Forza centripeta e gravitazione 1. Il moto circolare - francescopoli.net

F 1
C
F 2
massa della pietra molto più piccola, la sua accelerazione è molto maggiore rispetto
a quella che subisce il pianeta e quindi è la pietra a muoversi verso il centro della
Terra e non viceversa 1 :
F
F
G
G
a a
T
pietra
m
m
E se le masse non sono puntiformi
T
Questa espressione matematica della legge della gravitazione universale, vale
esclusivamente per oggetti assimilabili a dei punti. Un oggetto rigorosamente
puntiforme è un’entità solo teorica: nella pratica si considerano puntiformi oggetti in
cui la distanza r coinvolta nella legge di gravitazione sia molto grande rispetto alle
loro dimensioni trasversali (almeno un ordine di grandezza, cioè dieci volte più
grande). In questo senso anche una stella può essere considerata puntiforme se le
sue dimensioni sono rapportate alle distanze interplanetarie. Se però le masse non
sono puntiformi dobbiamo immaginarle scomposte in porzioni piccolissime rispetto
alla loro estensione, e sommare vettorialmente gli effetti della legge di gravitazione
fra tutte le possibili coppie di punti. Infatti l’esperienza mostra che vale il principio di
sovrapposizione, per il quale la forza con cui interagisce ciascuna coppia è la stessa che
si avrebbe se tutte le altre coppie non esistessero.
E se le masse hanno forma sferica
In caso di masse sferiche il calcolo descritto sopra si semplifica notevolmente perché
la sfera può essere scomposta in coppie di punti uno a sinistra ed uno a destra alla
stessa distanza dall’oggetto che viene attratto, e così la risultante di ciascuna coppia
punta sempre verso il centro della sfera. Analogamente anche la risultante
complessiva è diretta verso il centro della sfera e così possiamo utilizzare la formula
della gravitazione immaginando ad esempio che la massa di un pianeta sia tutta
concentrata nel centro. Se entrambe le masse sono sferiche, come ad esempio la
Terra e la Luna, possiamo pertanto usare la formula a patto che r rappresenti la
distanza fra i centri 2 .
pietra
C
r
E’ grazie agli studi di Newton, pubblicati nella sua fondamentale opera Philosòphiae
Naturalis Pincipia Mathematica (1687) sappiamo dunque che la Terra esercita su di noi
un forza, la cui natura è identica a quella che esercita sulla Luna. Questo nuovo
modo di vedere le cose rappresentò da un lato la prima grande unificazione
1 In realtà accelerano entrambe verso il centro di massa del sistema che costituiscono.
2 Va detto anche che nel momento stesso in cui assumiamo che le masse siano puntiformi, e che tutte
le loro proprietà possano essere individuate da una grandezza scalare m, anche solo da motivi di
simmetria si potrebbe dedurre che la loro interazione deve essere diretta lungo la congiungente, in
quanto in uno spazio vuoto con le sole due masse in studio, non si potrebbe definire nessun’altra
direzione in modo univoco.
14