Regole di calcolo - Dipartimento di Matematica

a.a. 2011/12Laurea triennale in Scienze della NaturaMatematica ed Elementi di StatisticaRegole di calcoloAvvertenzaQuesti sono appunti “informali” delle lezioni,che vengono resi disponibili per comodità degli studenti.Parte del materiale presentato è tratto dai libri di testo consigliati,la cui consultazione è vivamente incoraggiata.1 / 21

Proprietà (assiomatiche) di addizione e moltiplicazioneProprietà commutativa: a + b = b + a,Proprietà associativa:a · b = b · a(a + b) + c = a + (b + c), (a · b) · c = a · (b · c)Proprietà distributiva: a · (b + c) = a · b + a · craccoglimento afattor comuneEsistenza degli elementi neutri: esistono in R due numeri distinti,denotati con 0 e 1, tali chea + 0 = a, a · 1 = aEsistenza degli inversi: per ogni numero reale a esiste un uniconumero reale, che si denota con −a e si chiama opposto di a,tale chea + (−a) = 0;per ogni numero reale a ≠ 0 esiste un unico numero reale, che sidenota con a −1 (o con 1 a) e si chiama reciproco di a, tale chea · a −1 = 13 / 21

Proprietà (assiomatiche) della relazione d’ordineCompatibilità rispetto all’addizione:per ogni a, b, c : a ≤ b =⇒ a + c ≤ b + cCompatibilità rispetto alla moltiplicazione:per ogni a, b, c : a ≤ b, c ≥ 0 =⇒ a · c ≤ b · c4 / 21

Conseguenze delle proprietà relative alle operazioniComportamento di 0, elemento neutro per l’addizione, rispetto allamoltiplicazione1 Per ogni a ∈ R : a · 0 = 0. Vista a lezioneOsservazioneDa (1) segue che non esiste alcun numero reale che moltiplicato per 0dia come risultato 1. Ne consegue che 0 non ammette reciproco.2 Per ogni a, b ∈ R :a · b = 0 =⇒ a = 0 oppure b = 0.Vista a lezioneOsservazioneLe proprietà (1) e (2) si sintetizzano nella legge di annullamento delprodotto:Per ogni a, b ∈ R : a · b = 0 ⇐⇒ a = 0 oppure b = 0.Tale legge vale anche per il prodotto di tre o più fattori.5 / 21

Proprietà degli opposti (regole dei segni)3 Per ogni a ∈ R : −(−a) = a.4 Per ogni a, b ∈ R : (−a) · b = −(a · b).5 Per ogni a, b ∈ R : a · (−b) = −(a · b).6 Per ogni a, b ∈ R : (−a) · (−b) = a · b.6 / 21

Proprietà dei reciproci7 Per ogni a ∈ R, con a ≠ 0 :11a= a.8 Per ogni a, b ∈ R, con a ≠ 0 e b ≠ 0 :9 Per ogni a ∈ R, con a ≠ 0 :1−a = −1 a .1a · b = 1 a · 1b .OsservazioneIn base a (8), il reciproco del prodotto di due numeri diversi da 0 èuguale al prodotto dei reciproci. Si badi che, al contrario, il reciprocodella somma non è uguale alla somma dei reciproci!7 / 21

Regole di semplificazione nelle uguaglianze10 Per ogni a, b, c ∈ R :a ± c = b ± c =⇒ a = b. Vista a lezione11 Per ogni a, b, c ∈ R, c ≠ 0 :a · c = b · c =⇒ a = b. Vista a lezione12 Per ogni a, b, c ∈ R, c ≠ 0 :ac = b =⇒ a = b.c8 / 21

Manipolazione di una uguaglianza13 Per ogni a, b, c ∈ R : a + b = c ⇐⇒ a = c − b.14 Per ogni a, b, c ∈ R, b ≠ 0 : a · b = c ⇐⇒ a = c b .Osservazione(13) e (14) permettono di risolvere l’equazione di primo gradoax + b = 0, con a ≠ 0 :ax + b = 0 ⇐⇒ ax = −b ⇐⇒ x = − b aEsempi. . .9 / 21

Dal test di ingresso. . .Il triplo di x supera di 3 il doppio della somma di x e 1.Quanto vale x ?• 5 [62/95]• 4 [8/95]• 1 [11/95]• −1 [13/95]• (nessuna risposta) [1/95]10 / 21

Dal test di ingresso. . .Nel triangolo ABC il lato BC è lungo il doppio del lato AB ;la lunghezza del lato AC supera di 2 cm la lunghezza del lato BC ;il perimetro è uguale a 18 cm.Determinare la lunghezza del lato AB .• 16/5 cm [51/95]• 16/3 cm [13/95]• 20/3 cm [2/95]• Nessuna delle risposte precedenti è corretta [16/95]• (nessuna risposta) [13/95]11 / 21

Conseguenze delle proprietà relative alla relazione d’ordineManipolazione di disuguaglianze15 Per ogni a, b, c ∈ R : a + b ≤ c ⇐⇒ a ≤ c − b.16 Per ogni a, b, c ∈ R : a ≤ b + c ⇐⇒ a − c ≤ b.OsservazioneLe proprietà (15) e (16) forniscono il noto principio in base al qualeè possibile “trasportare” un addendo da un membro all’altro di unadisuguaglianza “cambiandolo di segno”.12 / 21

Passaggio all’opposto17 Per ogni a, b ∈ R : a ≤ b ⇐⇒ −b ≤ −a.18 Per ogni a ∈ R : 0 ≤ a ⇐⇒ −a ≤ 0.19 Per ogni a ∈ R : a ≤ 0 ⇐⇒ 0 ≤ −a.OsservazioniAttenzione a non pensare che la presenza del segno “−” implichisempre che il numero considerato sia negativo.Come è noto, −a denota l’opposto di a; in base a (18) e (19),l’opposto di un numero positivo è negativo, mentre l’opposto di unnumero negativo è positivo.Le proprietà da (15) a (19) valgono anche se si sostituisce ovunque≤ con

Somma termine a termine di disuguaglianze20 Per ogni a, b, c, d ∈ R :a ≤ b e c ≤ d =⇒ a + c ≤ b + d .21 Per ogni a, b ∈ R :0 ≤ a e 0 ≤ b =⇒ 0 ≤ a + b.22 Per ogni a, b ∈ R :0 < a e 0 ≤ b =⇒ 0 < a + b.23 Per ogni a, b ∈ R :0 ≤ a, 0 ≤ b e a + b = 0 =⇒ a = b = 0.OsservazioneLa proprietà (20) vale anche per tre o più addendi. Inoltre, se almenouna delle disuguaglianze a sinistra del segno di implicazione è stretta,anche la disuguaglianza a destra lo è .14 / 21

Moltiplicazione di una disuguaglianza per un numero24 Per ogni a, b, c ∈ R : a < b e c > 0 =⇒ a · c < b · c .25 Per ogni a, b, c ∈ R : a ≤ b e c ≤ 0 =⇒ a · c ≥ b · c .26 Per ogni a, b, c ∈ R : a < b e c < 0 =⇒ a · c > b · cOsservazioneDalla proprietà di compatibilità della relazione d’ordine e le sueconseguenze (24)-(26) otteniamo la nota regola:Moltiplicando ambo i membri di una disuguaglianza per uno stessonumero si ottiene una disuguaglianza dello stesso verso se il numeroè positivo, di verso opposto se il numero è negativo.15 / 21

Regola dei segni27 Per ogni a, b ∈ R : a ≥ 0 e b ≥ 0 =⇒ a · b ≥ 0.28 Per ogni a, b ∈ R : a ≤ 0 e b ≤ 0 =⇒ a · b ≥ 0.29 Per ogni a, b ∈ R : a ≥ 0 e b ≤ 0 =⇒ a · b ≤ 0.OsservazioniLe proprietà precedenti continuano a valere se si sostituisce ovunque≤ con < e ≥ con >.Esse possono essere sintetizzate nella “Regola dei segni”:Il prodotto di due numeri è positivo se i numeri hanno lo stesso segno,negativo se i numeri hanno segno opposto.16 / 21

Quadrato di un numero reale30 Per ogni a ∈ R : (confrontare con le proprietà del valore assoluto)a 2 ≥ 0;a 2 = 0 ⇐⇒ a = 0;a 2 > 0 ⇐⇒ a ≠ 0.31 Per ogni a, b ∈ R : a 2 + b 2 = 0 ⇐⇒ a = b = 0.OsservazioniDa (30), da 1 ≠ 0 e dal fatto che 1 = 1 · 1 = 1 2 segue 1 > 0.La proprietà (31) vale anche per la somma di tre o più addendi.17 / 21

Reciproci e relazione d’ordine32 Per ogni a ∈ R ∗ :a > 0 =⇒ 1 a > 0; a < 0 =⇒ 1 a < 0.33 Per ogni a, b, c ∈ R :a ≤ b e c > 0 =⇒ a c ≤ b c .34 Per ogni a, b, c ∈ R :a ≤ b e c < 0 =⇒ a c ≥ b c .Osservazione(33) e (34) forniscono la nota regola:Dividendo ambo i membri di una disuguaglianza per uno stessonumero si ottiene una disuguaglianza dello stesso verso se il numeroè positivo, di verso opposto se il numero è negativo.18 / 21

Passaggio al reciproco35 Per ogni a, b ∈ R : 0 < a ≤ b =⇒ 0 < 1 b ≤ 1 a .36 Per ogni a, b ∈ R : a ≤ b < 0 =⇒ 1 b ≤ 1 a < 0.37 Per ogni a, b ∈ R : a < 0 < b =⇒ 1 a < 0 < 1 b .OsservazioniLe proprietà (35) e (36) continuano a valere se si sostituisce ≤ con

Regole di semplificazione nelle disuguaglianze38 Per ogni a, b, c ∈ R : a ± c ≤ b ± c =⇒ a ≤ b.39 Per ogni a, b, c ∈ R : a · c ≤ b · c e c > 0 =⇒ a ≤ b.40 Per ogni a, b, c ∈ R : a · c ≤ b · c e c < 0 =⇒ a ≥ b.41 Per ogni a, b, c ∈ R :42 Per ogni a, b, c ∈ R :ac ≤ b cac ≤ b ce c > 0 =⇒ a ≤ b.e c < 0 =⇒ a ≥ b.OsservazioneQueste regole, assieme alle “regole del trasporto” per disuguaglianze,permettono di risolvere le disequazioni di primo gradoEsempi. . .ax + b > 0, ax + b < 0 (a ≠ 0)20 / 21

Dal test di ingresso. . .La disequazione 3x + 13 − 2x > 1 è verificata• se e solo se 0 < x < 1 [14/95]• se e solo se 0 < x < 1/2 [5/95]• se e solo se 2/5 < x < 3/2 [56/95]• se e solo se x > 2/5 [8/95]• (nessuna risposta) [12/95]21 / 21