GARE & PROBLEMI - ITIS E. Divini

ITIS “E. DIVINI” SAN SEVERINO MARCHE a.s. 2006/2007
Ricerca realizzata dagli alunni della classe 3° CH :
Silvio Antoniade
Federico Antonini
Laura Antonini
Laura Canali
Andrea Capodimonte
Danilo Capradossi
Daniele Emiliozzi
Francesco Fulvi
Laura Lancioni
Tony Maccari
Jessica Micucci
Giovanni Natalini
Monia Palazzesi
Federico Papa
Valeria Pichierri
Walter Piviero
Gionata Quacquarini
Manolo Seghetti
Alessio Testiccioli
Sabrina Trognoni
Nicola Martorelli
Alessandro Menichelli
Raffaele Miccini
Jessica Micucci
Giovanni Natalizi
Francesco Fulvi
Laura Lancioni
Tony Maccari
Nicola Martorelli
Alessandro Menichelli
Raffaele Miccini
Coordinatrice: Prof.ssa Valchiria Liberati

INTRODUZIONE . In questo articolo, illustriamo, attraverso esempi, i rapporti e le reciproche influenze,
dai tempi antichi ad oggi, tra “ matematica ricreativa” e “ matematica seria” e , più in generale, tra queste e la
società nel senso più vasto del termine. In particolare, gli esempi proposti, mostrano come molta parte della
cosiddetta “matematica seria”, anche quella che oggi dà luogo ad importanti applicazioni, abbia tratto origine
o si sia sviluppata a partire da contesti ludici o agonistici.
La linea che separa la matematica da intrattenimento dalla matematica seria è
sottile ed indistinta. Molti matematici professionisti considerano il loro lavoro
una sorta di gioco, si sentono un po’ come professionisti del golf o della
pallacanestro. In generale, la matematica è considerata ricreativa se ha un
aspetto giocoso che può essere capito ed apprezzato anche dai non matematici:
comprende problemi elementari con soluzioni eleganti e allo stesso tempo
sorprendenti, nonché paradossi inquietanti, giochi ingegnosi, sconcertanti
trucchi matematici e curiosità.
Martin Gardner
Molte volte l’impegno che gli uomini mettono in attività che sembrano
assolutamente gratuite, senz’altro fine che il divertimento o la soddisfazione
di risolvere un problema difficile, si rivela essenziale in un ambito che nessuno
aveva previsto, con conseguenze che portano lontano. Questo è vero per la
tecnologia . Il gioco è sempre stato il grande motore della cultura.
Italo Calvino

1. Matematica e affettività
In alcune persone la matematica arriva a generare disagio o addirittura blocchi, ansietà, angosce. Ciò
dipende da molti fattori, non ultimo il tipo di insegnamento scolastico ricevuto. Altri invece amano la
matematica a tal punto da confrontarsi con problemi matematici , sia per puro passatempo, sia, come
vedremo più avanti , in forma agonistica, anche a livello mondiale. Agli amanti della matematica alcuni
periodici dedicano apposite rubriche. Famosa al riguardo è stata la rubrica “Mathematical Games” del
mensile Scientific American, tenuta da Martin Gardner . A livello più popolare c’è il sempreverde “ Quesito
con la Susi” de La Settimana Enigmistica.

2. Matematica ricreativa nei tempi che furono
I problemi presenti nelle rubriche per gli appassionati di matematica sono formulati generalmente in modo
originale ed accattivante e non in modo accademico come nei trattati di matematica e nei manuali scolastici.
Essi fanno parte di un’antica tradizione che annovera opere come l’ Aritmetica di Diofanto ( vedi Appendice
n°1) , il Papiro di Rhind nel quale si ipotizza la presenza dell’ “Indovinello più antico del mondo” (vedi
Appendice n° 2 ) ed i manuali didattici come i trattati d’abaco del Medioevo ( vedi Appendice n°3) e del
Rinascimento. In Occidente , anche nei secoli bui dell’Alto Medioevo, come nel mondo indo-arabico ,
vennero realizzate opere di matematica ricreativa , quali la cosiddetta Antologia Greca , nell’area di lingua
greca e precisamente a Bisanzio, capitale dell’Impero d’Oriente e le Propositiones ad acuendos juvenes,
nell’area di quello che era stato l’Impero d’Occidente. Delle Propositiones ci sono pervenuti tredici
manoscritti, una raccolta di questi è attribuita al Venerabile Beda e l’altra ad Alcuino di York . Oltre ai
problemi aritmetici vi sono dei veri e propri rompicapo tra cui il famoso enigma de “ Il lupo, la capra ed il
cavolo” (vedi Appendice n°4) che costituisce un ottimo esempio per illustrare la versatilità e l’utilità della
teoria dei grafi. Durante il Rinascimento continuò l’uso di proporre questioni di matematica ricreativa
nell’insegnamento dell’aritmetica. Nel Quattrocento divenne addirittura consuetudine proporre giochi
matematici per rallegrare riunioni conviviali; è del periodo tra la fine del Quattrocento e l’inizio del
Cinquecento un ampio trattato in lingua volgare, interamente dedicato ai giochi, indirizzato ad una corte
signorile: il De viribus quantitatis di Luca Pacioli. Dopo la scoperta della stampa il primo trattato di giochi fu
pubblicato nel 1612 da Gaspar Bachet de Méziriach. A questa opera ne seguirono tante altre.
3. Matematica ricreativa e scienza
Nel Cinquecento, la matematica ricreativa, che nel tempo era entrata sempre più nella vita sociale e
culturale, cominciò ad influire sullo stesso sviluppo della matematica e delle sue applicazioni. In effetti nella
storia della scienza non sono rari gli esempi di giochi, anche non matematici, che , pur essendo nati al solo
scopo ricreativo, hanno dato impulso alla ricerca e promosso nuove teorie. Forse qualcuno trova esagerata
questa affermazione, perché , pur essendo convinto che per vincere in certi giochi si devono utilizzare
raffinate conoscenze matematiche, non immagina che esse siano nate proprio “ per gioco” , ossia a partire
da problemi legati ai giochi d’azzardo ed ai rompicapo. Ciò che segue ne è una dimostrazione.
3.1. Matematica nata da giochi d’azzardo
Per quanto riguarda l’influenza dei giochi sulla scienza , il gioco dei dadi ha focalizzato l’ attenzione sul
calcolo combinatorio elementare ed è all’origine di una fondamentale teoria matematica: il calcolo delle
probabilità che oggi trova applicazione in importanti settori quali le assicurazioni e le indagini statistiche.
Infatti, le regole dei giochi d’azzardo si prestano , grazie alla loro schematicità , ad essere facilmente
interpretate, mediante un modello matematico pratico e funzionale. I primi studi documentati condotti
nell’ambito della probabilità sono riportati nel De ludo aleae ( Sul gioco dei dadi) di Girolamo Cardano
pubblicato postumo . Costui fu filosofo e matematico nonché illustre medico e cultore di astrologia e , per
l’appunto accanito giocatore d’azzardo. Lo stesso Blaise Pascal nel 1654 , poco prima della sua crisi
mistica, quando conduceva ancora vita da gaudente, diede una soluzione ad un problema molto sentito tra i
giocatori d’azzardo ( Il problema delle parti) utilizzando il “ triangolo aritmetico” noto in Italia come “
triangolo di Tartaglia”.
3.2. Matematica nata da passatempi e rompicapo
Anche i passatempi ed i rompicapo hanno avuto la loro parte nello sviluppo della matematica. Due fra questi
furono studiati da Eulero.
− Il primo rompicapo, noto come problema dei ponti di Konigsberg , prende il nome dalla città della prussica
che ha dato i natali al grande filosofo Immanuel Kant , autore de “ La critica della ragion pura” opera in cui la
matematica svolge un ruolo importante. Nei primi del Settecento , al tempo in cui Kant era giovinetto i suoi
concittadini, durante la passeggiata domenicale, si dilettavano a cercare un cammino che consentisse di
attraversare tutti e sette i ponti, che allora collegavano i quartieri della città, senza passare due volte per uno
stesso ponte. La soluzione di questo problema, che aveva acquistato una certa fama ed aveva cominciato a
circolare fuori da Konigsberg e dai confini della Prussia, si trova in una nota del 1736, in cui Eulero, che
allora viveva a San Pietroburgo ed aveva 29 anni, dimostrò in maniera brillante che “ il problema è
impossibile” ossia non ammette soluzioni (vedi Appendice n°5) . La questione può apparire scarsamente
interessante ma non è così perché l’analisi del problema e la relativa soluzione di Eulero è generale:
consente di risolvere tutti i problemi di tracciamento di linee continue. Questo studio ha aperto la strada alla
teoria dei grafi e più in generale alla topologia combinatoria.

− Il secondo rompicapo trae origine dal seguente problema : “ Disporre gli assi , i re, le regine ed i fanti di un
mazzo di carte in un quadrato, in modo che in ogni riga e colonna figurino i quattro valori ed i quattro semi “.
Questo rompicapo , noto come problema dei trentasei ufficiali, si trova in una nota del 1782 , composta da
Eulero. In quella nota egli dimostrò che il problema n 2 “ ufficiali” può essere risolto sempre se n è dispari
oppure è “ doppiamente pari” ( cioè se n è divisibile per 4). Rimane il caso dei numeri “ semplicemente
pari” ( cioè dei numeri divisibili per 2 e non per 4, come 2 e 6). Per n =2 la soluzione non esiste. Per n=6 ,
dopo vari tentativi, Eulero formulò la seguente congettura : >. Tuttavia anche i grandi possono sbagliare
; infatti nel 1959 si è dimostrato che la congettura di Eulero è falsa per tutti i numeri semplicemente pari
maggiori di sei, anche se ci sono voluti ben 177 anni . Non va però dimenticato che proprio questo studio di
Eulero è all’origine dei cosiddetti quadrati greco-latini , strutture combinatorie collegati ai quadrati magici
impiegate per progettare esperimenti biologici, medici … e ricerche di mercato. Ma c’è di più : oggi i quadrati
greco-latini dalla matematica pura ed applicata sono tornati alle origini in veste orientale. Stiamo parlando
del Sudoku , il gioco che , nato negli Stati Uniti nel 1984 , è divenuto popolare in Giappone ed è approdato
in Italia , nell’estate del 2005 , dopo essere passato per Londra.
4. Disfide di matematica
Le disfide di matematica, nei tempi antichi, non sono state un fatto puramente agonistico o folcloristico , ma
hanno fornito, a volte, documenti preziosi alla storia della matematica, cambiato il comportamento degli
stessi matematici e sottolineato importanti punti di svolta del pensiero matematico.
• La disfida più leggendaria è quella secondo cui Archimede, riprendendo un passo dell’ Odissea, propose
ai matematici di Alessandria il cosiddetto “ problema dei buoi” la cui soluzione, determinata solo in tempi
206.545
recenti, è un numero che ha 206. 545 cifre e quindi è dell’ordine di 10 . Questo numero enorme è di
fatto inimmaginabile in quanto non è direttamente raffrontabile con alcunché di fisico. Si pensi che i numeri
maggiori di 10 1000 sono detti titanici e che la stima del numero totale degli atomi presenti nell’Universo si
colloca tra 10 80 87
e 10 .
• Intorno al 1223 si svolse a Pisa la disfida tra Fibonacci e Federico II e la sua corte che a quel tempo era la
più viva dal punto di vista culturale ed intellettuale. Questo evento riguardò la risoluzione di problemi con
metodi algebrici sia nell’indirizzo geometrico-algebrico sia in quello aritmetico-algebrico, facendo riferimento
alla matematica greca del periodo classico e alla matematica araba. Fibonacci nel 1225 pubblicò la
soluzione dei problemi che gli erano stati posti in due trattati ( il Flos ed il Liber Quadratorum).
• Un’ altra famosa disfida , svoltasi nel 1535, vide contrapposto Niccolò Fontana (detto Tartaglia) ad Antonio
Maria Fior ,allievo di Scipione del Ferro. In questa disfida Fior sottopose a Tartaglia trenta problemi la cui
soluzione era riconducibile ad alcune equazioni ridotte di terzo grado ( che nel simbolismo attuale possiamo
3
scrivere x + px=q con p,q positivi) , risolvibili grazie ad una regola che del Ferro aveva confidato a Fior
prima di morire. Tartaglia ,tuttavia, scoprì quella regola sbaragliando il suo avversario… e la tenne per sé.
Questo evento suscitò un grande scalpore perché fino ad allora si pensava che non si potessero risolvere le
equazioni di terzo grado. Lo stesso Pacioli, grande divulgatore delle conoscenze matematiche del suo
tempo, considerava il problema della risoluzione delle equazioni di terzo grado arduo come il problema della
quadratura del cerchio. In questo modo si innescò un processo che in poco tempo portò al crollo del muro
del terzo ma anche di quello del quarto grado.
• L’ultima disfida che proponiamo è quella rivolta da Blaise Pascal , nel 1658, a tutti i matematici del tempo
e prevedeva una vincita in denaro. Questa sfida non riguardava l’algebra, ma lo studio delle proprietà della
curva detta cicloide. Molti matematici accettarono la sfida, ma nessuna risposta fu riconosciuta completa
dalla giuria, cosicché il vincitore risultò lo stesso Pascal.
• Dalle storiche dispute tra professionisti della matematica passiamo alle vere e proprie gare di matematica,
che si stanno diffondendo sempre di più, in diverse forme, anche con lo scopo di avvicinare i giovani alla
matematica. Per tutte si possono segnalare , in ordine di “ anzianità”, le Olimpiadi Internazionali della
Matematica, il Kangourou della Matematica, i Campionati Internazionali di Giochi Matematici, il Rally
Matematico Transalpino etc…

APPENDICE N°1
Diofanto di Alessandria
Diofanto di Alessandria fu l’ultimo dei grandi matematici greco-ellenistici, ed è noto come il padre
dell’algebra. Della sua vita si sa ben poco; la sua nascita va collocata tra il 200 ed il 214 d.C. , la sua morte
tra il 284 ed il 298 d.C. La sua opera principale, l’Arithmetica , trattato in 13 volumi , dei quali soltanto 6
sono giunti fino a noi, influenzò profondamente i matematici successivi, dagli arabi a Gauss , passando per
Bombelli e Fermat.
L’ indovinello di Diofanto
A Diofanto si deve un famoso indovinello che egli stesso volle venisse scritto sulla propria tomba sottoforma
di epitaffio:
Questa tomba racchiude Diofanto. Trascorse un sesto della sua vita per l’infanzia, un dodicesimo perché le
sue guance si coprissero della peluria dell’ adolescenza. Inoltre per un settimo visse con la moglie, che dopo
cinque anni di matrimonio gli diede un figlio. Infelice bambino! Morì alla metà della vita del padre. Dopo
quattro anni trascorsi, consolando il suo dolore con lo studio delle cifre, Diofanto morì. Quanti anni visse?
La relazione algebrica oggi “ suonerebbe” così:
x x x x
+ + + + 5 + 4 =
6 12 7 2
x
⇒ x=84
APPENDICE N°2
IL PAPIRO DI RHIND
Il papiro di Rhind deve il suo nome all’antiquario Henry Rhind che lo acquistò nel 1858 a Luxor,in Egitto. E’
anche noto come papiro di Ahmes, dal nome dello scriba che lo trascrisse ,verso il 1650 a.C. , traendolo da
un papiro precedentemente composto tra il 2000 ed il 1800 a.C. Si trova attualmente al British Museum che
lo acquistò nel 1865. Presenta una raccolta di 87 problemi ed è il più ampio testo matematico del periodo
egiziano a noi pervenuto.
L’indovinello più antico del mondo
E’ stata avanzata l’ipotesi che la versione più antica dell’indovinello si trovi nel problema 79 del papiro di
Rhind, la cui soluzione comporta il calcolo della somma di termini in progressione geometrica ( spesso di
ragione sette). Eccone due varianti.
• As I was going to St. Ives,
I met a man with seven wives,
Every wife had seven sacks,
Every sack had seven cats,
Every cat had seven kits.
Kits, cats, sacks, and wives,
How many were going to St. Ives?
• Lungo una via vi sono sette case,
In ogni casa ci sono sette gatti,
Ogni gatto mangia sette topi,
Ogni topo mangia sette spighe di grano,
Ogni spiga produce sette misure di grano,
Dimmi qual è il numero totale di
Case, gatti, topi,spighe e misure di grano.
Bisogna tuttavia intendersi: nel papiro questa filastrocca non c’è. Al suo posto si trovano numeri e calcoli
accompagnati da indicazioni di difficile interpretazione. Fu Moritz Cantor , nel1880, ad illustrare gli aspetti
scientifici del papiro ravvisando l’analogia tra i numeri ed i calcoli presenti nel problema 79 e quelli presenti
in un problema medioevale che coinvolge la somma di sei termini in progressione geometrica ( e non cinque
né quattro come nelle versioni riportate precedentemente).

APPENDICE N° 3
La successione di Fibonacci.
Fibonacci, il cui vero nome era Leonardo Pisano (1175-1250), diede notevoli contributi all’aritmetica,
all’algebra ed alla geometria. Visse a lungo a Bugia, vicino all’attuale Algeri, prese dimestichezza con il
sistema decimale indo-arabo che era un sistema posizionale ed usava il simbolo zero. Nel1202, scrisse il
Liber abaci , un esauriente manuale in cui si spiegava l’uso delle cifre indo-arabe e come eseguire con
queste operazioni e problemi. E’ curioso che Fibonacci sia famoso per una successione di numeri che
risultava da un oscuro problema che all’epoca in cui fu scritto era considerato unicamente un esercizio
mentale. Fu il matematico Edouard Lucas, nel XIX secolo, a dare il nome di Fibonacci alla serie che era la
soluzione del problema seguente.
Il problema dei conigli.
L’intento di Fibonacci era quello di trovare una legge che descrivesse la crescita di una popolazione di
conigli. Supponiamo che la prima coppia diventi fertile al concepimento del primo mese e dà alla luce una
nuova coppia al concepimento del secondo mese, supponiamo inoltre, che ogni mese, a partire dal secondo,
i conigli producano una nuova coppia. Quante coppie di conigli ci saranno all’inizio di ciascun mese? La
soluzione è rappresentata dalla seguente successione(detta di Fibonacci): 1+1+2+3+5+8+13…
Ogni termine di tale successione è la somma dei due termini precedenti ed è rappresentato dalla formula:
F = F + F
n n−1
n−2
APPENDICE N° 4
Un problema logico.
Questo problema logico risale all’ottavo secolo.
Un contadino deve portare sull’altra riva di un fiume la sua capra, un lupo ed un cavolo. Nella sua barca, c’è
posto solo per lui e per la capra, il lupo o il cavolo. Se porta con sé il lupo, la capra mangerà il cavolo. Se
porta con sé il cavolo, il lupo mangerà la capra. Solo la sua presenza può evitare che il cavolo e la capra
siano mangiati dai rispettivi predatori. Come farà a trasportare ogni cosa sull’altra riva del fiume?
Il contadino trasporta per prima la capra. Poi ritorna e prende il lupo. Lascia il lupo sull’altra riva e riporta
indietro la capra. Poi lascia la capra al punto di partenza e porta il cavolo dove c’è il lupo. Infine, ritorna a
prendere la capra e la porta dove ci sono già il lupo ed il cavolo.

APPENDICE N° 5
I ponti di Konigsberg.
I cittadini di Konigsberg ,frustrati, portarono il problema all’attenzione di Eulero che spiegò perché non era
possibile. Questo problema inaugurò la teoria dei grafi e, benché semplice, richiese un approccio originale:
fino ad allora tali problemi non erano stati considerati per ciò che realmente rappresentano, cioè problemi
matematici. Per rappresentare il problema Eulero usò il seguente grafo: ( i nodi rappresentano le due rive
del fiume e le due isole mentre le linee rappresentano i ponti), e dimostrò che non era possibile tornare al
punto di partenza attraversando un ponte una sola volta.
Questo problema e la soluzione di Eulero segnarono l’inizio dello studio della topologia, che è una branca
relativamente nuova della matematica. I matematici del XIX secolo cominciarono a studiare la topologia
assieme ad altre geometrie non euclidee. Il primo trattato di topologia fu scritto nel 1847.