Corso di Fisica dello Stato Solido Lezione n. 2

Corso di Fisica dello Stato Solido
Lezione n. 2
Richiami di Onde: Interferenza e Diffrazione
Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria
Elettronica e delle Telecomunicazioni
a.a.09-10
Scaricabile al sito:
http://www.de.unifi.it/FISICA/Bruzzi/bruzzi_dida_fss.html
Prof. Mara Bruzzi –Lezione n.2
Laurea Magistrale in Ingegneria Elettronica a.a.09-10
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SOMMARIO
1. Richiami ed esercizi sulle onde
2. Diffrazione
3. Interferenza
4. Diffrazione con Raggi X su cristalli e legge di Bragg
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Denominazione ν [Hz]
[
λ
Spettro
Elettromagnetico
Onde radio < 3 10 9
> 10 cm
Microonde 3 10 9 – 3 10 11 10 cm – 1 mm
Infrarossi 3 10 11 – 428 10 12 1 mm – 700 nm
Luce visibile 428 10 12 – 749 10 12 700 nm – 400 nm
Ultravioletti 749 10 12 – 3 10 16
400 nm – 10 nm
Raggi X 3 10 16 – 3 10 18 10 nm – 1 pm
Raggi gamma > 3 10 18
< 1 pm
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2 . Diffrazione
Consideriamo una sorgente di onde elettromagnetiche S piane, i cui fronti d’onda
incontrano un ostacolo come l'apertura in uno schermo opaco (fenditura). La
fenditura abbia dimensioni lineari dello stesso ordine di grandezza della
lunghezza d’onda della radiazione elettromagnetica. Consideriamo il caso
particolare Diffrazione di Fraunhofer ) dove la sorgente S e lo schermo C dove si
visualizza il fenomeno della diffrazione siano a grande distanza dalla fenditura
che supponiamo rettilinea, di larghezza a e lunghezza L>>a.
S
k
a
Fronti d’onda piana
Schermo C
Schermo opaco con fenditura
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Suddividiamo la fenditura in N strisce ciascuna di larghezza ∆y =a/N. Ciascuna
striscia funge da sorgente di onde secondarie ( principio di Huygens-Fresnel)
contribuendo con ampiezza ∆E al campo risultante E p
in un punto P dello
schermo, individuato dai raggi uscenti ad angolo θ rispetto alla normale al
piano della fenditura.
I contributi relativi a due strisce adiacenti hanno nel punto P la differenza
di fase, derivante dalla differenza di cammino ∆ysenθ:
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Metodo dei fasori
Possiamo rappresentare l’onda
armonica
come un vettore, detto FASORE,
di modulo E 0
/r, che ruota intorno
all’origine con velocità angolare
ω. La proiezione del fasore
sull’asse verticale dà, istante
per istante, il valore E 1
(t).
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Con riferimento alla figura, gli N fasori che
rappresentano le ampiezze ∆E delle singole sorgenti
secondarie, in cui è suddivisa la fenditura,
costituiscono una poligonale di N lati. L’angolo
formato tra ciascun fasore e il successivo è dato da :
La differenza di fase tra l’onda emessa
dall’estremo B e l’estremo A è :
Per ∆y → ∞ ed N → ∞ la poligonale diventa un arco di circonferenza
di raggio ρ con angolo al centro pari a α. Dalla figura l’ampiezza del
campo eletrico risultante è pari alla corda che sottende l’arco:
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9

1.
Esercizi sulla diffrazione
3.
2.
1.
2.
3.
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3. Interferenza di onde: esperimento di Young
In questo esperimento la luce uscente dalla sorgente S viene diffratta alle
fenditure S 1
ed S 2
. La luce emessa da S 1
ed S 2
produce su uno schermo C, posto a
distanza L >> d ( d = separazione fenditure) una figura di interferenza consistente
in strisce chiare (massimi di intensità luminosa ) e scure (minimi) alternate, detta
figura di interferenza.
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Siano E 1
, E 2
onde prodotte dalle sorgenti S 1
ed S 2
:
La differenza di fase tra le due onde è:
I massimi di interferenza si hanno quando la differenza di percorso dsenθ è
un multiplo intero della lunghezza d’onda λ. In questa condizione le due
onde risultano infatti in fase.
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1.
Esercizi sull’ interferenza
3.
2.
1.
2.
3.
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4. Diffrazione X dei Cristalli
Abbiamo visto come i solidi, in forma cristallina, si dispongano in strutture
tridimensionali ordinate. Un reticolo cristallino molto comune in natura è per esempio
il reticolo cubico a facce centrate (FCC).
Cu
a (Å)
C ( diamante ) 3.57
Si 5.43
Ge 5.66
α-Sn 6.49
GaAs 5.65
a
Si 2 FCC
compenetrati di ¼
della diagonale di
corpo
NaCl 2 FCC
compenetrati di 1/2
lato del cubo
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E’ possibile esplorare la struttura microscopica
dei cristalli utilizzando un fascio di raggi X,
radiazione elettromagnetica con lunghezza d’onda
di circa 1Ǻ, lo stesso ordine di grandezza della
costante reticolare a nei cristalli. La teoria della
diffrazione X è stata sviluppata da Sir William
Bragg nel 1913. Bragg mostrò che un piano di
atomi nel cristallo riflette la radiazione nello
stesso modo nel quale la luce viene riflessa da uno
specchio, percui l’angolo in uscita θ r
è uguale
all’angolo incidente θ i
.
k
cristallo
Fronte onda piana
Fascio
incidente
Fascio
riflesso
Θ i
Θ r = Θ i
a
Piano di Bragg
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Legge di Bragg
Se si considera la radiazione come riflessa da piani di Bragg paralleli e
successivi, è possibile che i fasci riflessi dai vari piani interferiscano
costruttivamente.
Perché si abbia interferenza
costruttiva, la differenza di
cammino tra le due onde
riflesse deve essere tale
che:
θ
θ
AB + BC = nλ
A
θ
B
d
C
ossia deve valere la legge di
Bragg:
2d sen θ = nλ
Poiché la distanza tra piani d corrisponde a qualche Å il fenomeno non si
osserva con luce visibile ( ~ 5000 Å). E’ necessario usare fotoni X.
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Esercizi sulla Diffrazione nei cristalli
1. Lo ioduro di potassio ha stessa struttura cristallina di quella del NaCl, con d =
0.353 nm. Un fascio monocromatico di raggi X mostra un massimo di diffrazione
per primo ordine quando l’angolo di incidenza è 7.6°. Calcolare la lunghezza
d’onda dei raggi X.
λ = 0.934nm
2. Un fascio monocromatico di raggi X incide sulla superficie di un cristallo di
NaCl. Nel fascio riflesso il massimo del secondo ordine si trova ad un angolo di
20.5° tra il fascio incidente e la superficie. Determinare la lunghezza d’onda dei
raggi X.
λ = 0.984nm
3. Raggi monocromatici X di lunghezza d’onda λ = 0.166nm incidono su un
cristallo di KCl. Se la distanza tra i piani è di 0.314nm a quale angolo rispetto alla
superficie del cristallo bisogna dirigere il fascio per poter osservare un massimo
del secondo ordine
α = 32°
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1. Esercizi sulle onde
1. Un’onda è descritta dall’espressione: y Asen ( kx − ωt
)
= con A = 0.02 m; k = 2.11 rad/m ; w =
3.62 rad/s . Determinare la lunghezza d’onda , la frequenza e la velocità dell’onda.
Si ha
2 π
λ = = 2.98 m ; f 576Hz
k
= ω
2 π
= 0.
m
; υ = fλ
=1. 72 .
s
2. Scrivere l’espressione di un’onda sinusoidale y che viaggia lungo una corda nel verso negativo
dell’asse x con le seguenti caratteristiche y max = 8cm, λ = 80cm; f = 3Hz, y(0,0) = 0.
2π
−1
La formula generale è: y = A sen ( kx +ω t +φ ). Osservo che: A = ymax , k = = 7.85m
;
λ
rad
ω = 2 π f = 6π
. Inoltre poiché y(0,0) = 0 allora φ = 0, da cui: y = 0 .08sen
( 7.85x
+ 6π
t)
.
s
3. Riscrivere l’espressione dell’onda di cui all’esercizio sopra nel caso in cui y(x,0) = 0 nel punto x
= 10cm.
L’espressione è: y = 0 .08sen
( 7.85x
+ 6π t + φ ). Se y(x,0) = 0 per x = 10cm si ha:
0 = 0.08sen ( 7. 85x
+ φ ) da cui otteniamo φ = -0.785 rad. Si ha: y = 0.08sen
( 7.85x
+ 6π
t − 0.785)
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1 0 1 −ω1
−φ1
2 0 2 −ω2
−φ2
4. Due onde sinusoidali sono descritte da: y = A sen[ k x t ]; y = A sen[ k x t ]
con: A0 = 5m; k1 = k2 = 4π m
1 ; ω 1= ω2 =1200π s; φ1=0; φ2 = 0.25π rad. (a) Qual è l’ampiezza
dell’onda risultante (b) Qual è la frequenza dell’onda risultante
⎛φ2
⎞ ⎡ φ2
⎤
La funzione dell’onda risultante ha la forma: y = y1
+ y2
= 2A0
cos⎜
⎟sen⎢k
1x
− ω1t
− ⎥ con
⎝ 2 ⎠ ⎣ 2 ⎦
⎛φ2
⎞
ampiezza A = 2A0
cos⎜
⎟ =9.24m e frequenza
⎝ 2
= ω1
f = 600Hz.
⎠ 2 π
5. Due altoparlanti sono azionati da un oscillatore a 800Hz e sono l’uno di fronte all’altro a distanza
di D =1.25m. Trovare i due punti lungo il segmento che li unisce dove si aspetterebbero dei minimi
relativi ( velocità del suono v = 343 m/s).
La lunghezza d’onda è: λ = υ = 0.429m
. Per avere minimo, la differenza di cammino deve essere
f
un numero dispari di mezza lunghezza d’onda. Quindi , se X è la distanza di uno dei due
λ
D − x − x = 2n
+ 1 con
altoparlanti dall’ascoltatore, la differenza di cammino delle due onde è: ( ) ( ) 2
n numero intero. Otteniamo, per n = 0,1,2,-1,-2, i seguenti punti di minimo: x = 0.518m; 0.303m;
0.089m;0.732m;0.947m.
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6. Due onde sono date da: y1 = Acos[ kx −ωt]
; y = Acos[ kx + ωt]
2 con x e y in metri e t in secondi,
A = 0.015m; k = 0.5 m
1 ; ω = 40 s. (a) determinate la posizione dei nodi dell’onda stazionaria
risultante. (b) Qual è lo spostamento massimo per 0.4m
L’onda stazionaria risultante è data dalla somma delle due: y y + y = A cos ( kx) cos( ω )
⎛ x ⎞
x
(a) I nodi si formano dove y = 0 , cioè cos ⎜ ⎟ = 0
⎝ 2 ⎠
nodi per : x = π m; 3 π m ; 5 π m ..
⎛ 0.4 ⎞
(b) Per x = 0.4m l’onda ha ampiezza : y = 0.03cos⎜
⎟ = 0.0294 m.
⎝ 2 ⎠
= .
1 2 2 0
t
quindi per: = ( 2n + 1) 2 2
π
. Avremo perciò
7. A quale distanza da una sorgente isotropa ( cioè che irradia allo
stesso modo in tutte le direzioni ) di onde elettromagnetiche di potenza
30W l’ampiezza del campo elettrico sarà E m
= 10V/m
Risp. X = 4.24m
8. Un’onda radio trasmette 1.5 W/m 2 di potenza per unità di area. Una
superficie piana di area A è perpendicolare alla direzione di propagazione
dell’onda. Calcolare la pressione di radiazione dell’onda nell’ipotesi che
la superficie sia un assorbitore perfetto.
Risp. p = 5x10 -9 Pa
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9. Un impulso che viaggia su una corda in moto verso destra lungo
l’asse x è rappresentato da una funzione:
2
y( x,
t)
=
( x − 3t)
2 + 1
Dove x e t sono misurati in metri e secondi rispettivamente. (a)
mostrare che questa espressione rappresenta una funzione d’onda e
determinarne la velocità. (b) Mostrare in grafico la forma d’onda negli
istanti t = 0 e t = 2s.
Soluzione:
(b)
2.5
2
y(x,0)
y(x,2s)
(a) si mostri che:
∂
2
∂x
y
2
1
=
2
υ
∂
2
∂t
y
2
y(x,t)
1.5
1
0.5
con v = 3 m/s. 0
-4 -2 0 2 4 6 8 10
x [m]
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10. Una lampadina incandescente irradia 15W isotropicamente. Calcolare il valore
massimo del campo elettrico e del campo magnetico alle distanze: (a) 1m; (b) 5 m
dalla sorgente.
(a) E = 30 V/m; B = 0.1 µT
(b) E = 6 V/m; B = 0.02 µT
11. Un’onda elettromagnetica piana ha un flusso di energia di 300 W/m 2 . Una
superficie piana rettangolare di dimensioni 20cmx40cm è posta
perpendicolarmente rispetto alla direzione di propagazione. Se la superficie
assorbe metà dell’energia incidente e ne riflette la metà calcolare (a) l’energia
totale assorbita dalla superficie in un minuto (b) la quantità di moto assorbita
nello stesso tempo.
(a) 720J; (b) 2.4x10 -6 kg m/s
12. La luce del sole esercita una pressione di radiazione tipica di 5x10 -6 Pa.
Calcolare la forza di radiazione su uno specchio orizzontale perfettamente
riflettente di dimensioni 40cm x 80cm.
F = 3.2 µN
13. Un filo lungo ha un raggio di 0.3mm e resistenza 5 Ω è percorso da una
corrente di 2 A. Determinare il valore e la direzione del vettore di Poynting del filo
S = 1.06x10 4 W/m 2 diretto radialmente verso il filo.
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