Compito di Fisica 2 A 21 Luglio 2011 1. Un campo elettrico E ha ...

Soluzioni
1. (a) Osserviamo che: ∇ =
= 0 quindi il campo è elettrostatico. Nel
punto generico P(x,y) il vettore ha direzione indicata in figura, con E x ed E y in modulo
direttamente proporzionali rispettivamente ad x ed y. La linea di campo è tangente al
campo E in ogni suo punto, quindi vale:
=
da cui discende:
P
y
E y E
E x
x
= −
→ = −
, integrando: = −
→ ln x = - ln y + C →
ln(xy) = C → xy = costante: le linee di campo sono rami di iperbole.
(b) = ∙ . Faccia OADE: u n = - u y e E y = 0 perché y = 0 quindi φ OADE = 0
D
z
E
C
F
OGEF: u n = u x e E x = 0 perché x = 0 → φ OGEF = 0; ABGO: u n = - u z e E z = 0 → φ ABGO = 0
DEFC: u n = + u z e E z = 0 → φ DEFC = 0; ABCD: u n = + u x e E x = E 0 perché x = a → φ OADE = E 0 a 2
BCFG: u n = + u y e E y = - E 0 perché y = a → φ BCFG = - E 0 a 2 . Si ottiene:
x
A
O
B
G
y
Φ(E)= φ OADE + φ OGEF + φ ABGO + φ DEFC + φ OADE + φ BCFG = 0 . Per il teorema di Gauss la carica interna al cubo è nulla.
2. (a) All’inizio =
con
=
= 1.6 → V 0 = 1.3 x10 4 V. Inserendo la lastra dielettrica la
capacità aumenta =
= 12 : affinché la differenza di potenziale rimanga costante, deve quindi
aumentare la carica sulle armature. Per aumentare la carica di una quantità infinitesima dq il generatore
compie il lavoro dW = V 0 dq. Se a dielettrico completamente inserito la carica totale è Q, il lavoro totale è :
= = = − = 2.76 x 10 -3 J.
(b) Se viene sconnesso il generatore le cariche sulle armature restano costanti nel tempo e pari a Q 0 = C 0 V 0 .
Poiché la capacità aumenta con l’inserimento del dielettrico la tensione ai capi del condensatore dovrà
diminuire. Se all’istante generico t durante l’inserimento L-x è la parte del lato dell’armatura riempita con
dielettrico e x quella vuota abbiamo che l’energia del sistema è = e le due parti possono essere
viste come due condensatori in parallelo quindi: C(x) = C 1 +C 2 con =
; =
. Otteniamo:
=
. La forza agente sulla lastra è quindi: = − quindi derivando la funzione energia
rispetto a x abbiamo: =
per x = 0 :
0 =
= 1.15x10-4 N.
. La funzione varia come 1/x 2
ed il valore massimo lo abbiamo