Fisica dello Stato Solido Lezione n.3 Reticolo reciproco

Fisica dello Stato Solido
Lezione n.3
Reticolo reciproco
Corso di Laurea Specialistica
Ingegneria Elettronica
a.a.06-07
Prof. Mara Bruzzi – Lezione n. 3 - Fisica dello Stato Solido
Laurea specialistica in Ingegneria Elettronica a.a.06-07
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1. Reticolo Reciproco
SOMMARIO
Equazioni di Laue - Vettori primitivi del reticolo reciproco –
Prima zona di Brillouin per bcc ed fcc – Diffrazione e reticolo
reciproco.
2. Orbitali atomici e molecolari
Tavola periodica – orbitali atomici – legame covalente -
configurazione elettronica degli elementi
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Condizioni di Laue per la diffrazione
Abbiamo già visto l’interpretazione di von Laue della legge di Bragg. L’interferenza
costruttiva ha luogo se valgono contemporaneamente le tre relazioni:
u d
a 1 . (u d -u 0
) = p λ
a 2 . (u d -u 0
) = q λ
a 3 . (u d -u 0
) = s λ
u 0
Con p,q,s numeri interi
a 1
,a 2
,a 3
vettori primitivi del reticolo di Bravais
u o
, versore che indica la direzione del fascio incidente
u 1
, versore che indica la direzione del fascio diffratto
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Condizioni di Laue sul vettor d’onda
Considero ora la radiazione X come onda piana incidente sul cristallo, caratterizzata dal
vettor d’onda k, dalla pulsazione ω e dalla lunghezza d’onda λ.
k
cristallo
k’
F(
r,
t)
= F 0
⋅
i
e
( k⋅r−ωt
)
I vettori k e k’ hanno direzione e
verso di propagazione dell’onda
piana incidente e diffratta, u 0
e u d
.
Fronti dell’onda
piana incidente
Fronti dell’onda
piana diffratta
k
=
2 π
u
λ
Allora posso riscrivere le equazioni di von Laue come:
0
k'=
2 π
λ
u d
equazioni di Laue
(*)
a 1 . ∆k = 2πp
a 2 . ∆k = 2πq
a 3 . ∆k = 2πs
Con ∆k = (k’- k)
e p,q,s numeri interi
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Reticolo Reciproco
Definiamo reticolo reciproco l’insieme di punti dello spazio descritti
dal vettore:
G = hA 1
+ kA 2
+ lA 3 con h, k, l numeri interi e:
Vettori Primitivi del Reticolo Reciproco
A
a2
× a3
= π
a ⋅ a × a
1
2
1
2
3
A
a3
× a1
= π
a ⋅ a × a
2
2
1
2
3
A
a1
× a2
= π
a ⋅a
× a
3
2
1
2
3
Dove a 1
,a 2
,a 3
sono vettori primitivi del reticolo di Bravais. Otteniamo:
a i · A j = 0
a i · A i = 2π
Per ogni i, j = 1,2,3 i ≠ j
Si mostra facilmente che l’insieme dei vettori G così determinati
costituisce reticolo di Bravais con vettori primitivi A 1
, A 2
, A 3
. Il reticolo
con vettori primitivi (a 1
,a 2
,a 3
) si chiama ‘diretto’ per distinguerlo da quello
reciproco, così chiamato perché i vettori reciproci hanno dimensione
inversa alla lunghezza ( si misurano in m -1 ).
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Consideriamo ora le condizioni di Laue per la diffrazione :
a 1 . ∆k = 2πp
a 2 . ∆k = 2πq
a 3 . ∆k = 2πs
esse equivalgono a imporre:
∆k = G
con G vettore di traslazione del reticolo reciproco:
G = pA 1
+ qA 2
+ sA 3
Infatti, dato che: A 1 ┴ a 2 , a 3 , A 2 ┴ a 1
, a 3
, A 3 ┴ a 1
, a 2
a 1 · ( pA 1
+ qA 2
+ sA 3
) = 2π p
otteniamo:
a 2 · ( pA 1
+ qA 2
+ sA 3
) = 2π q
a 3 · ( pA 1
+ qA 2
+ sA 3
) = 2π s
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Relazione tra i vettori del reticolo Reciproco
e quelli del Reticolo Diretto
Siano:
R = n 1
a 1
+ n 2
a 2
+ n 3
a 3
G = pA 1
+ qA 2
+ sA 3
vettore del reticolo di Bravais diretto
vettore del reticolo reciproco
Allora si verifica che :
R ⋅ G
= 2π
n
con n numero intero.
Posso allora scrivere:
iR⋅G
e
= 1
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OGNI VETTORE DEL RETICOLO RECIPROCO E’ NORMALE
AD UN PIANO DEL RETICOLO CRISTALLINO.
G è normale al piano passante per i 3 punti (ma 1
,0,0); (0,na 2
,0); (0,0,pa 3
)
del reticolo cristallino se è normale ad ogni vettore che giace in quel
piano.
pa 3
a 3
a 2
na 2
0
ma 1
a 1
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In particolare i vettori ma 1
- na 2
; ma 1
-pa 3
; na 2
-pa 3
giacciono in tale
piano. Allora deve valere:
a 3
a2
G
G·(ma 1 -na 2 ) = G·(ma 1 -pa 3 ) = G·(na 2 -pa 3 ) = 0
( hA 1
+ kA 2
+ lA 3
) ·(ma 1
- na 2
) = ( hm – kn ) 2π = 0
pa 3
0
ma 1
na 2
a 1
Poiché
a i · A i = 2π
a i · A j = 0
Per ogni
i, j = 1,2,3
i ≠ j
Da cui otteniamo hm = kn e similmente: hm = pl ; nk = pl .
Le tre equazioni sono soddisfatte se : m = 1 1
; n =
k
; 1
p = .
Quindi gli k,h,l corrispondono agli indici di Miller del piano passante per
i punti (ma 1
,0,0); (0,na 2
,0); (0,0,pa 3
) ed il vettore G è perpendicolare al
piano di indici (hkl).
h
l
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Prima Zona di Brillouin
La cella di Wigner Seitz può essere definita anche per il reticolo
reciproco. In questo caso viene chiamata prima zona di Brillouin.
Determiniamo la prima Zona di Brillouin per i reticoli
reciproci dei reticoli di Bravais BCC ( cubico a corpo
centrato ) e FCC ( a facce centrate ) .
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Reticolo Reciproco del reticolo cubico a corpo centrato BCC
Scegliamo questa terna di vettori primitivi per il reticolo di Bravais bcc
a 1 = a/2 ( u x + u y - u z )
a 2 = a/2 (- u x + u y + u z )
a 3 = a/2 ( u x - u y + u z )
a 2
a 3
a 1
x
z
y
Il volume della cella è:
V = a ⋅ a × a =
1
2
3
a
2
3
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Calcoliamo quindi le espressioni dei vettori primitivi nel reticolo reciproco:
A
a
a
( −u
x
+ u
y
+ u
z
) × ( u
x
− u
y
+ u
z
)
a2
× a3
2
2
2π
= 2π
= 2π
= ( u
3
x
a1
⋅ a2
× a3
a
a
+ u
2
1 y
A
a
a
( ux
− u
y
+ uz
) × ( ux
+ u
y
− uz
)
a3
× a1
2
2
2π
= 2π
= 2π
= ( u
3
y
a1
⋅ a2
× a3
a
a
+ u
2
2 z
a
a
( ux
+ uy
−uz)
× ( −ux
+ uy
+ uz)
a1
× a2
2
2
2π
A = 2π
= 2π
= ( u
3
x
+ u
a1
⋅ a2
× a3
a
a
2
3 z
)
)
)
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Le espressioni vettoriali trovate corrispondono ai vettori primitivi di
un FCC
2
A = π 1
( u x
+ u
y
)
a
2
A ( )
2
u y
+ uz
a
= π )
A 3
A 2
4π/a
z
y
2
A = π ( u x
+ u
a
3 z
A 1
x
Il reticolo reciproco di un reticolo cubico a corpo centrato
è un reticolo cubico a facce centrate.
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La prima zona di Brilluoin di un reticolo bcc è un
dodecaedro rombico
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Reticolo Reciproco del reticolo cubico a facce centrate FCC
Scegliamo questa terna di vettori primitivi per il reticolo di Bravais fcc
a 1 = a/2 (u x + u y )
a 2 = a/2 (u x + u z )
a 3 = a/2 (u y + u z )
a 3
a 2
a
Il volume della cella è:
V = a ⋅ a × a =
1
2
3
a
4
3
a 1
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Calcoliamo quindi le espressioni dei vettori primitivi nel reticolo reciproco:
A
a
× a
a
( u
2π
2
+ u
a
) ×
2
a
4
( u
+ u
)
2π
( u
a
y z
x z
2 3
1
= 2π
=
=
3
x
+ u
y
− u
z
a1
⋅ a2
× a3
a a
( ux
+ uz
) × ( ux
+ u )
a3
× a
y
1 2 2 2π
A = 2π
= 2π
= ( −u
3
x
+ u
y
+ u
a1
⋅ a2
× a3
a
a
4
2 z
a a
( ux
+ uy)
× ( uy
+ u )
a1
× a
z
2 2 2 2π
A = 2π
= 2π
= ( u
3
x
−uy
+ u
a1
⋅a2
× a3
a
a
4
3 z
)
)
)
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Le espressioni vettoriali trovate corrispondono ai
vettori primitivi di un BCC
2
A1 = π ( u
x
+ u
y
− u
z
)
a
2
A
2
( −ux
+ u
y
+ uz
)
a
= π 2
A 3 = π ( ux
−uy
+ uz)
a
A 2
A 3
A 1
x
4π/a
z
y
Il reticolo reciproco di un reticolo cubico a facce centrate
è un reticolo cubico a corpo centrato.
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La prima zona di Brilluoin di un reticolo fcc è un
ottaedro troncato
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Template per costruire la
prima zona di Brilluoin di un
reticolo a facce centrate
Tagliare lungo le linee
continue
Piegare lungo le linee
tratteggiate
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Configurazione elettronica esterna
Configurazione elettronica Struttura elettronica di un atomo od una molecola.
Corrisponde al modo di distribuirsi degli elettroni negli orbitali dell'atomo o della
molecola. E’ particolarmente importante quella della shell più esterna.
Z = Numero atomico
configurazione elettronica esterna
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Orbitali atomici
numeri quantici n, l,m
s
p
d
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Orbitale atomico
z
ϕ(r,θ,φ
θ,φ) = ϕ n,l (r) ϕ l,m (θ,φ
θ,φ)
θ
r
Fattore radiale
Densità di Probabilità
Fattore angolare
2
= ψ
x
φ
y
Probabilità che l’elettrone di trovi nella regione di spazio tra r ed r + dr
dP
2
= ψ dV = ψ
2
4π r
2
dr
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Orbitali atomici – Fattori radiali e angolari
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Fattori radiali ϕ(r)
Fattori r 2 |ϕ (r)| 2
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Orbitali atomici
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Riempimento orbitali atomici con elettroni
Energia
n=3; l = 0
n=3; l = 1 m = -1; 0 ; 1
n=3; l = 2 m =-2, -1; 0 ; 1;2
3s 3p x 3p y
3p z
n=2; l = 0
n=2; l = 1 m = -1; 0 ; 1
3d xy
3d xz
3d yz
3d x2-y2
3d z2
2s 2p x
2p y
2p z
n=1; l = 0
1s
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Nei metalli nobili la configurazione più stabile richiede che gli orbitali d siano
pieni. Un elettrone s viene perciò trasferito in un orbitale d.
Cu Z = 29 4s 1 3d 10
Ag Z = 47 5s 1 4d 10
Au Z = 79 6s 1 5d 10 4f 14
In altri metalli invece, quali Cr e Mo, la configurazione più stabile prevede il
trasferimento di elettroni in modo da avere orbitali d semipieni.
Cr Z = 24 4s 1 3d 5
Mo Z = 42 5s 1 4d 5
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