Compito di Fisica 2 A 21 Luglio 2011 1. Un campo elettrico E ha ...

Compito di Fisica 2 A
21 Luglio 2011
1. Un campo elettrico E ha componenti: =
; = −
; E z = 0 , con E 0 = 10 5 V/m, a = 1cm. ( a )
determinare se tale campo è elettrostatico e mostrarne le linee di campo nel piano xy. (b) Determinare il
flusso di tale campo uscente attraverso il cubo di lato a, con vertice nell’origine, spigoli paralleli agli assi
coordinati e posto nel primo ottante e valutare la carica interna a tale cubo.
2. Un condensatore piano è carico con carica Q 0 = 2x10 -8 C e differenza di tensione V 0 . Le armature, quadrate di
lato L = 3cm si trovano a distanza d = 5mm, fissata. Si inserisce un dielettrico omogeneo e lineare, costante
dielettrica relativa ε r = 12 e spessore d e lati L tra le sue armature. a) Calcolare il lavoro speso dal generatore
per mantenere costante la differenza di potenziale tra le due armature durante l’inserimento della lastra di
dielettrico. (b) Calcolare l’espressione della forza agente sul dielettrico durante l’inserimento nel condensatore
in assenza di collegamento con il generatore di carica ed indicarne il valore massimo. (c) Sia x la porzione di
lato L dove ancora non si abbia dielettrico ( 0 ≤ x ≤ L): mostrare l’andamento della differenza di potenziale ai
capi del condensatore in funzione di x.
3. Un disco circolare di raggio R = 12cm , uniformemente carico con densità di carica superficiale σ =10 -5 C/m 2 ,
ruota con velocità angolare ω =5rad/s intorno al suo asse. Determinare: a) il campo magnetico B in un punto
sull’asse di rotazione a distanza d=3cm dal disco ; (b) il momento magnetico del disco in rotazione.
4. Una spira chiusa, quadrata, con lato L = 15 cm , resistenza R = 2Ω e massa 10g cade in un piano verticale
avendo la parte superiore in un campo magnetico uniforme B=1.2T perpendicolare al piano del foglio ed
entrante in esso. All’istante t = 0 la velocità della spira sia v 0 = 4m/s e la spira si trovi con il lato inferiore sul
confine della regione di campo magnetico. Determinare: (a) l’espressione della velocità della spira in funzione
del tempo; (b) il massimo valore della forza totale agente sulla spira.
5. Il vettore di Poynting di un’onda elettromagnetica monocromatica piana polarizzata linearmente che si
propaga nel vuoto è: S(z,t) = 220W/m 2 cos 2 [ (3.6x10 9 rad/s) t + (12 rad/m) z ] u z . Si scrivano le espressioni dei
campi E e B e si determinino i valori dei parametri caratteristici dell’onda: frequenza, lunghezza d’onda e le
ampiezze massime E 0 e B 0 dei campi elettrico e magnetico.

Soluzioni
1. (a) Osserviamo che: ∇ =
= 0 quindi il campo è elettrostatico. Nel
punto generico P(x,y) il vettore ha direzione indicata in figura, con E x ed E y in modulo
direttamente proporzionali rispettivamente ad x ed y. La linea di campo è tangente al
campo E in ogni suo punto, quindi vale:
=
da cui discende:
P
y
E y E
E x
x
= −
→ = −
, integrando: = −
→ ln x = - ln y + C →
ln(xy) = C → xy = costante: le linee di campo sono rami di iperbole.
(b) = ∙ . Faccia OADE: u n = - u y e E y = 0 perché y = 0 quindi φ OADE = 0
D
z
E
C
F
OGEF: u n = u x e E x = 0 perché x = 0 → φ OGEF = 0; ABGO: u n = - u z e E z = 0 → φ ABGO = 0
DEFC: u n = + u z e E z = 0 → φ DEFC = 0; ABCD: u n = + u x e E x = E 0 perché x = a → φ OADE = E 0 a 2
BCFG: u n = + u y e E y = - E 0 perché y = a → φ BCFG = - E 0 a 2 . Si ottiene:
x
A
O
B
G
y
Φ(E)= φ OADE + φ OGEF + φ ABGO + φ DEFC + φ OADE + φ BCFG = 0 . Per il teorema di Gauss la carica interna al cubo è nulla.
2. (a) All’inizio =
con
=
= 1.6 → V 0 = 1.3 x10 4 V. Inserendo la lastra dielettrica la
capacità aumenta =
= 12 : affinché la differenza di potenziale rimanga costante, deve quindi
aumentare la carica sulle armature. Per aumentare la carica di una quantità infinitesima dq il generatore
compie il lavoro dW = V 0 dq. Se a dielettrico completamente inserito la carica totale è Q, il lavoro totale è :
= = = − = 2.76 x 10 -3 J.
(b) Se viene sconnesso il generatore le cariche sulle armature restano costanti nel tempo e pari a Q 0 = C 0 V 0 .
Poiché la capacità aumenta con l’inserimento del dielettrico la tensione ai capi del condensatore dovrà
diminuire. Se all’istante generico t durante l’inserimento L-x è la parte del lato dell’armatura riempita con
dielettrico e x quella vuota abbiamo che l’energia del sistema è = e le due parti possono essere
viste come due condensatori in parallelo quindi: C(x) = C 1 +C 2 con =
; =
. Otteniamo:
=
. La forza agente sulla lastra è quindi: = − quindi derivando la funzione energia
rispetto a x abbiamo: =
per x = 0 :
0 =
= 1.15x10-4 N.
. La funzione varia come 1/x 2
ed il valore massimo lo abbiamo

V
(c) Per il calcolo del potenziale lungo x ricordiamo che =
=
,
funzione monotona crescente con valori estremi: V(0)= V 0 /ε r e V(L) = V 0 .
3. (a) La corona circolare infinitesima di disco compresa tra i raggi r ed r + dr
contiene la carica: dq = σ 2πr dr. Il disco è in rotazione con periodo T = 2π / ω. La corona è equivalente ad una
spira circolare percorsa dalla corrente infinitesima dI = dq / T = σωrdr. Una spira di corrente dI produce in un
punto P(x) dell’asse il campo magnetico: =
=
/
/.
Integrando su tutto il disco si ottiene:
=
√ − 2. Per z = d otteniamo: B (d) = 1.7x10-11 T.
(b) Una spira di area a, in cui scorre corrente I ha momento magnetico m = I a u n , con u n versore indicante
l’orientazione della spira nello spazio. Nel caso della corona circolare il momento magnetico infinitesimo ha
modulo: dm = π r 2 dI. Per l’intero disco: =
=
=
= 8.14 x10 -9 Am 2 .
4. (a) Per t > 0 il flusso del campo magnetico attraverso la superficie della spira diminuisce nel tempo perciò si
= − =
−
− + =
= . Si ha passaggio di corrente
produce una f.e.m. indotta: = −
nella spira : = , quindi agisce sulla spira la forza di frenamento :
F m = - I LB u y . La legge di Newton diviene:
= − =
−
. Dividendo per m e separando le variabili:
= . Ricordando che per t=0 abbiamo v= v 0 . Integriamo:
=
= → −
e cambiamo variabile: u = g-bv , con =
= −
→
. →
=
→ −
= →
=
+
1 −
.
(b) La forza agente sulla spira nella direzione verticale è F y = P - F m = mg – I L B = = −
. Poiché la
velocità è funzione monotona crescente del tempo, con valore iniziale v 0 e valore limite: =
> v 0 il
massimo valore della forza F y mentre la spira rimane dentro al campo magnetico è quello che si ha per il
minimo valore di velocità, v 0 : = −
. Ovviamente quando la spira esce completamente dalla
regione di campo magnetico il massimo valore assunto è F y = mg.
5. Il vettore di Poynting è legato ai campi E e B dalla relazione : S = ε 0 c 2 ExB. Poiché S è diretto come l’asse z E e
B , perpendicolari tra loro, risultano perpendicolari all’asse z: E = E u x e B = Bu y . Trattandosi di onda
monocromatica polarizzata linearmente scriviamo: E(z,t) = E 0 cos(ωt + kz); B(z,t) = B 0 cos(ωt + kz) con E 0 = c B 0 .
Poiché S = ε 0 c 2 E 0 cos 2 (ωt+kz) abbiamo: E 0 = 2.87 x10 2 N/C; B 0 = 9.6 x10 -7 T; k = 12 1/m ; ω = 3.6x10 9 rad/s;
λ = 0.52 m; ν = 5.7 x 10 8 s -1 .
t = 0
v 0
V 0
V 0 /ε r
y - L
y 0
y
L
t > 0
x