Compito di Fisica 2 Compito B 30 giugno 2011 1)Una sfera ...

Compito di Fisica 2 Compito B
30 giugno 2011
1)Una sfera conduttrice di raggio R = 10 cm è divisa in due semisfere mantenute in contatto elettrico fra loro e
che inizialmente si trovano al potenziale V0 = 1000 V. Nella semisfera di sinistra si trova una cavità sferica di
raggio a = 1cm , nell'altra una cavità di forma cubica; le rispettive superfici sono indicate con Ss ad Sd. Nel
centro della cavità sferica viene posta una carica q = 15 nC. Calcolare: a) la carica totale sulla superficie della
sfera e su Ss e Sd . b) il potenziale e il campo elettrico all'interno delle due cavità. Una volta disposte le cariche
come sopra specificato le due semisfere vengono scostate di una quantità infinitesima ma sufficiente a
rimuovere il contatto elettrico fra le due: c) determinare in questo caso la carica ed il potenziale delle superfici
interne ed esterne delle due semisfere.
2) Nella regione tra le due armature di un condensatore piano , quadrate di lato L =2.5m, distanti d=20cm
(direzione asse z) è presente una densità volumetrica di carica con espressione () = con ρ 0 = 2x10 -7
C/m 3 e λ = 1,5m. Tra le armature del condensatore viene mantenuta la tensione costante V=320V. (a)
Determinare l’espressione analitica del campo elettrico presente nello spazio. (b) Calcolare le cariche elettriche
presenti sulle facce interne del condensatore.
3) In un esperimento di Young luce di lunghezza d’onda 5000Å e densità di energia u = 0.1 J/m 3 incide
perpendicolarmente al piano contenente le due fenditure, poste a distanza 50µm e di sezione 1µm 2 . (a) Quanti
fotoni al secondo attraversano una singola fenditura (b) Subito prima di una fenditura si trova una pellicola
di materiale perfettamente trasparente con indice di rifrazione n = 1.25 e spessore d. In un punto di uno
schermo posto a grande distanza dalle fenditure si trova un minimo dell’intensità luminosa ( mentre nel caso d
= 0, cioè per pellicola assente, si avrebbe un massimo ). Si trovino i possibili valori di d.
4) (a) Determinare l’autoinduttanza di un solenoide toroidale a sezione quadrata di lato c =2 cm e raggio
interno R = 12cm, costituito da N =1000 spire avvolte su un materiale con permeabilità magnetica relativa µ r =4.
(b) Determinare inoltre l’energia del campo magnetico quando il solenoide è attraversato dalla corrente I=6A.
5) Una barretta conduttrice di massa m=20g è poggiata su due guide orizzontali conduttrici parallele, poste a
distanza L =25cm l’una dall’altra e collegate tra loro attraverso un
condensatore di capacità C=3nF e una resistenza R=12Ω. Le resistenze C
B
v
della sbarretta e delle guide sono trascurabili. E’ presente un campo R
0
magnetico uniforme B = 1,2T diretto lungo la verticale uscente. Ad un
istante t = 0 la barretta viene spinta con velocità iniziale v 0 = 8m/s lungo le due guide. Supponendo trascurabili
l’induttanza propria della maglia e gli attriti meccanici si calcoli: (a) l’andamento della velocità della barretta in
funzione del tempo. (b) Il massimo valore dell’energia immagazzinata nel condensatore inizialmente scarico.

Soluzioni
1. Inizialmente la sfera conduttrice ha potenziale V 0 , sulla superficie della sfera si trova quindi la carica Q = V 0 C
con C = 4πε 0 R = 11.12pF. Otteniamo: Q = 11.12 nC. Inserendo la carica q nella cavità sferica si induce una
carica –q sulla superficie interna della cavità sferica ed una carica +q sulla superficie della sfera di raggio R. (a)
La carica sulla superficie di raggio R è perciò Q tot = Q+q = 26.12 nC, quella sulla superficie interna della cavità
sferica è Q S = -q = -15nC. La carica sulla superficie cubica è nulla, perché all’interno di tale cavità non vi è carica:
Q D = 0.
(b) A causa della carica q il nuovo potenziale della sfera diviene V = =
= 2349V. Essendo conduttrice, la
sfera all’equilibrio è equipotenziale quindi sulle superfici interne delle cavità sferica e cubica V S = V D = V =
costante, il campo elettrico nel conduttore è nullo e così è nella cavità cubica E D = 0 . All’interno della cavità
sferica il campo elettrico varia con legge E(r) =
potenziale elettrostatico nella cavità sferica () − () =
() = +
= = +
− .
dovuto alla presenza della carica q nel suo centro. Il
con V(a) = V otteniamo:
(c) Quando le due semisfere sono isolate la carica Q T che si era ripartita in modo uniforme sulla sfera esterna
risulta divisa per metà su ognuna delle due semisfere. Tutte le altre quantità risultano invariate.
2. a. div E = ρ/ε 0 . Poiché E dipende solo da z e passando alla forma integrale abbiamo:
() − (0) =
/ = −
/
=
1 − /
. Per determinare E(0) imponiamo che la
differenza di potenziale assegnata tra le due armature, V, sia pari all’integrale di linea del campo elettrostatico
(possiamo per esempio imporre V(0) = V e V(d) = 0):
(0) − () = = ()
=
1 − / + (0) =
/ − 1 +
+ (0). Otteniamo: (0) =
1 −
/ −
+ .
() = −
/ + +
1 −
.
(b) Per il teorema di Coulomb si ha: q 1 = E(0) ε 0 L 2 e q 2 =- E(d) ε 0 L 2 .
/ +
+ =
(0)
3. Se n = U /hν è il numero di fotoni per unità di volume allora: dU/dt = nhνc A = flusso di energia per unità di
tempo. Dividendo tale flusso per l’energia di ciascun fotone hν si ottiene:
(a) dn/dt = ucA/hν = uAλ/h = 7.5x10 13 s -1 .

(b) La differenza di fase dei fasci che escono da due fori è: ∆ = ( − 1). Perché un minimo si sostituisca
ad un massimo si deve avere ∆φ = pπ con p = 1, 3, 5, .. dunque i possibili valori di d sono : =
1,3,5,7, .. µm.
() =
4. (a) = =
. ∮ ∙ = 2 =
= : () =
flusso di B utilizzando la superficie infinitesima da = cdr:
. B = µ r µ 0 H → () =
. Calcolo il
=
∙ =
=
. Otteniamo : =
.
(b) = =
.
5. (a) A causa del moto della sbarretta si ha una variazione di flusso e quindi una f.e.m. indotta ε = -Blv.
L’equazione del circuito diviene – =
+ , l’equazione del moto della sbarretta: = . Derivando i
due membri della prima equazione rispetto al tempo e sostituendo il valore della derivata di v rispetto al
tempo otteniamo: −
+
= la cui soluzione è: I = I 0 e -t/τ con I
0 = - LBv 0 /R ( si ottiene imponendo
q(0)= 0) e =
. La velocità della sbarretta è: = +
=
può anche riscrivere: v(t) =v* + ∆v e -t/τ .
+
/ che si
(b) Il valore massimo dell’energia immagazzinata nel condensatore viene raggiunto quando la carica q
raggiunge il massimo valore, cioè per I = dq/dt = 0. Ponendo I = 0 nell’equazione – = + e v = v* ( caso
per t tendente all’infinito ) otteniamo q = q max = -LBCv* . L’energia del condensatore è:
U c = q max 2 /(2C) = L 2 B 2 C v* 2 / 2.