare
costo per unità di cibo i-mo
livello minimo per l’elemento nutriz. j-mo
quantità di elemento nutrizionale j-mo
presente in una unità di cibo i-mo
la quantità complessiva dell’elemento nutriz. j-ma
fornita dai cibi acquistati deve essere almeno
pari al relativo livello minimo.
55
LP – La Dualità: interpretazione economica
Il duale del problema della Dieta
• Volendo acquistare singolarmente gli m elementi nutrizionali (e.g.,
in pillole) per ottenere la dieta bilanciata, determinare il massimo
prezzo per i singoli elementi in modo che il loro acquisto sia
competitivo rispetto quello dei cibi contenenti tali elementi
56
(D)
max b
T
y
A
T
y ≤ c
y ≥ 0
y j
c i
b j
a ij
prezzo massimo a cui acquistare il j-mo
elemento nutriz.
costo per unità di cibo i-mo
livello minimo per l’elemento nutriz. j-mo
quantità di elemento nutriz. j-mo presente
in una unità di cibo i-mo
i-mo vincolo di (D)
a
T
y ≤ c
i i
il prezzo unitario del cibo i-mo “sintetico” (il
prezzo della quantità di elementi nutriz.
forniti da una unità di cibo i-imo) deve non
superare il prezzo reale del cibo i-mo

LP – L’analisi di post-ottimalità
57
Consideriamo un problema di PL con soluzione ottima x * e
base ottima associata B, determinare con quali condizioni
possono variare certi coefficienti del problema lasciando
invariata la base ottima.
max c
T x
Ax = b
x ≥ 0
Considereremo tre casi:
a) variazione di un coefficiente della funzione obiettivo associato ad
una variabile fuori base (c N )
b) variazione di un coefficiente della funzione obiettivo associato ad
una variabile in base (c B )
c) variazione del termine noto di un vincolo (b)
LP – L’analisi di post-ottimalità
58
Casi (a) e (b): variazione dei prezzi di vendita dei prodotti
• (a) – grafico nel piano dei prodotti
• all’ottimo x 2
è fuori base
3
x 2
il coeff.angolare dell’obiettivo è
c 1 diminuisce
c
− 1
c2
2
B
C
c 2 aumenta
1
D
E diventa sol. ottima
⇒ x 2 entra in base
A
1 2 3 4 5 6
E
x 1

LP – L’analisi di post-ottimalità
Casi (a) e (b): variazione dei prezzi di vendita dei prodotti
• (a) – analitico
• Sia c k , k∈R, il coefficiente che viene variato. Il coefficiente di
costo ridotto associato alla k-esima variabile fuori base è
59
positivo poichè la base è ottima e variando c k varia r k
r c
T
B
1
k =
−
a
B k
c k
− c k =
← c k + δ⇒ rˆ k =
y
*
y
*
T
T
a k − c k ≥ 0
a k − (c k + δ )
• Perchè la soluzione corrente resti ottima il nuovo valore di r k
deve rimanere positivo (altrimenti la variabile fuori base
associata sarebbe candidata ad entrare in base)
rˆ k
≥
0
⇒
y
*
T
a k
−
(c k
+ δ)
≥ 0
⇒
δ
≤
y
*
T
a k
−
c k
⇒
δ
≤
r k
LP – L’analisi di post-ottimalità
60
Casi (a) e (b): variazione dei prezzi di vendita dei prodotti
3
2
1
A
• (b) – grafico nel piano dei prodotti
x 2
B
• all’ottimo x 2
è in base
C
E
c 1 diminuisce
c 2 aumenta
D
1 2 3 4 5 6
il coeff.angolare dell’obiettivo è
c 1 aumenta
c 2 diminuisce
x 1
C diventa sol. ottima
⇒ la base cambia
D diventa sol. ottima
⇒ x 2 esce di base
c
− 1
c2

LP – L’analisi di post-ottimalità
Casi (a) e (b): variazione dei prezzi di vendita dei prodotti
• (b) – analitico
• Sia c Bi , i=1,...,m , il coefficiente che viene variato. La variazione
modifica tutti gli r k delle var. fuori base che devono restare
positivi perché la base non cambi
⎡0⎤
⎢M⎥
⎢ ⎥
r c
T
B
1
k =
−
ak
− ck
k ∈ R
e
B
i = ⎢1⎥(i
− mo)
⎢
M
⎥
c B ← c B + δ⇒ c B ← c B + δe
⎢ ⎥
i i
i
⎢⎣
0⎥⎦
rˆ
T 1
T 1
k = c B
−
a
B k − c k + δe
B
−
a
T 1 1 i
i k e B
−
= (B
−
)
i
61
rˆ k
=
rk
+
δ(B
−1
)
i
a k
≥
0
∀ k
• Come si effettuano i casi (a) e (b) utilizzando il tableau ottimo?
LP – L’analisi di post-ottimalità
Caso (c): variazione della disponibilità delle risorse
• Due possibilità
62
(1) aumentare le risorse scarse per migliorare l’obiettivo
(2) ridurre le risorse abbondanti lasciando invariato l’obiettivo
• (c) – grafico nel piano dei prodotti
x 2
(1) x 3
(2) x 4
(3) x 5
3
b 2 (scarsa) aumenta
2
B
C
1
A
D
1 2 3 4 5 6
E
D’
L
x 1

LP – L’analisi di post-ottimalità
Caso (c): variazione della disponibilità delle risorse
• Due possibilità
63
(1) aumentare le risorse scarse per migliorare l’obiettivo
(2) ridurre le risorse abbondanti lasciando invariato l’obiettivo
• (c) – grafico nel piano dei prodotti
(2) x 4
(3) x 5
3
2
B
C
x 2
(1) x 3
b 3 (abb.) diminuisce
1
D
E
x 1
A
1 2 3 4 5 6
LP – L’analisi di post-ottimalità
64
Caso (c): variazione della disponibilità delle risorse
• (c) – analitico
• Sia b i
, i=1,...,m , il termine noto del i-mo vincolo che viene variato
• A causa di tale variazione si modificano i valori delle variabili di base
b
1
1 1
i ← bi
+ δ⇒ xˆ B = B
−
(b + δei
) = B
−
b + δ(B
−
) i
⇒ xˆ
1
B = x B + δ(B
−
) i
B
−1
ei
= (B
−1
) i colonna i-ma di B -1
xˆ B
=
xB
+
δ(B
−1
) i
≥
0
• Come si effettua questa analisi usando il tableau ottimo (caso
particolare)?

LP – L’analisi di post-ottimalità
Un esempio
65
max
x
2x
x
1
1
x
+ 2x
1
0
+ x
x
= 3x
2
2
2
≥ 0,x
≤ 8
≤ 2
≤ 6
2
1
+ 2x
≥ 0
2
max
x
2x
x
1
i
x
+ 2x
1
0
+ x
x
= 3x
2
2
2
1
+ x
+ 2x
3
≥ 0 i = 1,...,5
2
+ x
4
+ x
5
= 6
= 8
= 2
x
x
x
x
0
3
4
5
il tableau iniziale
x x x x
1
−3
2
− 2
3
0
4
0
1 2 1 0
2 1 0 1
0 1 0 0
x
5
0
0
0
1
0
6
8
2
x
x
x
x
0
2
1
5
x
1
0
0
1
0
il tableau ottimo
x x x
2
0
3
1/3
4
4/3
1 2/3 −1/3
0 −1/3
2/3
0 −2/3
1/3
x
5
0
0
0
1
38/3
4/3
10/3
2/3
LP – L’analisi di post-ottimalità
66
Un esempio
⎡2
1 0⎤
B = ⎢1
2 0⎥
⎢ ⎥
⎢⎣
1 0 1⎥⎦
B -1
x
x
x
x
0
2
1
5
x
1
0
0
1
0
x
2
0
1
0
0
x
3
1/3
2/3
−1/3
−2/3
x
4
4/3
−1/3
2/3
1/3
x
5
0
0
0
1
38/3
4/3
10/3
2/3
• in questo caso i coeff. c k che moltiplicano le var. fuori base sono
tutti nulli, e le corrispondenti colonne a k della matrice N sono i
vettori e k , i coeff. di costo ridotto nel tableau ottimo forniscono
direttamente il valore dell’ottimo duale
T
r
T 1
T 1 *
k = c B
−
a
B k − ck
= c B
−
e
B k = y ek
=
[ 1 3 4 3 0]
y
*
k
⇒ y
*
T
=
(... perché y 3*
=0 ?)

LP – L’analisi di post-ottimalità
67
Un esempio
• Caso (a) – coeff. dell’obiettivo di una var. fuori base
• variazione di c 3
: (inizialmente c 3
=0 - slack) c 3
← c 3
+ δ
1
δ ≤ r3 ⇒ δ ≤ ⇒ − ∞ ≤ c 3 ≤
3
• variazione di c 4
: (inizialmente c 4
=0 - slack) c 4
← c 4
+ δ
1
3
4
δ ≤ r4 ⇒ δ ≤ ⇒ − ∞ ≤ c 4 ≤
3
• Interpretazione economica?
4
3
x0
x2
x1
x5
x1
0
0
1
0
x2
0
1
0
0
x3
1/ 3
2/ 3
−1/ 3
− 2/ 3
x4
4/ 3
−1/ 3
2/ 3
1/ 3
x5
0
0
0
1
38/ 3
4/ 3
10/ 3
2/ 3
LP – L’analisi di post-ottimalità
Un esempio
• Caso (b) – coeff. dell’obiettivo di una var. in base
• variazione di c 1
: (inizialmente c 1
=3) c 1
← c 1
+ δ
68
rˆ
rˆ
3
4
=
=
1
3
3 4
−
+
1
3
3 2
δ
δ
≥
≥
0⇒ δ
0⇒ δ
≤ 1
≥ −2
⇒ 1 ≤ c1 ≤
4
x
x
x
x
0
2
1
5
x
1
0
0
1
0
x
2
0
1
0
0
x
3
1/3
2/3
−1/3
−2/3
x
4
4/3
−1/3
2/3
1/3
x
5
0
0
0
1
38/3
4/3
10/3
2/3
• Interpretazione economica?

LP – L’analisi di post-ottimalità
Un esempio
• Caso (b) – coeff. dell’obiettivo di una var. in base
• variazione di c 2
: (inizialmente c 2
=2) c 2
← c 2
+ δ
69
rˆ
rˆ
3
4
=
=
3 1
3 4
+
−
3 2
3 1
δ ≥ 0⇒δ
≥
δ ≥ 0⇒δ
≤
−
4
2 1
3
⇒
2
≤
c 2 ≤
6
x
x
x
x
0
2
1
5
x
1
0
0
1
0
x
2
0
1
0
0
x
3
1/3
2/3
−1/3
−2/3
x
4
4/3
−1/3
2/3
1/3
x
5
0
0
0
1
38/3
4/3
10/3
2/3
• Interpretazione economica?
LP – L’analisi di post-ottimalità
Un esempio
• Caso (b) – coeff. dell’obiettivo di una var. in base
• variazione di c 5
: (inizialmente c 5
=0 - slack) c 5
← c 5
+ δ
70
rˆ
rˆ
3
4
=
=
1
3
4
3
−
+
2
3
1
3
δ ≥ 0⇒δ
≤
δ ≥ 0⇒δ
≥
1
2
−4
⇒− 4 ≤ c5 ≤
1
2
x
x
x
x
0
2
1
5
x
1
0
0
1
0
x
2
0
1
0
0
x
3
1/3
2/3
−1/3
−2/3
x
4
4/3
−1/3
2/3
1/3
x
5
0
0
0
1
38/3
4/3
10/3
2/3
• Interpretazione economica?

LP – L’analisi di post-ottimalità
Un esempio
• Caso (c) – variazione della disponibilità delle risorse
Due possibilità:
c.1) aumentare la disponibilità delle risorse scarse (b 1
e b 2
)
c.2) diminuire l’eccesso di risorse abbondanti (b 3
)
71
• Caso (c.1)
• variazione di b 1
: (inizialmente b 1
=6) b 1
← b 1
+ δ
xˆ 2 = 0 2
3 4 +
3 2 δ ≥ ⇒δ ≥ −
x1
x2
xˆ 10 0 10
x0
0 0
1 = −
3 1 δ ≥ ⇒δ ≤
3
x2
0 1
xˆ 5 = 0 1
3 2 −
3 2 δ ≥ ⇒δ ≤
x1
1 0
⇒ 4 ≤ b 7 x5
0 0
1 ≤
• Interpretazione economica?
x
3
1/3
2/3
−1/3
−2/3
x
4
4/3
−1/3
2/3
1/3
x
5
0
0
0
1
38/3
4/3
10/3
2/3
(NB: possibile perché il tableau contiene B -1 )
LP – L’analisi di post-ottimalità
Un esempio
• Caso (c) – variazione della disponibilità delle risorse
Due possibilità:
c.1) aumentare la disponibilità delle risorse scarse (b 1
e b 2
)
c.2) diminuire l’eccesso di risorse abbondanti (b 3
)
72
• Caso (c.1)
• variazione di b 2
: (inizialmente b 2
=8) b 2
← b 2
+ δ
xˆ 2 = 0 4
3 4 −
3 1 δ ≥ ⇒δ ≤
x1
x2
xˆ 10
1 = + 0 5
x0
0 0
3 2 δ ≥ ⇒δ ≥ −
3
x2
0 1
xˆ 5 = 0 2
3 2 +
3 1 δ ≥ ⇒δ ≥ −
x1
1 0
⇒ 6 ≤ b2 ≤ 12
x5
0 0
• Interpretazione economica?
x
3
1/3
2/3
−1/3
x
4
x
5
4/3 0 38/3
−1/3
0 4/3
2/3 0 10/3
−2/3
1/3 1 2/3
(NB: possibile perché il tableau contiene B -1 )

LP – L’analisi di post-ottimalità
Un esempio
• Caso (c) – variazione della disponibilità delle risorse
Due possibilità:
c.1) aumentare la disponibilità delle risorse scarse (b 1
e b 2
)
c.2) diminuire l’eccesso di risorse abbondanti (b 3
)
73
• Caso (c.2)
• variazione di b 3
: (inizialmente b 3
=2) b 3
← b 3
+ δ
xˆ 5
=
2
3
+ δ ≥ 0 ⇒ δ ≥ −
4
⇒ b 3 ≥
3
2
3
• Interpretazione economica?
x
x
x
x
0
2
1
5
x
1
x
2
0 0
0 1
1 0
x
3
1/3
2/3
−1/3
4/3 0 38/3
−1/3
0 4/3
2/3 0 10/3
0 0 −2/3
1/3 1 2/3
(NB: possibile perché il tableau contiene B -1 )
x
4
x
5
LP – L’analisi di post-ottimalità
Un esempio – Il valore delle risorse
• Per i vincoli sul consumo delle risorse si ha
74
Vincolo saturo
(slack nulla)
Risorsa scarsa
(var.duale ottima positiva)
Vincolo non saturo
(slack positiva)
Risorsa abbondante
(var.duale ottima nulla)
• Conviene aumentare le risorse scarse
• Marginalmente la f.ob. cresce del valore delle risorse (il valore
delle var. duali ottime y j* )
• Il valore delle risorse abbondanti è nullo (y j *=0)
• Conviene aumentare per prima la risorsa scarsa a cui è associato
il valore maggiore

LP – L’analisi di post-ottimalità
Un esempio – Il valore delle risorse
• Nell’esempio i valori duali si possono leggere direttamente sul
tableau ottimo
• questo è caso particolare, ... perché?
75
x
x
x
x
0
2
1
5
x
1
0
0
1
0
x
2
0
1
0
0
x
3
1/3
2/3
−1/3
−2/3
x
4
4/3
−1/3
2/3
1/3
x
5
0
0
0
1
38/3
4/3
10/3
2/3
LP – L’analisi di post-ottimalità
Esempi con software
• Excel
• Lindo
76

LP – L’analisi di post-ottimalità
77
Osservazioni finali
• Se si diminuisce (entro i limiti calcolati) una risorsa
abbondante la soluzione non cambia
• Cosa succede se invece si scoprisse di avere una
disponibilità inferiore di una risorsa scarsa?
• Quali valutazioni possiamo fare nel caso di:
• introduzione di un nuovo prodotto
• variazione della tecnologia
• ...?
• L’analisi di post-ottimalità è un processo locale (la sua
validità è limitata ad un intorno della soluzione ottima)
LP – I problemi a numeri interi e misti
78
Molti problemi decisionali richiedono l’uso di variabili
intere per rappresentare alternative discrete
Questo tipo di problemi si chiamano combinatorici
In qualche caso può essere ragionevole “rilassare” il
problema considerando le variabili come reali
Attraverso l’uso di variabili binarie (0-1) è possibile
modellare condizioni logiche
• X A =1 si verifica l’evento A (e.g., compro il prodotto, affitto una
macchina, passo per la strada A, ...)
• X A =0 non si verifica l’evento A
• Esempi: scheduling, location problems, routing ...

LP – I problemi a numeri interi e misti
79
Esempi di formulazioni con variabili binarie
• Knapsack Problem
• n possibili progetti possibili da realizzare
• b budget massimo disponibile
• a j investimento necessario al progetto j
• c j guadagno ricavato dal progetto j
• i progetti non possono essere realizzati parzialmente (o tutto o
nulla)
• problema: cosa finanziare per massimizzare il guadagno?
max
n
∑ c jx
j
j=
1
n
∑ a jx
j ≤
j=
1
x j ∈
b
Knapsack binario
{ 0,1} = B∀
j = 1,..., n
(x j =1 finanzio il progetto j)
LP – I problemi a numeri interi e misti
80
Esempi di formulazioni con variabili binarie
• Matching Problem (assegnazione)
• m attività da assegnare ad n processori (macchine, persone,...)
• ogni processore può eseguire una sola attività
• l’attività non è interrompibile
• c ij costo dell’assegnazione di i a j
• problema: assegnare tutte le attività a costo minimo
m
min∑
i=
1
n
∑ cijxij
j=
1
n
∑ xij
= 1∀
i = 1,...,m
j=
1
m
∑xij
≤ 1∀
j = 1,...,n
i=
1
x ji ∈
Matching binario
{ 0,1 } = B∀i
= 1,...,m∀
j = 1,..., n
(x ij =1 assegno i a j)

LP – I problemi a numeri interi e misti
81
Esempi di formulazioni con variabili binarie
• Trattamento di vincoli disgiuntivi (il caso del Sequencing Problem)
• sequenziare un insieme di task su un singolo processore
• il processore esegue un task alla volta senza interruzione
• p i processing time del task i
• problema: come scrivere i vincoli che garantiscono una
sequenza ammissibile?
t i ∈R + , l’istante inizio esecuzione di i.
Dati due task i e j, si possono verificare due casi:
1. i precede j ⇒ t j ≥ t i + p i
2. j precede i ⇒ t i ≥ t j + p j
Sono vincoli mutuamente esclusivi (disgiuntivi) ....
LP – I problemi a numeri interi e misti
82
Esempi di formulazioni con variabili binarie
• Trattamento di vincoli disgiuntivi (il caso del Sequencing Problem)
• si introduce una variabile binaria e si utilizza il big-M
y ij
=
⎧1
⎨
⎩0
i
j
precede
precede
j
i
t j ≥ ti
ti
≥ t j
+ pi
− M(1 −
+ p j − My ij
yij
)
• in questo modo si è condizionato reciprocamente il
comportamento di una variabile binaria con delle variabili
continue

LP – I problemi a numeri interi e misti
83
La soluzione dei problemi a numeri interi (Integer
Programming, IP)
• I problemi IP e MIP sono generalmente difficili (NP-hard)
• In alcuni (pochi) casi la soluzione “rilassata” è intera
• In generale si possono usare tre tipi di metodi di soluzione:
1. Metodi basati su una enumerazione implicita delle soluzioni
(Branch and Bound Methods)
2. Metodi basati sull’uso di “piani di taglio” (Cutting Planes
Methods)
3. Metodi specifici per particolari classi di problemi