Forza centripeta e gravitazione 1. Il moto circolare - francescopoli.net

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y semplifica nella seconda legge della dinamica applicata in direzione radiale. Ad un oggetto in caduta libera. Sapendo che M 5.97 10 Kg risulta: T 24 F G a y M F ma G Gy y T 2 RT m ma 24 11 2 5.9710 6.6710 9.81 m/s 6 2 (6.378 10 ) y C ed è quindi da questo calcolo che si ottiene il noto valore g 9.81 m/s 2 . Questo calcolo permette di capire perché tutti gli oggetti, di maggiore o minore massa, accelerano con la stessa intensità verso il basso. Infatti, poiché F G è proporzionale ad m , i corpi più massivi subiscono una forza maggiore rispetto a quelli meno massivi. Tuttavia i corpi di massa maggiore hanno anche bisogno di una forza maggiore per accelerare, dato che è proporzionale ad m pure la loro inerzia, cioè la tendenza a resistere all’azione di una forza (è il secondo membro della legge di Newton F ma ). In altre parole ci vuole più forza per accelerare di m/s 2 9.81 un oggetto massiccio che uno di piccola massa. Che succede all’accelerazione di gravità salendo di quota Il denominatore viene incrementato del valore della quota, il che fa diminuire l’accelerazione di gravità. Ad esempio in cima all’Everest si ha: g Everest 24 11 2 5.9710 6.6710 9.78 m/s 6 2 (6.378 10 8850) mentre su di una stazione spaziale orbitante ad un’altezza di 300 Km : g 24 11 5.97 10 2 6.6710 8.93 m/s 300 Km 6 6 2 (6.378 10 0.30010 ) Come si vede la diminuzione dell’accelerazione di gravità in un’orbita bassa quale quella a 300 Km è dell’ordine del dieci per cento. La condizione di “assenza di peso” degli astronauti non è quindi imputabile a questo, (infatti la gravità è ben presente a quell’altezza e fornisce la necessaria forza centripeta!), ma al fatto che il loro moto è assimilabile ad un moto di caduta libera, e non percepiscono il peso perché non c’è una superficie sulla quale si appoggiano ad esercitare una forza normale su di loro. Che succede all’accelerazione di gravità se cambia la massa del pianeta Generalizzando i calcoli precedenti, si ha che l’accelerazione di gravità superficie di un pianeta di massa M e raggio R è data da: P P gP sulla 16
g P M G R P 2 P Una radicale diminuzione della massa in un pianeta di dimensioni confrontabili con la Terra comporta pertanto una diminuzione del valore dell’accelerazione dovuta alla gravità sulla superficie, ad esempio: g Marte 23 11 2 6.4310 6.67 10 3.73 m/s 6 2 (3.39 10 ) g Luna 22 11 2 7.3510 6.67 10 1.62 m/s 6 2 (1.74 10 ) Quindi sulla Luna un uomo di massa 100 Kg è attratto con una forza di 162 N , cioè quella con cui la Terra attira una massa di di Marte è attratto con una forza di una massa di 38 Kg . 16.5 Kg . Lo stesso uomo sulla superficie 373 N , vale a dire quella con cui la Terra attira Tuttavia non va dimenticato che la forza gravitazionale decresce con l’inverso del quadrato della distanza dal centro, pertanto sulla superficie di un pianta come Saturno, che ha una massa quasi cento volte quella terrestre ma un raggio equatoriale dieci volte più esteso, si ottiene una accelerazione di gravità paragonabile alla nostra: Esempio 16 g Saturno 26 11 2 5.6810 6.67 10 10.5 m/s 6 2 (60.268 10 ) Sulla superficie di Marte un oggetto lanciato verticalmente con velocità iniziale v 100 m/s raggiunge un’altezza h 1340 m . Sapendo che il raggio di Marte o 6 misura R 3.39 10 m si calcoli la massa di Marte. M F G r Come sappiamo la massima altezza h raggiungibile da un oggetto lanciato verticalmente con velocità iniziale v è data dalla relazione: 0 gM h 2 v0 2g M , dove è l’accelerazione di gravità sulla superficie del pianeta, in questo caso Marte. Calcoliamo g invertendo la formula: M 2 2 v0 100 2 g 3.73 m/s M 2h 21340 Invertendo la relazione che permette di trovare l’accelerazione di gravità sulla superficie di un pianeta si ottiene la massa del pianeta: g M 2 2 12 M M M 3.73 3.39 10 M 2 M G 11 6.67 10 M GM g R 6.4310 R 23 Kg 17
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