Forza centripeta e gravitazione 1. Il moto circolare - francescopoli.net
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Capitolo<br />
7<br />
<strong>Forza</strong> <strong>centripeta</strong> e<br />
<strong>gravitazione</strong><br />
<strong>1.</strong> <strong>Il</strong> <strong>moto</strong> <strong>circolare</strong><br />
Quali sono le caratteristiche del <strong>moto</strong> <strong>circolare</strong><br />
Una particella si dice animata di <strong>moto</strong> <strong>circolare</strong> quando la sua traiettoria è una<br />
circonferenza. Lo studio di questo tipo di <strong>moto</strong> viene effettuato individuando<br />
due direzioni istantanee, cioè due rette orientate che cambiano ad ogni nuova<br />
lettura di cronometro. Si tratta della direzione radiale, lungo la semiretta che<br />
esce dal centro della circonferenza andando verso la posizione del punto che si<br />
sta muovendo; e della direzione tangenziale, sulla retta tangente alla<br />
circonferenza, orientata nel verso del <strong>moto</strong> e perpendicolare alla direzione<br />
radiale.<br />
Quali sono direzione e verso della velocità nel <strong>moto</strong> <strong>circolare</strong><br />
Quando una particella descrive una traiettoria curva, ed una circonferenza in<br />
particolare, per capire la direzione della velocità possiamo immaginare che<br />
d’improvviso scompaiano tutte le forze in azione. La particella si troverebbe<br />
allora nella condizione contemplata dalla legge d’inerzia, la quale prevede che<br />
in assenza di forze il <strong>moto</strong> segua una linea retta. Si tratta della retta tangente<br />
alla traiettoria, che per definizione viene assunta come direzione della velocità<br />
in quel dato istante.<br />
Che cosa sappiamo di sbagliato riguardo al <strong>moto</strong> <strong>circolare</strong><br />
Prima di iniziare l’analisi del <strong>moto</strong> <strong>circolare</strong>, è necessario rimuovere due idee<br />
errate che nei secoli si sono radicate, e che costituiscono un ostacolo alla<br />
comprensione di questo fenomeno.<br />
DIREZIONE<br />
TANGENZIALE<br />
ISTANTANEA<br />
<br />
v<br />
DIREZIONE<br />
RADIALE<br />
ISTANTANEA<br />
<br />
v<br />
1
prima idea errata: un oggetto può seguire una traiettoria <strong>circolare</strong> senza che vi<br />
sia un ” binario” di qualche tipo che lo costringa a farlo.<br />
seconda idea errata: un oggetto in <strong>moto</strong> <strong>circolare</strong> tende ad essere scagliato verso<br />
l’esterno, in direzione radiale, dall’azione di una forza detta “centrifuga”.<br />
<br />
v<br />
Perché occorre un “binario” per sostenere il <strong>moto</strong> <strong>circolare</strong><br />
La prima delle due concezioni errate risale agli antichi Greci, i quali ritenevano<br />
il <strong>moto</strong> <strong>circolare</strong> la traiettoria perfetta, perché pensavano fosse seguita dagli<br />
oggetti celesti. Essendo perfetta, la traiettoria <strong>circolare</strong> doveva essere una<br />
condizione naturale per i corpi, “incorruttibile”, cioè capace di sostenersi<br />
autonomamente ed immutabile nel tempo. Da Galileo in poi sappiamo che<br />
questo ruolo “privilegiato” spetta al <strong>moto</strong> rettilineo uniforme, il solo a<br />
proseguire indefinitamente senza che debba intervenire alcuna forza, e che per<br />
tale caratteristica viene addirittura considerato uno stato.<br />
Viceversa, muoversi lungo una traiettoria curva significa cambiare in ogni<br />
momento la direzione della velocità. Mutare velocità, anche se solo in direzione<br />
e non in intensità, vuol dire accelerare: una macchina che curvi con velocità di<br />
<br />
modulo costate v 30 Km/h , sta accelerando in direzione, anche se il<br />
<br />
v<br />
<br />
N<br />
<br />
N<br />
<br />
v<br />
tachimetro segna sempre lo stesso valore perché non sta accelerando in intensità.<br />
Poiché il secondo principio prevede che possa aver luogo un’accelerazione<br />
unicamente in presenza di una forza, ne deduciamo che nel <strong>moto</strong> <strong>circolare</strong><br />
occorre una forza anche solo per cambiare ogni istante la direzione alla velocità.<br />
Come vedremo nel dettaglio, si tratta di una forza in direzione radiale, che<br />
punta sempre verso il centro della circonferenza: ne sono esempi la forza<br />
normale esercitata da un binario curvo, oppure la tensione di una corda legata<br />
al centro della circonferenza. Nella figura a lato, là dove il binario (in un piano<br />
orizzontale) si interrompe, la pallina prosegue con un <strong>moto</strong> in linea retta lungo<br />
la direzione tangenziale istantanea, dato che è venuta meno la forza normale<br />
che la costringeva a curvare.<br />
<br />
v<br />
DIREZIONE<br />
RADIALE<br />
ISTANTANEA<br />
Perché non esiste una “forza centrifuga”<br />
Come sappiamo dalla terza legge della dinamica, non esistono forze solitarie, ma<br />
soltanto interazioni fra coppie di oggetti. Ogni forza deve avere due “attori”: un<br />
soggetto che la esercita (e che a sua volta subisce un’azione uguale e contraria), ed<br />
uno che la subisce. Ora, è nota a tutti la sensazione (illusoria) di essere scagliati verso<br />
l’esterno, in direzione radiale, quando la nostra auto percorre un arco di curva. Ma<br />
si deve escludere che questa sensazione sia dovuta all’azione di una forza,<br />
semplicemente perché non esiste alcun soggetto che esercita questa forza. Chi esercita la<br />
“forza centrifuga” Non c’è risposta a questa domanda.<br />
Un passeggero su di un’auto in curva crede di essere tirato verso l’esterno, ma in<br />
realtà mantiene soltanto la stessa direzione di velocità, che come abbiamo detto<br />
è in ogni istante tangente alla traiettoria <strong>circolare</strong>.<br />
Se non ci fosse l’auto egli volerebbe in direzione tangenziale non appena inizia la<br />
curva. Nel frattempo invece, la macchina gli si muove sotto ed intercetta<br />
continuamente la sua traiettoria rettilinea forzandolo verso il centro. Come si vede in<br />
figura, lo spostamento dell’auto crea una valutazione errata, per cui egli pensa di<br />
2
essere scagliato verso l’esterno, ed invece non sta seguendo affatto la direzione<br />
radiale istantanea. <strong>Il</strong> meccanismo è lo stesso di quando l’auto frena, ed il passeggero<br />
prosegue il <strong>moto</strong> in avanti con la medesima velocità di prima della frenata.<br />
Analogamente, quando l’auto accelera, al passeggero sembra di essere tirato<br />
indietro, ma sta solo proseguendo con la velocità che possedeva prima, mentre è<br />
l’auto ad aver cambiato stato di <strong>moto</strong>. Questa tendenza a proseguire il <strong>moto</strong> in<br />
direzione tangenziale è responsabile fra le altre cose, del rigonfiamento della<br />
circonferenza del nostro pia<strong>net</strong>a all’altezza dell’equatore, dove la velocità di<br />
rotazione è massima. Analogamente è il principio usato dalla “centrifuga” di una<br />
lavatrice per asciugare i panni. Come si vede dal disegno però, le goccioline di acqua<br />
non scappano in direzione radiale ma tangenziale, mentre il cestello continua a<br />
ruotare.<br />
goccia<br />
E’ necessario che agisca una forza anche lungo la direzione istantanea della velocità<br />
Immaginiamo la pallina di una roulette lanciata dal croupier. Inizialmente la<br />
pallina stava ferma, quindi la mano del croupier ha dovuto esercitare una forza<br />
per portarla fino ad avere velocità v . Come sappiamo dalla seconda legge<br />
della dinamica, da quel momento in poi, in assenza di qualsiasi attrito, non è<br />
più necessaria una forza nella direzione istantanea di v per mantenere la sua<br />
intensità v costante. D’altro canto non possiamo nemmeno escludere che una<br />
tale forza ci sia: ad esempio quando un’auto percorre una curva può farlo con<br />
velocità di modulo costante, ma anche accelerando in intensità. Allo stesso<br />
modo, quando tentiamo di produrre con la mano il <strong>moto</strong> <strong>circolare</strong> in un peso<br />
agganciato ad una corda, dobbiamo prima metterlo in <strong>moto</strong>, esercitando una<br />
forza nella direzione della velocità. Successivamente compiamo due azioni:<br />
mantenendo ferma la mano tiriamo la corda in modo da costringere il peso a<br />
descrivere la circonferenza, ed ogni tanto dovremo pure dare un colpetto nella<br />
direzione della velocità per compensare l’azione degli attriti e della gravità, che<br />
tendono a far diminuire l’intensità della velocità da noi inizialmente impressa.<br />
Nel seguito ci occuperemo della cinematica del <strong>moto</strong> <strong>circolare</strong> in cui l’intensità<br />
della velocità rimane costante, che chiameremo <strong>moto</strong> <strong>circolare</strong> uniforme. Nel<br />
<strong>moto</strong> <strong>circolare</strong> uniforme, ad essere costante è dunque solo v , mentre v <br />
cambia ogni istante direzione.<br />
B<br />
<br />
F<br />
<br />
v A<br />
s<br />
A<br />
<br />
F <br />
<br />
v<br />
r<br />
Come possiamo ricavare l’accelerazione lungo la direzione radiale<br />
Preso un punto in <strong>moto</strong> <strong>circolare</strong> uniforme di raggio r , consideriamo un arco<br />
di circonferenza AB, e l’intervallo di tempo t che occorre al punto per<br />
percorrerlo. In questo stesso tempo il raggio della circonferenza avrà<br />
“spazzato” l’angolo e la velocità avrà cambiato direzione passando da v A<br />
a<br />
<br />
v B<br />
<br />
<br />
v A<br />
<br />
<br />
O<br />
v . Poiché sia<br />
B<br />
v A<br />
che v B<br />
sono perpendicolari al raggio, se li riportiamo con<br />
un’origine comune, è immediato concludere che anche la velocità ha spazzato<br />
lo stesso angolo . Dal metodo di punta-coda per la somma dei vettori si<br />
v<br />
<br />
v B<br />
riconosce subito che il vettore v<br />
che unisce le punte di v e<br />
A<br />
v è il vettore<br />
B<br />
differenza, cioè v v v<br />
da cui v v v<br />
.<br />
A B<br />
B A<br />
Consideriamo ora il triangolo delle velocità ed il triangolo AOB: sono entrambi<br />
isosceli e con un angolo uguale, pertanto sono simili:<br />
3
v<br />
v<br />
<br />
v A<br />
<br />
v B<br />
0<br />
90°<br />
<br />
a C<br />
Dividiamo per<br />
<br />
v<br />
<br />
v<br />
<br />
s<br />
t ambo i membri e riordiniamo:<br />
r<br />
<br />
v v s<br />
<br />
t r t<br />
Quando tende a zero l’intervallo temporale<br />
diviene il modulo della velocità istantanea v . <strong>Il</strong> rapporto<br />
t , sappiamo che il rapporto<br />
<br />
v<br />
t<br />
<br />
s<br />
t<br />
diventa invece<br />
il modulo dell’accelerazione istantanea, la cui direzione si mantiene sempre<br />
parallela a v<br />
e così alla fine risulta perpendicolare a v . Infatti nel triangolo<br />
delle velocità, quando 0 si ha 90 dovendo la somma rimanere<br />
uguale a 180 . La chiamiamo quindi accelerazione <strong>centripeta</strong> a , in quanto<br />
C<br />
diretta lungo il raggio puntando verso il centro. Quindi sostituendo nella<br />
relazione precedente<br />
<br />
v<br />
t<br />
con<br />
dell’accelerazione <strong>centripeta</strong> vale:<br />
a C<br />
e<br />
<br />
s<br />
t<br />
con v si trova che l’intensità<br />
<br />
a<br />
C<br />
<br />
<br />
v<br />
r<br />
2<br />
r<br />
<br />
N<br />
<br />
v<br />
Esempio 1<br />
Sopra ad un piano orizzontale, una pallina di massa<br />
lanciata in una guida <strong>circolare</strong> di raggio<br />
completo in<br />
m 0.0500 Kg viene<br />
r 0.200 m e percorre un giro<br />
<strong>1.</strong>45 s . Assumendo che il modulo della velocità sia rimasto<br />
costante durante il giro, calcolare l’accelerazione <strong>centripeta</strong> della pallina e la<br />
forza normale esercitata su di lei dalla guida.<br />
y<br />
Troviamo innanzitutto il modulo della velocità:<br />
2r<br />
6.28<br />
0.200<br />
v 0.866 m/s<br />
<strong>1.</strong>45 s <strong>1.</strong>45<br />
<br />
v<br />
<br />
N<br />
<br />
a C<br />
x<br />
Fissiamo quindi un riferimento sul piano con l’origine nel centro della<br />
circonferenza e consideriamo l’istante in cui la pallina taglia l’asse delle ascisse<br />
come in figura. In direzione orizzontale agisce la forza normale, mentre<br />
2<br />
l’accelerazione vale a( v / r ; 0 ) :<br />
2<br />
v<br />
2<br />
0.866<br />
N ma N m 0.0500 0.187 N<br />
x x x r<br />
0.200<br />
e per l’accelerazione <strong>centripeta</strong> si ha:<br />
2<br />
2<br />
v 0.866<br />
2<br />
a 3.75 m/s<br />
C<br />
r 0.200<br />
4
Cosa si intende con il termine “forza <strong>centripeta</strong>” <br />
Se una particella di massa m segue un <strong>moto</strong> <strong>circolare</strong> uniforme di raggio r ,<br />
lungo la direzione radiale istantanea la seconda legge della dinamica si scrive:<br />
<br />
F<br />
r<br />
<br />
v<br />
m<br />
r<br />
2<br />
Si chiama forza <strong>centripeta</strong> la somma delle componenti in direzione radiale<br />
di tutte le forze che agiscono su di una particella in <strong>moto</strong> <strong>circolare</strong>.<br />
Fr<br />
Non si tratta quindi di un nuovo tipo di forza, ma solo del nome che sinteticamente<br />
si assegna alla risultante delle forze che producono l’accelerazione <strong>centripeta</strong>.<br />
Nel precedente esempio 1 la forza <strong>centripeta</strong> è fornita dalla normale alla guida,<br />
in questo caso l’unica ad agire sulla pallina in direzione radiale.<br />
Riflettiamo sul fatto che la forza normale è una forza passiva, che è in grado di<br />
fornire sempre il valore che occorre per costringere l’oggetto a percorrere la<br />
traiettoria <strong>circolare</strong> di quel raggio con quella velocità. Se ad esempio il modulo<br />
della velocità raddoppiasse, la guida dovrebbe fornire una forza <strong>centripeta</strong><br />
2 2<br />
(2| v|) | v|<br />
m 4<br />
<br />
<br />
m<br />
r <br />
r <br />
<br />
quattro volte più grande, e così via finché la forza richiesta<br />
non divenisse così intensa da piegare la guida stessa. E’ quanto accade ai treni<br />
che deragliano per aver tentato di percorrere le curve a velocità superiore al<br />
massimo che il binario poteva sopportare senza deformarsi. La forza <strong>centripeta</strong><br />
può avere le origini più diverse: la tensione di una corda insieme alla gravità<br />
producono la forza <strong>centripeta</strong> quando si fa ruotare una massa ad un suo capo,<br />
l’attrito statico fra pneumatici ed asfalto fornisce la forza <strong>centripeta</strong> che serve<br />
per far percorrere all’auto una curva, la forza di gravità funge da forza<br />
<strong>centripeta</strong> per tenere la Luna in orbita attorno alla Terra, e così via.<br />
Esempio 2<br />
Una massa<br />
m 0.600 Kg agganciata al capo di una fune lunga 0.500 m viene<br />
y<br />
fatta ruotare in un piano verticale, imprimendogli nel punto più in basso una<br />
<br />
velocità v 5.00 m/s . La traiettoria è <strong>circolare</strong> ma il modulo della velocità non<br />
rimane costante in quanto la massa è rallentata dalla gravità mentre sale ed è<br />
accelerata mentre scende. Sapendo che nel punto più in alto risulta<br />
<br />
v 2.32 m/s , si calcolino la forza <strong>centripeta</strong>, l’accelerazione <strong>centripeta</strong> e la<br />
tensione della fune nelle posizioni di massima e minima altezza.<br />
<br />
T<br />
<br />
W<br />
Nella posizione di minima altezza abbiamo,<br />
momento coincide con la direzione radiale):<br />
2<br />
T | |<br />
y W v<br />
y ma y<br />
T <br />
<br />
mg m r<br />
<br />
2 2<br />
| v | 5.00<br />
T mg m 0.600 9.81 0.600 35.9 N<br />
r<br />
0.500<br />
mentre la forza <strong>centripeta</strong> e l’accelerazione <strong>centripeta</strong> valgono:<br />
lungo l’asse y (che in quel<br />
<br />
W<br />
<br />
T<br />
y<br />
5
C<br />
3 R<br />
4<br />
D<br />
R<br />
B<br />
1 R<br />
3<br />
E<br />
A<br />
r<br />
| v<br />
| 2 5.00<br />
2<br />
2<br />
a 50.0 m/s<br />
C<br />
F T mg 35.9 0.6009.81 30.0 N<br />
a 50.0 m/s 2<br />
y<br />
<br />
r 0.500<br />
Nel punto di massima altezza abbiamo, sempre lungo la direzione radiale y :<br />
2<br />
T | |<br />
y W v<br />
y ma y<br />
T <br />
<br />
mg m r<br />
<br />
2 2<br />
| v | 2.32<br />
T m mg 0.600 0.6009.81 0.573 N<br />
r<br />
0.500<br />
mentre la forza <strong>centripeta</strong> e l’accelerazione <strong>centripeta</strong> valgono:<br />
<br />
F T mg 0.573 0.6009.81 6.46<br />
N<br />
<br />
r<br />
2 2<br />
| v<br />
| 2.32<br />
2<br />
a 10.8 m/s<br />
C<br />
a 10.8 m/s 2<br />
y<br />
<br />
r 0.500<br />
Riflettiamo sul fatto che la tensione della corda non coincide con la forza<br />
<strong>centripeta</strong>, ma anzi T <br />
aggiusta il suo valore facendosi minima quando è<br />
aiutata dalla gravità nel produrre la forza <strong>centripeta</strong>, come accade nel punto più<br />
alto, e facendosi invece massima quando è contrastata dalla gravità nel<br />
produrre la forza <strong>centripeta</strong>, come accade nel punto più basso.<br />
Esempio 3<br />
Un’auto segue una strada curva procedendo a velocità di modulo costante v .<br />
Si calcoli il modulo della sua accelerazione nei tratti AB, BC, CD, DE<br />
specificando dove è massimo e dove minimo.<br />
Lungo i tratti AB, CD, DE, che sono archi di circonferenza, l’accelerazione è<br />
solo <strong>centripeta</strong> essendo il modulo della velocità costante. Si ha:<br />
2<br />
2 2<br />
2 2<br />
v<br />
v 4 v<br />
v v<br />
a ; a ; a 3<br />
AB<br />
CD<br />
R<br />
3<br />
DE<br />
R 3 R<br />
1<br />
R R<br />
4<br />
mentre nel tratto rettilineo BC essendo costante il modulo della velocità si ha:<br />
a 0<br />
BC<br />
<strong>Il</strong> massimo valore di accelerazione, tutta <strong>centripeta</strong>, si ha quindi durante la<br />
curva di raggio minimo DE, il minimo valore di accelerazione <strong>centripeta</strong> nella<br />
curva di raggio massimo AB, mentre il minimo valore di accelerazione in<br />
assoluto è il valore nullo che si ha nel tratto rettilineo BC.<br />
3<br />
y<br />
<br />
N<br />
<br />
W<br />
<br />
f<br />
s<br />
x<br />
Esempio 4<br />
Un’automobile di massa<br />
m 1500 Kg percorre una curva <strong>circolare</strong> di raggio<br />
r 40.0 m alla velocità di 15.0 m/s . Si trovi quanto vale la forza <strong>centripeta</strong>.<br />
Sapendo poi che il coefficiente di attrito statico fra pneumatici ed asfalto è<br />
0.950 , si calcoli la massima velocità alla quale l’auto può percorrere la<br />
s<br />
curva e la forza <strong>centripeta</strong> in questo secondo caso.<br />
6
La forza <strong>centripeta</strong> è fornita tutta dalla forza di attrito statico f , e la sua<br />
s<br />
direzione è perpendicolare a quella in cui avanzano le ruote. Nel primo caso f s<br />
non raggiunge il suo valore massimo, ma sappiamo però che la sua intensità<br />
<br />
soddisfa la condizione 0 f N . Indicando con x la direzione radiale<br />
s s<br />
istantanea come in figura, si ha:<br />
2<br />
v<br />
2<br />
15.0<br />
4<br />
f ma f m 1500 0.844 10<br />
N<br />
sx x s r<br />
40.0<br />
Per avere la velocità massima dobbiamo calcolare invece proprio la massima<br />
<br />
<br />
forza di attrito statico s<br />
N e quindi trovare N . Dall’equilibrio in direzione<br />
verticale si ha:<br />
N W 0 N <br />
mg 0 N <br />
mg<br />
y<br />
y<br />
che sostituito nella relazione precedente:<br />
2<br />
<br />
<br />
v<br />
f ma N m mg<br />
<br />
sx max x s s<br />
r<br />
<br />
v gr 0.9509.81 40.0 19.3 m/s .<br />
s<br />
In questo caso per la forza <strong>centripeta</strong> risulta<br />
2<br />
v<br />
2<br />
19.3<br />
4<br />
F m 1500 <strong>1.</strong>4010<br />
N .<br />
r r<br />
40.0<br />
m<br />
<br />
v<br />
r<br />
2<br />
<br />
N<br />
y<br />
Esempio 5<br />
Un’automobile di massa m 1300 Kg , che viaggia alla velocità costante di<br />
<br />
v 10.5 m/s , passa sopra ad un dosso il cui profilo può essere considerato<br />
<br />
W<br />
R<br />
una circonferenza di raggio<br />
R 15.0 m . Si dica, senza svolgere alcun calcolo,<br />
se quando l’auto raggiunge la sommità, la forza normale esercitata dal terreno è<br />
maggiore, minore od uguale al peso della vettura. Si calcolino quindi le<br />
intensità della forza <strong>centripeta</strong> e della forza normale in quel momento.<br />
Quando si trova nel punto più alto l’auto sta descrivendo una circonferenza,<br />
quindi deve agire su di lei una forza verticale che punta verso il centro. Questo<br />
significa che la somma delle forze che agiscono in verticale deve puntare in<br />
<br />
N<br />
<br />
N<br />
<br />
N<br />
basso, cioè la forza N deve avere un’intensità minore di quella del peso W . E’<br />
ben nota infatti la sensazione di “alleggerimento” che da passeggeri si<br />
sperimenta sulla sommità dei dossi: quello che si percepisce è proprio la<br />
diminuzione della forza normale, che come sappiamo, invece, quando siamo in<br />
quiete resta sempre uguale al peso.<br />
La forza <strong>centripeta</strong> è il risultato delle azioni congiunte di N e W , che in<br />
verticale si sottraggono. Osservando la direzione dell’asse verticale si ha<br />
a<br />
y<br />
<br />
<br />
v<br />
R<br />
2<br />
, da cui si ricava per la forza <strong>centripeta</strong>:<br />
<br />
W<br />
<br />
W<br />
<br />
W<br />
7
2<br />
<br />
v<br />
2<br />
10.5<br />
N W ma F N mg m 1300 9.56 10<br />
y y y <br />
r<br />
R<br />
15.0<br />
mentre per la normale:<br />
<br />
<br />
3 3 3<br />
N mg 9.5610 N N 13009.81 9.5610 3.2010<br />
N<br />
3<br />
N<br />
L<br />
<br />
Esempio 6<br />
Una pallina di massa m 0.300 Kg , appesa ad un filo lungo L 0.750 m , gira<br />
a velocità di modulo costante descrivendo una circonferenza, mentre l’angolo<br />
che il filo forma con la verticale rimane sempre 25.0 . Sapendo che la<br />
pallina compie un giro in <strong>1.</strong>50 s si trovi la tensione del filo, l’intensità della<br />
forza <strong>centripeta</strong> e l’intensità dell’accelerazione <strong>centripeta</strong>.<br />
<br />
T<br />
<br />
W<br />
R<br />
<br />
<strong>Forza</strong> <strong>centripeta</strong><br />
y<br />
x<br />
Calcoliamo innanzitutto il raggio della traiettoria <strong>circolare</strong>:<br />
R L sin 0.750 sin 25.0 0.317 m<br />
e ricaviamo da questo il modulo della velocità della pallina:<br />
2R<br />
6.28 0.317<br />
v <strong>1.</strong>33 m/s<br />
<strong>1.</strong>50 s <strong>1.</strong>50<br />
e l’intensità dell’accelerazione <strong>centripeta</strong>:<br />
2<br />
2<br />
v <strong>1.</strong>33<br />
2<br />
a 5.58 m/s<br />
C<br />
R 0.317<br />
Fissato un riferimento nell’istante rappresentato in figura, sappiamo che in<br />
direzione verticale non c’è accelerazione, poiché se l’angolo rimane costante,<br />
la pallina non può né salire né scendere. Si ottiene:<br />
<br />
T W ma T cos 25.0 mg<br />
0<br />
y y y<br />
mg 0.3009.81<br />
T 3.25 N<br />
cos 25.0<br />
0.906<br />
La forza <strong>centripeta</strong> è data dalla componente orizzontale della tensione, e<br />
coincide anche con la composizione data dalla regola del parallelogramma della<br />
tensione e del peso, poiché la risultante di queste due forze, come abbiamo<br />
detto, è tutta orizzontale:<br />
F T<br />
<br />
sin 25.0 3.25 0.423 <strong>1.</strong>37 N<br />
<br />
r<br />
m<br />
M<br />
Esempio 7<br />
Sopra ad un piano, fissata ad una corda, una massa m 0.450 Kg descrive un<br />
<br />
<strong>moto</strong> <strong>circolare</strong> uniforme di raggio r 0.500 m con velocità v 2.50 m/s .<br />
All’altro capo della corda pende immobile, da un foro ricavato al centro del<br />
piano, una seconda massa M . Si trovi il valore di M .<br />
Fissato un riferimento con la direzione radiale istantanea lungo l’asse x ,<br />
abbiamo che la forza <strong>centripeta</strong> è fornita dalla tensione della corda:<br />
8
2<br />
v<br />
2<br />
2.50<br />
T ma T m 0.450 5.63 N<br />
x x<br />
r<br />
0.500<br />
Per la massa appesa, la condizione di equilibrio richiede che lungo l’asse<br />
verticale sia nulla l’accelerazione:<br />
<br />
<br />
T W ma T Mg 0 Mg T 5.63 N<br />
y y y<br />
da cui si ottiene:<br />
<br />
T 5.63<br />
M 0.574 Kg<br />
g 9.81<br />
y<br />
m T<br />
W<br />
T<br />
M<br />
x<br />
Esempio 8<br />
Una blocco di massa m , scivola senza attrito lungo il profilo di un igloo a forma<br />
di sfera avente raggio R , partendo dal punto più alto con una velocità<br />
orizzontale così piccola da potersi considerare nulla. Ad un certo valore<br />
dell’angolo il blocco si stacca dall’igloo, descrivendo una traiettoria<br />
parabolica di caduta libera. Spiegare perché si distacca e calcolare quanto vale la<br />
velocità in quell’istante.<br />
<br />
Fintanto che il blocco segue il profilo dell’igloo sta descrivendo una traiettoria<br />
<strong>circolare</strong>, e quindi occorre che le forze agenti su di lui, normale N e peso W ,<br />
producano la forza <strong>centripeta</strong> necessaria. La normale N come sappiamo è una<br />
forza passiva, che adegua man mano la sua intensità in conseguenza della<br />
forza con la quale il blocco viene premuto contro l’igloo. Se l’igloo non ci fosse,<br />
il blocco seguirebbe sin dall’inizio una traiettoria parabolica di caduta libera,<br />
che si troverebbe nello spazio occupato dal ghiaccio. A mano a mano che<br />
procede la discesa, questa traiettoria ipotetica si va aprendo sempre più perché<br />
aumenta l’intensità della velocità con cui la caduta libera avrebbe inizio.<br />
Nell’istante in cui la parabola diventa tutta esterna all’igloo, il blocco non viene<br />
più premuto contro il ghiaccio e così si stacca. In quel momento, dato che cessa<br />
di essere premuto, si annulla anche la forza normale.<br />
Scegliendo un riferimento come in figura, osserviamo che il modulo della<br />
velocità non è uniforme, ma cresce durante la caduta per l’azione della gravità.<br />
<strong>Il</strong> blocco seguirà il profilo <strong>circolare</strong> dell’igloo solo fino a quando la somma delle<br />
forze radiali<br />
<br />
2<br />
Fr<br />
riuscirà a produrre la necessaria forza <strong>centripeta</strong> v<br />
m<br />
R<br />
2<br />
v<br />
<br />
F N mg cos m<br />
r<br />
Imponendo la condizione trovata sopra, per cui<br />
momento del distacco, si trova la velocità:<br />
mg<br />
cos m<br />
<br />
v Rg cos <br />
<br />
v<br />
R<br />
2<br />
R<br />
la normale si annulla al<br />
:<br />
y<br />
y <br />
<br />
R cos<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
N<br />
<br />
<br />
N<br />
<br />
<br />
N = 0<br />
direzione radiale<br />
istantanea<br />
<br />
N<br />
<br />
W<br />
x<br />
9
v 0<br />
R<br />
Esempio 9<br />
Un’automobile di massa m tenta di eseguire il “giro della morte” lungo una<br />
pista <strong>circolare</strong> di raggio R . Si trovi la velocità minima v con la quale deve<br />
a<br />
arrivare nel punto più alto della pista.<br />
y<br />
<br />
N<br />
<br />
N<br />
W<br />
Per poter eseguire il giro le ruote dell’auto devono mantenere sempre il<br />
contatto con la pista, in particolare nel punto più alto. Questo avviene solo se in<br />
ogni momento la velocità istantanea che la traiettoria di caduta libera che tende<br />
a far descrivere all’auto ha la parte iniziale esterna alla pista, come nella curva<br />
blu in figura. In tal modo la pista deve esercitare una forza normale per<br />
costringere l’auto a deviare verso il centro, ed il contatto è assicurato. Se<br />
viceversa la velocità istantanea è così bassa da produrre una traiettoria di<br />
caduta libera interna alla pista (curva gialla), il contatto viene meno. Quando la<br />
condizione di contatto è soddisfatta nel punto più alto, essa è certamente<br />
soddisfatta anche nell’intero tragitto, dato che forza di gravità fa diminuire<br />
l’intensità della velocità man mano che l’auto sale.<br />
Indicando con v la velocità alla sommità, in quel momento risulta:<br />
a<br />
2 2<br />
<br />
v<br />
<br />
<br />
v<br />
a<br />
a<br />
N W ma N mg m N mg m<br />
y y y R R<br />
La forza <strong>centripeta</strong><br />
m<br />
2<br />
v a<br />
R<br />
piccola quanto minore è v <br />
a<br />
che occorre per mantenere l’auto in pista è tanto più<br />
. <strong>Il</strong> valore minimo di v è quello a cui basta la sola<br />
a<br />
gravità a produrre m<br />
2<br />
v a<br />
R<br />
<br />
. Per esso risulta dunque N 0<br />
2<br />
va<br />
2<br />
<br />
mg m v gR v gR<br />
a<br />
a<br />
R<br />
nel punto più alto:<br />
<br />
N<br />
Esempio 10<br />
Un’automobile di massa m percorre una curva di raggio R 150 m<br />
alla<br />
velocità di<br />
15.0 m/s . Sapendo che la strada è inclinata ed indicato con <br />
y<br />
<br />
W<br />
<br />
<br />
N<br />
x<br />
l’angolo che essa forma con l’orizzontale, si trovi il valore di che permette<br />
all’auto di percorrere la curva anche in assenza di attrito fra pneumatici ed<br />
asfalto.<br />
Come si ricava dalla figura la somma vettoriale della forza normale e del peso<br />
debbono fornire la necessaria forza <strong>centripeta</strong> per descrivere una curva di<br />
raggio R alla velocità assegnata. <strong>Il</strong> secondo principio della dinamica in forma<br />
vettoriale si scrive:<br />
<br />
N W ma N mg ma C<br />
L’equazione sopra scritta è facilmente visualizzabile in termini geometrici<br />
grazie al metodo di punta-coda. Si forma un triangolo di ipotenusa N ed i cui<br />
cateti ma ed mg , in base ai dati del problema, devono essere rispettivamente<br />
C<br />
orizzontale e verticale. Si dimostra facilmente che è pure l’angolo fra N ed<br />
mg . Risulta dunque:<br />
10
maC<br />
tan <br />
mg<br />
<br />
m<br />
2<br />
| v|<br />
R<br />
mg<br />
2 2<br />
| v | 15.0<br />
1<br />
0.153; tan (0.153) 8.69<br />
gR 9.81150<br />
Allo stesso risultato si perviene facendo il rapporto delle componenti<br />
orizzontale e verticale della forza normale:<br />
2<br />
N | v |<br />
<br />
x ma <br />
x N <br />
x<br />
m R<br />
N W 0 N mg 0 N mg<br />
y y y y<br />
2<br />
| v|<br />
m<br />
<br />
N<br />
2<br />
x R | v |<br />
tan <br />
N mg gR<br />
y<br />
<br />
N<br />
<br />
<br />
ma C<br />
<br />
N<br />
<br />
R<br />
<br />
mg<br />
<br />
mg<br />
<br />
N<br />
<br />
Nx<br />
<br />
<br />
Ny<br />
Esempio 11<br />
Un disco ruota su di un piano orizzontale compiendo<br />
33 giri/min . Ad una<br />
distanza di<br />
25.0 cm dal centro viene appoggiato un blocchetto di massa m .<br />
Sapendo che il coefficiente di attrito statico fra blocco e disco vale 0.150 si<br />
s<br />
dica se il blocchetto scivola.<br />
<strong>Il</strong> blocchetto scivola sicuramente se la massima forza di attrito statico non può<br />
fornire la forza <strong>centripeta</strong> necessaria per seguire quel particolare <strong>moto</strong> <strong>circolare</strong>. Per<br />
calcolare la forza <strong>centripeta</strong> ricaviamo la velocità:<br />
33lunghezza di 1 giro 332r<br />
336.280.250<br />
v 0.864 m/s<br />
secondi in un minuto 60 60<br />
2<br />
v<br />
2<br />
0.864<br />
F m m 2.99m<br />
r<br />
r 0.250<br />
<strong>Il</strong> valore della forza <strong>centripeta</strong> non è noto in quanto è ignota la massa del blocchetto.<br />
Tuttavia anche l’attrito statico che deve produrla ha un valore massimo che dipende<br />
<br />
da m . Sapendo che l’equilibrio in direzione verticale produce N<br />
f<br />
<br />
0.150 9.81 <strong>1.</strong>47<br />
S,max S N <br />
S<br />
mg m m<br />
mg<br />
e come si vede risulta sempre 2.99m<br />
<strong>1.</strong>47m<br />
qualunque sia la massa, cioè il<br />
blocchetto scivola in ogni caso perché l’attrito statico non ce la fa a fornire la<br />
necessaria forza <strong>centripeta</strong>, neppure in caso assuma il suo valore massimo.<br />
:<br />
f <br />
S<br />
25 cm<br />
Esempio 12<br />
Si determinino velocità ed accelerazione <strong>centripeta</strong> di un punto sulla superficie<br />
terrestre che si trovi alla latitudine italiana, sapendo che R 6.378 10 m .<br />
<strong>Il</strong> punto descrive in un periodo T 24 h 86400 s una circonferenza di raggio:<br />
6 6<br />
r R T<br />
cos 42 6.37810 0.7431 4.739<br />
10<br />
m<br />
T<br />
6<br />
r<br />
R<br />
42 T<br />
6<br />
2r<br />
6.28 4.73910 6.284.739 10<br />
64<br />
v 344 m/s<br />
T<br />
4<br />
8.640010<br />
8.6400<br />
e come si vede la velocità trovata è superiore alla velocità del suono in aria. Per<br />
l’accelerazione risulta:<br />
11
y<br />
<br />
a<br />
C<br />
2<br />
v<br />
2 5<br />
344 <strong>1.</strong>1833610<br />
0.2497 10 2.5010<br />
r<br />
6 6<br />
4.73910 4.73910<br />
56 2 2<br />
m/s<br />
R<br />
Esempio 13<br />
Un ponte sospeso forma un arco di circonferenza incurvato verso il basso, di raggio<br />
R 200 m . Sul cartello di avvertimento si legge che il ponte sopporta al massimo<br />
<br />
N<br />
<br />
N<br />
un carico di<br />
massa<br />
<strong>1.</strong>50<br />
10<br />
4<br />
N . Quale limite di velocità deve rispettare un’automobile di<br />
1200 Kg se vuole attraversare il ponte senza che questo si rompa<br />
<br />
WR<br />
<br />
W<br />
T<br />
<br />
W<br />
<br />
W<br />
Osserviamo che il peso dell’auto<br />
<br />
W 12009.81 <strong>1.</strong>1810<br />
4<br />
N è inferiore al<br />
carico massimo sopportabile, tuttavia questo non permette di concludere che il<br />
ponte non si rompe in quanto la forza normale N che esso esercita sull’auto, oltre ad<br />
equilibrare la componente radiale del peso dell’auto ( W <br />
in figura), deve anche<br />
produrre la necessaria forza <strong>centripeta</strong> affinché l’auto possa seguire la traiettoria<br />
<strong>circolare</strong> imposta dalla forma del ponte. Al crescere della componente radiale del<br />
peso, la forza normale cresce in intensità fino al suo massimo, assunto nel punto più<br />
basso, dove deve equilibrare l’intero peso dell’auto. La velocità massima si ottiene<br />
imponendo che il valore massimo della normale (quello nel punto più basso) sia<br />
proprio <strong>1.</strong>50 10<br />
4 N :<br />
R<br />
<br />
<br />
v<br />
N mg m<br />
R<br />
2<br />
<br />
<br />
N<br />
<br />
<br />
v R g<br />
<br />
m<br />
<br />
<br />
<br />
4<br />
<strong>1.</strong>5010<br />
200<br />
<br />
<strong>1.</strong>200<br />
10<br />
3<br />
9.81 23.2 m/s<br />
<br />
12
2. La legge di <strong>gravitazione</strong> universale<br />
Cosa dice la legge della <strong>gravitazione</strong> universale<br />
L’esperienza mostra che qualunque coppia di corpi si attrae reciprocamente con una<br />
forza detta gravitazionale, la cui intensità è tanto maggiore quanto più le masse<br />
sono vicine, e tanto maggiore quanto maggiore è il valore della massa di ciascuno di<br />
essi. Nel caso particolare in cui le due masse siano puntiformi questa forza attrattiva<br />
F <br />
è diretta lungo la retta congiungente i due corpi, ed ha un’intensità inversamente<br />
G<br />
proporzionale al quadrati della loro distanza r e direttamente proporzionale al<br />
prodotto delle due masse:<br />
<br />
m m<br />
1 2<br />
F G<br />
G<br />
r<br />
2<br />
21<br />
r<br />
F <br />
12<br />
F <br />
m 2<br />
Con m ed m abbiamo indicato le rispettive masse in kilogrammi, mentre r e<br />
1 2<br />
F <br />
sono ovviamente espressi in metri e Newton. G è una costante fondamentale<br />
G<br />
della natura, che nel Sistema Internazionale vale :<br />
m 1<br />
G 6.67 10<br />
11<br />
Nm<br />
Kg<br />
2<br />
2<br />
e le sue unità di misura sono quelle che occorrono per far tornare Newton al primo<br />
2 2<br />
membro: N G<br />
Kg m<br />
. Osserviamo che G è un fattore di proporzionalità<br />
<br />
così piccolo che per produrre forze gravitazionali dell’ordine di qualche Newton<br />
servono masse enormi, come quella di un pia<strong>net</strong>a.<br />
Esempio 14<br />
Calcolare la forza gravitazionale con cui si attraggono due masse puntiformi di<br />
100 Kg ciascuna, poste alla distanza di <strong>1.</strong>00 m<br />
m m<br />
1 2<br />
11 100100<br />
7<br />
F G 6.6710 6.67 10<br />
N<br />
G<br />
r<br />
2 2<br />
<strong>1.</strong>00<br />
Una forza, come si vede, inferiore al milionesimo di Newton.<br />
Che relazione esiste fra la forza F e la forza F in figura<br />
12<br />
21<br />
Se indichiamo con F la forza che agisce su m ad opera di m , e con F <br />
12<br />
1<br />
2<br />
21<br />
la forza<br />
che agisce su m subisce ad opera di m , indipendentemente dal fatto che le due<br />
1<br />
2<br />
masse siano differenti od uguali, il principio di azione e reazione impone che si<br />
<br />
abbia sempre F F<br />
12 21 . Infatti nella formulazione matematica della legge di<br />
<strong>gravitazione</strong>, F rappresenta indifferentemente sia F che F <br />
. Quindi se<br />
G<br />
12<br />
21<br />
lasciamo cadere una pietra dall’alto la forza che la Terra esercita sulla pietra ha la<br />
stessa intensità della forza che la pietra esercita sulla Terra. Tuttavia, essendo la<br />
13
F 1<br />
C<br />
<br />
F 2<br />
massa della pietra molto più piccola, la sua accelerazione è molto maggiore rispetto<br />
a quella che subisce il pia<strong>net</strong>a e quindi è la pietra a muoversi verso il centro della<br />
Terra e non viceversa 1 :<br />
<br />
<br />
F<br />
F<br />
G<br />
G<br />
a a <br />
T<br />
pietra<br />
m<br />
m<br />
E se le masse non sono puntiformi<br />
T<br />
Questa espressione matematica della legge della <strong>gravitazione</strong> universale, vale<br />
esclusivamente per oggetti assimilabili a dei punti. Un oggetto rigorosamente<br />
puntiforme è un’entità solo teorica: nella pratica si considerano puntiformi oggetti in<br />
cui la distanza r coinvolta nella legge di <strong>gravitazione</strong> sia molto grande rispetto alle<br />
loro dimensioni trasversali (almeno un ordine di grandezza, cioè dieci volte più<br />
grande). In questo senso anche una stella può essere considerata puntiforme se le<br />
sue dimensioni sono rapportate alle distanze interpla<strong>net</strong>arie. Se però le masse non<br />
sono puntiformi dobbiamo immaginarle scomposte in porzioni piccolissime rispetto<br />
alla loro estensione, e sommare vettorialmente gli effetti della legge di <strong>gravitazione</strong><br />
fra tutte le possibili coppie di punti. Infatti l’esperienza mostra che vale il principio di<br />
sovrapposizione, per il quale la forza con cui interagisce ciascuna coppia è la stessa che<br />
si avrebbe se tutte le altre coppie non esistessero.<br />
E se le masse hanno forma sferica<br />
In caso di masse sferiche il calcolo descritto sopra si semplifica notevolmente perché<br />
la sfera può essere scomposta in coppie di punti uno a sinistra ed uno a destra alla<br />
stessa distanza dall’oggetto che viene attratto, e così la risultante di ciascuna coppia<br />
punta sempre verso il centro della sfera. Analogamente anche la risultante<br />
complessiva è diretta verso il centro della sfera e così possiamo utilizzare la formula<br />
della <strong>gravitazione</strong> immaginando ad esempio che la massa di un pia<strong>net</strong>a sia tutta<br />
concentrata nel centro. Se entrambe le masse sono sferiche, come ad esempio la<br />
Terra e la Luna, possiamo pertanto usare la formula a patto che r rappresenti la<br />
distanza fra i centri 2 .<br />
pietra<br />
C<br />
r<br />
E’ grazie agli studi di Newton, pubblicati nella sua fondamentale opera Philosòphiae<br />
Naturalis Pincipia Mathematica (1687) sappiamo dunque che la Terra esercita su di noi<br />
un forza, la cui natura è identica a quella che esercita sulla Luna. Questo nuovo<br />
modo di vedere le cose rappresentò da un lato la prima grande unificazione<br />
1 In realtà accelerano entrambe verso il centro di massa del sistema che costituiscono.<br />
2 Va detto anche che nel momento stesso in cui assumiamo che le masse siano puntiformi, e che tutte<br />
le loro proprietà possano essere individuate da una grandezza scalare m, anche solo da motivi di<br />
simmetria si potrebbe dedurre che la loro interazione deve essere diretta lungo la congiungente, in<br />
quanto in uno spazio vuoto con le sole due masse in studio, non si potrebbe definire nessun’altra<br />
direzione in modo univoco.<br />
14
scientifica di due fenomeni apparentemente distinti (il peso sulla superficie della<br />
Terra ed il <strong>moto</strong> orbitale del nostro satellite), dall’altro fu un significativo balzo in<br />
avanti nella comprensione del mondo, specie se confrontato con il punto di vista<br />
aristotelico per il quale il peso degli oggetti era dovuto alla naturale tendenza che<br />
questi avevano a ricongiungersi al luogo della loro origine.<br />
Cos’è una mappa gravitazionale <br />
Nelle regioni del pia<strong>net</strong>a dove la distribuzione della massa non è a perfetta<br />
simmetria sferica, la risultante non sarà esattamente diretta verso il centro della<br />
Terra, ma subirà piccoli scostamenti. Questo accade quando ad esempio si hanno<br />
cavità sotterranee come quelle naturali che racchiudono un giacimento petrolifero o<br />
di gas. Una misura accurata della variazione della direzione della forza di gravità<br />
rispetto al centro della Terra permette di individuare tali cavità, e viene detta mappa<br />
gravitazionale. E’ con questo sistema che ad esempio si è scoperta una cavità ripiena<br />
di rocce sedimentarie leggere nelle penisola dello Yucatan in Messico, probabilmente<br />
dovuta al cratere scavato dall’asteroide che 65 milioni di anni fa portò all’estinzione i<br />
dinosauri.<br />
roccia<br />
C<br />
petrolio<br />
Esempio 15<br />
Si trovi a quale distanza d dal centro della Terra, un oggetto di massa m è tirato con<br />
eguale intensità tanto dalla forza di gravità terrestre che da quella lunare, essendo<br />
8<br />
r 3.84 10 m il raggio medio dell’orbita lunare.<br />
L<br />
Si ha che la massa m è attratta rispettivamente dalla Terra e dalla Luna con forze la<br />
cui intensità si scrive:<br />
M m M m<br />
T<br />
L<br />
F G F G<br />
T<br />
d<br />
2<br />
L<br />
2<br />
( r d)<br />
Uguagliando e semplificando si ottiene:<br />
G<br />
M<br />
T<br />
d<br />
2<br />
m<br />
M m<br />
L<br />
G<br />
( r d)<br />
L<br />
2<br />
L<br />
( r d)<br />
M d M<br />
L T L<br />
Nell’ultimo passaggio si è potuta estrarre la radice di ambo i membri essendo<br />
positive tutte le quantità presenti (infatti r d<br />
0 ). Osserviamo in particolare che<br />
il risultato non dipende dalla massa m dell’oggetto. Risolvendo:<br />
5.97 10<br />
d r L<br />
<br />
24 22<br />
5.97 10 7.3510<br />
24<br />
5.97 9<br />
10 0.900 3.4610<br />
5.97 0.0735<br />
10<br />
L<br />
1212 8<br />
r r r<br />
L L L<br />
Come si vede il punto in questione dista dalla Terra<br />
9<br />
10<br />
<br />
Che relazione c’è con la forza peso espressa nella forma mg <br />
m<br />
della distanza Terra-Luna.<br />
Sulla superficie del pia<strong>net</strong>a la distanza dal centro della Terra è sempre costante e pari<br />
6<br />
al suo raggio R 6.378 10 m . Per questo si può calcolare una volta per tutte il<br />
T<br />
valore dell’accelerazione dovuta alla gravità sulla superficie terrestre per tutti gli<br />
oggetti, dato che la forza di gravità dipende anch’essa dalla massa e questa si<br />
d<br />
m<br />
15
y<br />
semplifica nella seconda legge della dinamica applicata in direzione radiale. Ad un<br />
oggetto in caduta libera. Sapendo che M 5.97 10 Kg risulta:<br />
T<br />
24<br />
<br />
F G<br />
a y<br />
M<br />
F ma G<br />
Gy<br />
y<br />
T<br />
2<br />
RT<br />
m<br />
ma<br />
24<br />
11 2<br />
5.9710<br />
6.6710 9.81<br />
m/s<br />
6 2<br />
(6.378 10 )<br />
y<br />
C<br />
ed è quindi da questo calcolo che si ottiene il noto valore g 9.81 m/s 2 . Questo<br />
calcolo permette di capire perché tutti gli oggetti, di maggiore o minore massa,<br />
accelerano con la stessa intensità verso il basso. Infatti, poiché<br />
F G<br />
è proporzionale<br />
ad m , i corpi più massivi subiscono una forza maggiore rispetto a quelli meno<br />
massivi. Tuttavia i corpi di massa maggiore hanno anche bisogno di una forza<br />
maggiore per accelerare, dato che è proporzionale ad m pure la loro inerzia, cioè la<br />
tendenza a resistere all’azione di una forza (è il secondo membro della legge di<br />
<br />
Newton F ma ). In altre parole ci vuole più forza per accelerare di m/s<br />
2<br />
9.81 un<br />
oggetto massiccio che uno di piccola massa.<br />
Che succede all’accelerazione di gravità salendo di quota<br />
<strong>Il</strong> denominatore viene incrementato del valore della quota, il che fa diminuire<br />
l’accelerazione di gravità. Ad esempio in cima all’Everest si ha:<br />
g Everest<br />
24<br />
11 2<br />
5.9710<br />
6.6710 9.78 m/s<br />
6 2<br />
(6.378 10 8850)<br />
mentre su di una stazione spaziale orbitante ad un’altezza di<br />
300 Km :<br />
g<br />
24<br />
11 5.97 10<br />
2<br />
6.6710 8.93 m/s<br />
300 Km<br />
6 6 2<br />
(6.378 10 0.30010 )<br />
Come si vede la diminuzione dell’accelerazione di gravità in un’orbita bassa quale<br />
quella a 300 Km è dell’ordine del dieci per cento. La condizione di “assenza di<br />
peso” degli astronauti non è quindi imputabile a questo, (infatti la gravità è ben<br />
presente a quell’altezza e fornisce la necessaria forza <strong>centripeta</strong>!), ma al fatto che il<br />
loro <strong>moto</strong> è assimilabile ad un <strong>moto</strong> di caduta libera, e non percepiscono il peso<br />
perché non c’è una superficie sulla quale si appoggiano ad esercitare una forza<br />
normale su di loro.<br />
Che succede all’accelerazione di gravità se cambia la massa del pia<strong>net</strong>a<br />
Generalizzando i calcoli precedenti, si ha che l’accelerazione di gravità<br />
superficie di un pia<strong>net</strong>a di massa<br />
M e raggio R è data da:<br />
P<br />
P<br />
gP<br />
sulla<br />
16
g<br />
P<br />
M<br />
G<br />
R<br />
P<br />
2<br />
P<br />
Una radicale diminuzione della massa in un pia<strong>net</strong>a di dimensioni confrontabili con<br />
la Terra comporta pertanto una diminuzione del valore dell’accelerazione dovuta<br />
alla gravità sulla superficie, ad esempio:<br />
g Marte<br />
23<br />
11 2<br />
6.4310<br />
6.67 10 3.73 m/s<br />
6 2<br />
(3.39 10 )<br />
g Luna<br />
22<br />
11 2<br />
7.3510<br />
6.67 10 <strong>1.</strong>62 m/s<br />
6 2<br />
(<strong>1.</strong>74 10 )<br />
Quindi sulla Luna un uomo di massa 100 Kg è attratto con una forza di 162 N , cioè<br />
quella con cui la Terra attira una massa di<br />
di Marte è attratto con una forza di<br />
una massa di<br />
38 Kg .<br />
16.5 Kg . Lo stesso uomo sulla superficie<br />
373 N , vale a dire quella con cui la Terra attira<br />
Tuttavia non va dimenticato che la forza gravitazionale decresce con l’inverso del<br />
quadrato della distanza dal centro, pertanto sulla superficie di un pianta come<br />
Saturno, che ha una massa quasi cento volte quella terrestre ma un raggio<br />
equatoriale dieci volte più esteso, si ottiene una accelerazione di gravità<br />
paragonabile alla nostra:<br />
Esempio 16<br />
g Saturno<br />
26<br />
11 2<br />
5.6810<br />
6.67 10 10.5 m/s<br />
6 2<br />
(60.268 10 )<br />
Sulla superficie di Marte un oggetto lanciato verticalmente con velocità iniziale<br />
<br />
v 100 m/s raggiunge un’altezza h 1340 m . Sapendo che il raggio di Marte<br />
o<br />
6<br />
misura R 3.39 10 m si calcoli la massa di Marte.<br />
M<br />
F <br />
G<br />
r<br />
Come sappiamo la massima altezza h raggiungibile da un oggetto lanciato<br />
verticalmente con velocità iniziale v è data dalla relazione:<br />
0<br />
gM<br />
h <br />
2<br />
v0<br />
2g<br />
M<br />
, dove<br />
è l’accelerazione di gravità sulla superficie del pia<strong>net</strong>a, in questo caso Marte.<br />
Calcoliamo g invertendo la formula:<br />
M<br />
2 2<br />
v0 100<br />
2<br />
g 3.73 m/s<br />
M<br />
2h<br />
21340<br />
Invertendo la relazione che permette di trovare l’accelerazione di gravità sulla<br />
superficie di un pia<strong>net</strong>a si ottiene la massa del pia<strong>net</strong>a:<br />
g<br />
M<br />
2 2 12<br />
M M M 3.73<br />
3.39 10<br />
M<br />
2 M<br />
G<br />
11<br />
6.67 10<br />
M<br />
GM<br />
<br />
g<br />
<br />
R<br />
6.4310<br />
R<br />
23<br />
Kg<br />
17
3. <strong>Il</strong> <strong>moto</strong> orbitale <strong>circolare</strong><br />
r<br />
y<br />
<br />
F G<br />
C<br />
<br />
v<br />
o<br />
Che cosa impedisce alla Luna di cadere sulla Terra<br />
La sorprendente risposta è che la Luna in effetti cade sulla Terra, vi cade<br />
continuamente, così come vi cadono tutti i satelliti artificiali in orbita attorno al<br />
pia<strong>net</strong>a. Un oggetto in orbita tende a cadere in ogni istante verso il centro della<br />
Terra, tuttavia il terreno, per così dire, gli scappa via da sotto esattamente con lo stesso passo,<br />
quindi non riesce mai ad avvicinarsi alla superficie. La figura a lato, tratta dai Principia di<br />
Newton (1687) illustra in che senso un <strong>moto</strong> orbitale possa essere visto come<br />
situazione limite di un lancio orizzontale. Fissata la quota, al crescere della velocità<br />
iniziale aumenta la gittata e con essa si allarga la curvatura della traiettoria. Quando<br />
la curvatura arriva a seguire quella della Terra, il proiettile entra in orbita.<br />
Con quale velocità può essere percorsa un orbita <strong>circolare</strong><br />
E’ immediato rendersi conto che non è possibile percorrere un’orbita alla velocità<br />
che si desidera, ma che piuttosto questa risulta stabilita dall’altezza alla quale si<br />
vuole fissare l’orbita. Lungo la direzione radiale istantanea si ha infatti che la forza di<br />
gravità fornisce la forza <strong>centripeta</strong> necessaria. Poiché la gravità diminuisce con<br />
l’altezza, diminuirà anche la forza <strong>centripeta</strong> che essa può fornire e quindi con<br />
l’altezza decresce pure la velocità orbitale v <br />
o<br />
. In un riferimento con l’asse radiale<br />
uscente dal centro della Terra si ha:<br />
G<br />
MT<br />
r<br />
<br />
v<br />
o<br />
2<br />
m<br />
m<br />
GM<br />
Questa relazione fornisce la velocità orbitale (o kepleriana)<br />
<br />
r<br />
T<br />
<br />
v o<br />
r<br />
2<br />
v <br />
o<br />
con la quale l’orbita<br />
deve essere percorsa se si vuole che rimanga stabile, cioè che l’intensità della forza di<br />
gravità fornisca proprio il valore della forza <strong>centripeta</strong> necessaria a percorrere quella<br />
circonferenza. Osserviamo che:<br />
<br />
<br />
Come si vede dalla presenza di r al denominatore, la velocità orbitale<br />
decresce con l’altezza da terra: le orbite più sono esterne più sono lente.<br />
Osserviamo inoltre che la velocità orbitale non dipende dalla massa, e per<br />
questo motivo ad esempio una stazione spaziale e gli astronauti al suo<br />
interno, possono seguire la stessa orbita pure se di masse molto differenti.<br />
Come si calcola il periodo di un’orbita <strong>circolare</strong><br />
Si chiama periodo T il tempo che occorre a descrivere un’orbita completa:<br />
18
T<br />
<br />
<br />
2r<br />
2 4<br />
vo<br />
vo<br />
2 2<br />
r<br />
T<br />
2<br />
che sostituita nella relazione per la velocità orbitale produce:<br />
GM<br />
2 2 3 3<br />
T 4<br />
r<br />
2<br />
2<br />
r GMT<br />
T r costante<br />
r 2 2 2<br />
T GM<br />
T 4<br />
T<br />
L’ultima forma di questa relazione viene detta terza legge di Keplero per il <strong>moto</strong><br />
orbitale.<br />
Quanto deve essere alta come mimino un’orbita<br />
Se non vi fosse l’atmosfera, e la Terra fosse una sfera dalla superficie liscia, sarebbe<br />
possibile un’orbita anche al livello del mare. Tuttavia il fatto di dover spostare l’aria<br />
per muoversi implica, per la terza legge di Newton, che l’aria eserciti una forza<br />
uguale e contraria, rallentando così il <strong>moto</strong>, ed impedendo la stabilità dato che la<br />
velocità orbitale deve restare costante. Pertanto l’orbita più bassa possibile si ha alla<br />
quota in cui l’aria è sufficientemente rarefatta da non ostacolare il <strong>moto</strong>: sono circa<br />
150 Km . Gli Shuttle percorrono orbite con r 250 Km alla velocità di circa<br />
8 Km/s e T 1h<br />
30 min , i satelliti GPS orbite con r 20000 Km e T 12h<br />
. E’<br />
inoltre possibile che un’orbita sia geosincrona, cioè tale che il suo periodo duri<br />
esattamente un giorno. Sostituendo T 24 h 8.64 10 s si ottiene:<br />
2<br />
3<br />
<br />
1<br />
T <br />
r <br />
GM h r R <br />
T<br />
T<br />
2<br />
3 7<br />
4.22 10 m 35800 Km<br />
4<br />
A quell’altezza la velocità orbitale è circa<br />
100 m/s . Se poi l’orbita geosincrona<br />
avviene nel piano che contiene l’equatore, e nello stesso verso di rotazione della<br />
Terra, si dice geostazionaria. Un satellite per telecomunicazioni segue tale orbita, in<br />
modo da mantenersi sempre sopra ad uno stesso punto sulla superficie<br />
dell’equatore terrestre 3 .<br />
Sono efficaci i satelliti spia<br />
I satelliti spia debbono percorrere orbite basse per avere risoluzione sufficiente a<br />
distinguere oggetti vicini. L’elevata velocità che le orbite basse richiedono, fa si che il<br />
tempo di transito sopra all’obiettivo sia estremamente breve. Con riferimento alla<br />
figura, si ha d 2h sin 45 2h<br />
, e se l’altezza è la tipica dei satelliti spia,<br />
h 300 Km , il tempo di permanenza sopra all’obiettivo in un passaggio con<br />
d<br />
h<br />
45°<br />
<br />
300 2<br />
v 8 Km/s sarà s cioè dell’ordine del minuto. Per di più la successiva<br />
o<br />
8<br />
orbita non ripasserà esattamente sopra all’obiettivo perché la Terra sotto ha ruotato<br />
3 <strong>Il</strong> che permette facilmente di individuare il sud in una grande città europea, semplicemente<br />
osservando la direzione verso la quale puntano le antenne paraboliche televisive per ricevere il segnale<br />
satellitare.<br />
19
e con velocità differente dal satellite e si dovranno attendere numerose orbite per un<br />
nuovo transito.<br />
B<br />
Come funziona il sistema GPS <br />
<strong>Il</strong> sistema di posizionamento globale (Global Positioning System) si avvale di un<br />
ricevitore ed una rete di 24 satelliti posti a quota 20000 m , con un periodo orbitale di<br />
12 h . <strong>Il</strong> nostro apparecchio è solo ricevitore, non invia alcun segnale ai satelliti, che<br />
A<br />
2<br />
1<br />
C<br />
quindi neppure sanno della nostra esistenza. Essi inviano il segnale della loro<br />
posizione in ogni istante: bastano tre di questi segnali per poter individuare con<br />
certezza la nostra posizione sul pia<strong>net</strong>a. Per capire riferiamoci ad un piano e<br />
supponiamo di ricevere la posizione del satellite A insieme al tempo in cui il segnale<br />
è stato inviato. Dalla velocità della luce, alla quale viaggiano le onde radio, ricaviamo<br />
la nostra distanza da A. Questo permette di concludere che ci troviamo su di una<br />
circonferenza (nello spazio una sfera) centrata in A, di raggio pari alla distanza<br />
ricavata. Contemporaneamente riceviamo il segnale dal satellite B, e quindi<br />
dovremo stare pure lungo una circonferenza di centro B e raggio trovato con lo<br />
stesso sistema. Questo riduce la nostra possibile posizione solo ai punti 1 e 2 in<br />
figura. La ricezione di un terzo segnale permette infine di stabilire che la nostra<br />
posizione è la 1, perché dobbiamo appartenere pure ad una terza circonferenza con<br />
centro in C.<br />
Esempio 17<br />
L’orbita del pia<strong>net</strong>a Nettuno può approssimativamente essere considerata una<br />
circonferenza. Sapendo che Nettuno dista dal Sole circa 30 volte quanto dista la<br />
Terra, si calcoli quanti anni gli occorrono per completare una rivoluzione.<br />
Possiamo rispondere utilizzando la terza legge di Keplero per il <strong>moto</strong> orbitale:<br />
3 3<br />
T<br />
2 2<br />
T N<br />
r<br />
T<br />
<br />
rN<br />
costante<br />
T<br />
Le informazioni del testo possono essere espresse scrivendo che r 30r<br />
.<br />
Sostituendo:<br />
N<br />
T<br />
3<br />
r T<br />
T<br />
2<br />
T<br />
3 3<br />
30 rT<br />
<br />
2<br />
T<br />
N<br />
2 3 2<br />
30 30 164<br />
N T N T T<br />
T T T T T<br />
ed essendo T 1anno<br />
si ha T 164 anni .<br />
T<br />
N<br />
3<br />
2<br />
Esempio 18<br />
Le osservazioni mostrano che la Luna impiega<br />
27g 7h<br />
43 min per una rivoluzione<br />
completa attorno alla Terra (rivoluzione siderale). Assumendo che l’orbita sia<br />
<strong>circolare</strong> e che<br />
22<br />
M 7.35 10 Kg calcolare la distanza media della Terra dal<br />
L<br />
nostro satellite e l’accelerazione <strong>centripeta</strong> della Luna.<br />
Trasformiamo il periodo in secondi:<br />
6<br />
T 2724 3600 73600 43 60 2.36<br />
10<br />
s<br />
sappiamo che vale la relazione:<br />
20
v<br />
o<br />
2<br />
L T 3 T<br />
rL<br />
r<br />
2<br />
L<br />
4<br />
2r GM T GM<br />
<br />
T<br />
sostituendo i valori dati:<br />
r<br />
L<br />
2<br />
T GM<br />
2 12 11 24<br />
2.36 10 6.67 10 5.97 10<br />
3 T <br />
3<br />
2 2<br />
<br />
4<br />
4<br />
2<br />
1211<br />
24 25<br />
3<br />
2.36 6.675.97<br />
3 3<br />
10 <strong>1.</strong>78 10<br />
<br />
39.44<br />
3 8 8<br />
<strong>1.</strong>78 10 10 3.8310 m 383000 Km<br />
Per l’accelerazione <strong>centripeta</strong> occorre conoscere la velocità orbitale:<br />
2rL<br />
8<br />
6.283.8310 6.28 3.83<br />
6<br />
<br />
v <br />
o<br />
T 2.3610<br />
2.36<br />
10 10.210 <strong>1.</strong>0210<br />
che inserita fornisce:<br />
2<br />
3 2 2<br />
vo<br />
(<strong>1.</strong>02 10 ) <strong>1.</strong>02 68 3 2<br />
a 10 2.7210<br />
m/s<br />
C<br />
r<br />
8<br />
3.8310<br />
3.83<br />
L<br />
Esempio 19<br />
86 2 3<br />
Un satellite descrive un’orbita <strong>circolare</strong> attorno alla Terra ad una distanza di<br />
500 Km dalla sua superficie, impiegando 94.6 min . Trovare la frequenza di<br />
rotazione del satellite (numero di giri ogni secondo), la sua velocità orbitale e<br />
l’accelerazione <strong>centripeta</strong>. Mostrare quindi che l’accelerazione <strong>centripeta</strong> è uguale<br />
all’accelerazione dovuta alla gravità terrestre.<br />
Per prima cosa calcoliamo il raggio dell’orbita, r R h , ed il periodo in secondi:<br />
6 6 6 6<br />
r 6.378 10 m 500 Km (6.378 10 0.50010 ) m 6.88 10 m<br />
T 94.6 60 5676 s 5.68<br />
10 s<br />
3<br />
<strong>Il</strong> numero di giri in un secondo si trova dividendo 1 s per la durata di un giro in<br />
secondi, cioè prendendo il reciproco del periodo:<br />
1 1<br />
f 0.17010 s <strong>1.</strong>7010<br />
T<br />
3<br />
5.88 10<br />
s<br />
3 1 4<br />
questo numero si dice frequenza e la sua unità di misura, s 1<br />
è detta Hertz Hz<br />
<br />
.<br />
Calcoliamo la velocità orbitale e poi l’accelerazione <strong>centripeta</strong>:<br />
6<br />
2r<br />
6.286.88 10 6.286.88<br />
63 3<br />
v 10 7.6110<br />
m/s<br />
o<br />
T<br />
3<br />
5.68 10<br />
5.68<br />
2<br />
3 2 2<br />
vo<br />
(7.6110 ) 7.61 66 2<br />
a 10 8.41 m/s<br />
c<br />
r<br />
6<br />
6.8810<br />
6.88<br />
L’accelerazione dovuta alla gravità terrestre si trova facendo il rapporto fra la forza<br />
gravitazionale e la massa m del satellite:<br />
<br />
F G 1 M m<br />
24<br />
T<br />
11<br />
5.97 10<br />
G 6.67 10<br />
<br />
m<br />
2 6 2<br />
m r<br />
(6.88 10<br />
)<br />
Hz<br />
m/s<br />
21
6.67 5.97<br />
<br />
10 0.84110 8.41m/s<br />
2<br />
6.88<br />
Esempio 20<br />
11 24 12 1 2<br />
L’astronave Enterprise si posiziona in orbita (geo)stazionaria attorno al pia<strong>net</strong>a<br />
4<br />
Klingon, ad una distanza di 7.00 10 Km dalla superficie, compiendo una<br />
rivoluzione in due giorni terrestri. <strong>Il</strong> capitano Picard chiede al tenente<br />
comandante Data quale sia la massa di Klingon, ma una tempesta mag<strong>net</strong>ica ha<br />
cancellato parzialmente i dati e risulta disponibile solo il raggio<br />
4<br />
R <strong>1.</strong>00 10 Km . Aiutate Data a calcolare la massa del pia<strong>net</strong>a.<br />
K<br />
Dalla terza legge di Keplero applicata al pia<strong>net</strong>a Klingon si ricava<br />
un’espressione per la massa<br />
r<br />
GM<br />
3 2 3<br />
K<br />
4<br />
r<br />
M <br />
2 2 K<br />
2<br />
M del pia<strong>net</strong>a:<br />
K<br />
T 4<br />
G T<br />
Calcoliamo il raggio dell’orbita ed il periodo in secondi:<br />
4 4 7<br />
r R h <strong>1.</strong>0010 Km 7.0010 Km 8.00<br />
10 m<br />
K<br />
T 483600 172800 s <strong>1.</strong>728<br />
10 s<br />
Sostituendo:<br />
M<br />
K<br />
5<br />
2 3 2 3 21<br />
r <br />
211110<br />
10<br />
2 11 2 10<br />
4 4 3.14 8.00 10 4 9.86 512<br />
<br />
G T 6.6710 <strong>1.</strong>728 10<br />
6.67 2.986<br />
21 24<br />
101310 Kg <strong>1.</strong>01<br />
10<br />
Kg<br />
m<br />
r<br />
L1<br />
r L<br />
Esempio 21<br />
Si dice punto lagrangiano L1 una posizione fra la Terra e la Luna che abbia lo stesso<br />
periodo della Luna. Se considerassimo solo la gravità terrestre, un punto più vicino<br />
della Luna non potrebbe mai soddisfare questo requisito, perché dovrebbe seguire<br />
la sua orbita più velocemente della Luna. Tuttavia la gravità lunare equilibra parte<br />
della gravità terrestre rendendo il fenomeno possibile. Si imposti l’equazione che<br />
permette di trovare il raggio r dell’orbita del punto L1<br />
Con riferimento alla figura, sulla massa m posta in L1 si ha:<br />
2<br />
M m M m v<br />
T<br />
L<br />
o<br />
G G<br />
m<br />
2<br />
2<br />
r ( r r)<br />
r<br />
L<br />
<strong>Il</strong> periodo orbitale deve essere lo stesso della Luna, dal che si ricava la velocità:<br />
2<br />
3 <br />
T r 2<br />
<br />
<br />
<br />
v <br />
<br />
r<br />
GM<br />
r<br />
2 2<br />
2 r 2<br />
L<br />
o<br />
<br />
T <br />
<br />
T<br />
2<br />
L<br />
3 2<br />
GM<br />
T<br />
2<br />
GM r<br />
T<br />
<br />
3<br />
<br />
rL<br />
2<br />
G<br />
M T<br />
2<br />
r<br />
G<br />
L<br />
2<br />
( r r)<br />
L<br />
M<br />
1 G M r<br />
T<br />
<br />
r<br />
3<br />
r L<br />
2<br />
M M M<br />
<br />
r r r r r<br />
T L T<br />
3 2 3<br />
( )<br />
L<br />
L<br />
22
4. Accelerazione tangenziale e <strong>centripeta</strong><br />
Come possiamo decomporre un vettore<br />
Nella situazione più generale possibile, dovremo considerare l’eventualità che la<br />
velocità v possa cambiare direzione, verso ed intensità in ogni istante. Per poter<br />
analizzare la situazione dal punto di vista dell’accelerazione, sfrutteremo la<br />
proprietà di decomposizione di un vettore, che qui brevemente richiamiamo. La<br />
tecnica di decomposizione consiste nell’applicare la regola del parallelogramma al<br />
contrario. Dati due vettori v e v , il loro vettore somma v v ha per<br />
1 2<br />
1 2<br />
rappresentante il segmento orientato lungo la diagonale del parallelogramma di lati<br />
consecutivi v e v , come in figura. Cambiando prospettiva allora, dato un<br />
1 2<br />
qualunque vettore v ed una coppia di rette incidenti r ed s, sarà sempre possibile<br />
decomporre v in una componente lungo r, v <br />
r<br />
ed una componente lungo s, v .<br />
s<br />
Basterà infatti disegnare il rappresentante di v applicato nel punto di intersezione di<br />
r ed s e tracciare le parallele alle due rette a partire dalla testa del vettore. Come si<br />
vede dalla figura, la somma delle due componenti così individuate restituisce<br />
sempre il vettore originario, cioè v v v<br />
. r s<br />
<br />
<br />
v <br />
v1 v2<br />
1<br />
v 2<br />
r<br />
v <br />
s<br />
v r<br />
v <br />
s<br />
Qual è la direzione dell’accelerazione nel caso più generale<br />
Poniamo quindi di avere un punto materiale che si muove seguendo una traiettoria<br />
curvilinea in due dimensioni. <strong>Il</strong> vettore velocità è, per definizione, sempre tangente<br />
alla traiettoria e quindi, in ogni istante, cambia direzione. Nel caso generale anche il<br />
modulo della velocità cambia in ogni istante.<br />
y<br />
a <br />
v <br />
a v a v <br />
a <br />
x<br />
v <br />
Procediamo decomponendo il vettore accelerazione nelle sue componenti lungo le<br />
due rette tangente e normale alla traiettoria, componenti indicate in figura con a <br />
t<br />
ed a n<br />
rispettivamente.<br />
y<br />
a <br />
n<br />
a a <br />
t<br />
a <br />
n<br />
a <br />
a <br />
t<br />
a <br />
a <br />
a t<br />
a <br />
n<br />
x<br />
a <br />
t<br />
a n<br />
figura 7<br />
23
Possiamo vedere tale situazione come una combinazione dei casi elementari che<br />
conosciamo. Poiché la velocità è sempre tangenziale, la variazione del modulo della<br />
velocità può essere dovuta solo ad un vettore anch’esso nella direzione tangenziale.<br />
Quindi alla presenza di una componente tangenziale nell’ accelerazione ci dice di<br />
quanto deve essere allungato od accorciato il vettore velocità ogni secondo. La<br />
variazione della direzione della velocità è invece riconducibile alla presenza di una<br />
componente normale nell’ accelerazione, proprio come accade nel <strong>moto</strong> <strong>circolare</strong><br />
uniforme. Come si è visto in quel caso infatti, un’accelerazione perpendicolare alla<br />
velocità non ne modifica mai il modulo, ma la fa solo ruotare.<br />
Possiamo approssimare la traiettoria in ogni punto con una circonferenza<br />
La componente normale è dunque responsabile del cambiamento di direzione della<br />
velocità istantanea. Possiamo pensare ad essa come all’accelerazione <strong>centripeta</strong> che<br />
avrebbe la nostra particella se si stesse movendo, anziché lungo la traiettoria reale,<br />
lungo quella circonferenza che meglio vi combacia intorno al punto dove stiamo<br />
osservando il <strong>moto</strong>. Una tale circonferenza, detta circonferenza osculatrice 4 , si<br />
individua senza ambiguità per ciascun punto P della traiettoria, considerato che,<br />
presi P e P in prossimità di esso, come in figura, per i tre punti non allineati P ,<br />
1 2<br />
P eP 1 2<br />
passa una sola circonferenza. La circonferenza osculatrice nel punto P si<br />
ottiene come posizione limite, facendo avvicinare sempre più P eP 1 2<br />
a P . <strong>Il</strong> suo<br />
raggio viene detto raggio di curvatura della traiettoria in quel punto.<br />
P 1<br />
P 1<br />
P<br />
P<br />
P P P<br />
1 2<br />
P 2<br />
a n<br />
a <br />
a <br />
t<br />
P 2<br />
a <br />
n<br />
a <br />
a <br />
t<br />
Come si intuisce, la circonferenza osculatrice sarà sempre “abbracciata” dalla<br />
traiettoria con la quale deve combaciare, cioè si troverà sempre nella regione di<br />
piano dove la curva rivolge la sua concavità. Pertanto è sempre verso tale regione<br />
che punta la componente normale dell’accelerazione e di conseguenza anche<br />
l’accelerazione complessiva, come viene schematicamente illustrato in figura.<br />
s( t)<br />
Che relazione c’è con l’accelerazione nel <strong>moto</strong> rettilineo<br />
La componente tangenziale dell’accelerazione, invece, è responsabile della<br />
variazione del modulo della velocità, ed ha lo stesso significato che ha l’accelerazione<br />
istantanea nel <strong>moto</strong> rettilineo, purché si sostituisca la coordinata rettilinea con<br />
un’ascissa curvilinea lungo la traiettoria.<br />
s 0<br />
4 Dal latino osculo, baciare. La circonferenza, cioè, che meglio combacia con la traiettoria in quel<br />
punto.<br />
24
y<br />
a v <br />
Esempio 22<br />
In figura è rappresentata la traiettoria di un punto materiale. Si dica se è possibile che<br />
i vettori accelerazione e velocità istantanea abbiano i versi riportati.<br />
La situazione proposta non è possibile, perché il vettore velocità deve essere sempre<br />
tangente alla traiettoria ed il vettore accelerazione sempre orientato verso la parte del<br />
piano dove la traiettoria rivolge la sua concavità.<br />
<br />
v<br />
x<br />
t<br />
Esempio 23<br />
Qui a lato è riportato l’andamento in funzione del tempo della velocità di un punto<br />
materiale. Sulla base di questa informazione e sull’andamento della traiettoria<br />
seguita dal punto si stabilisca se l’angolo fra l’accelerazione e la velocità è acuto<br />
oppure ottuso.<br />
L’angolo è acuto perché il modulo della velocità sta aumentando, e pertanto la<br />
componente tangenziale dell’accelerazione deve essere orientata concordemente al<br />
verso di percorrenza della traiettoria. Di conseguenza il vettore accelerazione deve<br />
essere orientato prevalentemente nel verso di percorrenza, cosa che accade nel caso<br />
dell’angolo acuto.<br />
y<br />
y<br />
angolo acuto<br />
v <br />
a <br />
angoloottuso<br />
x<br />
a v x<br />
25