Forza centripeta e gravitazione 1. Il moto circolare - francescopoli.net

3. Il moto orbitale circolare
r
y
F G
C
v
o
Che cosa impedisce alla Luna di cadere sulla Terra
La sorprendente risposta è che la Luna in effetti cade sulla Terra, vi cade
continuamente, così come vi cadono tutti i satelliti artificiali in orbita attorno al
pianeta. Un oggetto in orbita tende a cadere in ogni istante verso il centro della
Terra, tuttavia il terreno, per così dire, gli scappa via da sotto esattamente con lo stesso passo,
quindi non riesce mai ad avvicinarsi alla superficie. La figura a lato, tratta dai Principia di
Newton (1687) illustra in che senso un moto orbitale possa essere visto come
situazione limite di un lancio orizzontale. Fissata la quota, al crescere della velocità
iniziale aumenta la gittata e con essa si allarga la curvatura della traiettoria. Quando
la curvatura arriva a seguire quella della Terra, il proiettile entra in orbita.
Con quale velocità può essere percorsa un orbita circolare
E’ immediato rendersi conto che non è possibile percorrere un’orbita alla velocità
che si desidera, ma che piuttosto questa risulta stabilita dall’altezza alla quale si
vuole fissare l’orbita. Lungo la direzione radiale istantanea si ha infatti che la forza di
gravità fornisce la forza centripeta necessaria. Poiché la gravità diminuisce con
l’altezza, diminuirà anche la forza centripeta che essa può fornire e quindi con
l’altezza decresce pure la velocità orbitale v
o
. In un riferimento con l’asse radiale
uscente dal centro della Terra si ha:
G
MT
r
v
o
2
m
m
GM
Questa relazione fornisce la velocità orbitale (o kepleriana)
r
T
v o
r
2
v
o
con la quale l’orbita
deve essere percorsa se si vuole che rimanga stabile, cioè che l’intensità della forza di
gravità fornisca proprio il valore della forza centripeta necessaria a percorrere quella
circonferenza. Osserviamo che:
Come si vede dalla presenza di r al denominatore, la velocità orbitale
decresce con l’altezza da terra: le orbite più sono esterne più sono lente.
Osserviamo inoltre che la velocità orbitale non dipende dalla massa, e per
questo motivo ad esempio una stazione spaziale e gli astronauti al suo
interno, possono seguire la stessa orbita pure se di masse molto differenti.
Come si calcola il periodo di un’orbita circolare
Si chiama periodo T il tempo che occorre a descrivere un’orbita completa:
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