1. NOZIONI FONDAMENTALI - Liceo Statale Ischia

www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Geometria Razionale – 1. Nozioni fondamentalidall’infinitamente piccolo all’infinitamente grande. La geometria allora è diventata una branca della matematicaalla quale i matematici hanno cercato di dare un fondamento esclusivamente logico, indipendente dalleesperienze fisiche.Il legame tra fisica e matematica non si è però mai rotto. Con il passare dei secoli, ci si è resi sempre più contodi quanto la “geometria” del mondo sia molto più complessa di quanto sembrasse e di come alcune nuovegeometrie riescono a descrivere meglio fenomeni che con la vecchia geometria di Euclide non si riusciva aspiegare.►3. Il metodo assiomatico, i concetti primitivi e le definizioniLa geometria, sin dai tempi di Euclide, è stata organizzata assiomaticamente, partendo cioè dalla fondamenta.Nella matematica queste fondamenta sono costituite dai concetti primitivi e dagli assiomi. Gli enti primitivisono le nozioni che si decide di non definire. Ci si può rendere facilmente conto, infatti, che non tuttopuò essere definito, poiché in ogni nozione che si definisce si deve fare ricorso ad altre nozioni, le quali a lorovolta devono essere definite per mezzo di altre nozioni e così via all’indietro senza che teoricamente questoprocesso abbia mai una fine, arrivando necessariamente ad alcune nozioni così primitive da non poter esseredefinite con altre nozioni più elementari. A queste nozioni non è né necessario né possibile associare alcunsignificato esplicito, è invece fondamentale esprimere le loro proprietà esclusivamente attraverso assiomi,cioè attraverso proprietà non dimostrabili che indicano però come gli enti primitivi devono e possono essereusati. Il matematico Hilbert utilizza tre enti primitivi - punto, linea e piano - e 21 assiomi. A partire daglienti primitivi si danno e fanno derivare tutte le definizioni degli enti geometrici.►4. Nozioni di logicaAssumiamo come “primitivo” il concetto base di proposizione (o “giudizio” secondo la terminologia delgrande filosofo greco Aristotele): chiamiamo proposizione una frase (affermativa o negativa) a cui abbiasenso associare un valore di verità (V, vero, oppure F, falso).Per esempio, sono proposizioni logiche affermazioni del tipo “Una retta ha infiniti punti”, “2+3=10”. Nonsono proposizioni logiche le frasi “1000 è un numero grande”, “il quadrato è semplice”. La prima frase e-sprime un’affermazione vera, la seconda un’affermazione falsa, la terza e la quarta esprimono affermazioninon valutabili oggettivamente, di queste ultime non si può dire se sono vere o false.1 Quali delle seguenti frasi sono proposizioni logiche?[A]. I matematici sono intelligenti Sì No[B]. 12 è un numero dispari Sì No[C]. Pascoli è stato un grande poeta Sì No[D]. Pascoli ha scritto La Divina Commedia Sì No[E]. Pascoli ha scritto poesie Sì No[F]. Lucia è una bella ragazza Sì No[G]. Lucia ha preso 8 al compito di matematica Sì NoBisogna tenere conto che una proposizione può essere logica in un sistema e non esserlo in un altro. La possibilitàdi determinare la verità di una proposizione dipende infatti dalle modalità attraverso cui si può arrivarea determinarne la verità. Per esempio la proposizione “Questo bullone è grande” in generale non è unaproposizione logica ma se sappiamo che il metro di riferimento è un determinato dado allora acquisisce unavalore logico perché si può stabilire se quel bullone è troppo grande o no. Quindi in generale potremmo direche una proposizione è decidibile se nel sistema di riferimento esiste un modo per determinarne la veridicità.La logica delle proposizioni si fonda sui seguenti tre principi della logica aristotelica:- Il principio di identità: ogni oggetto è identico a se stesso e a nessun altro oggetto;- Il principio di non contraddizione: una stessa proposizione non può essere contemporaneamente verae falsa;- Il principio del terzo escluso (“tertium non datur”): una proposizione può essere solo vera o falsa,non può assumere un diverso valore di verità.Il corpo della geometria, come di qualunque altra teoria matematica, è costituito da proposizioni, cioè da affermazioniche riguardano gli enti geometrici e che sono vere o false.Le proposizioni possono essere semplici affermazioni (proposizioni atomiche) oppure possono essere ottenuteda una o più proposizioni elementari legate tra di loro attraverso connettivi logici (elementi linguisticidel tipo “non”, “e”, “oppure”, “o … o”, “quindi”, “se … allora”, “se e solo se”). In questo caso si parla diproposizioni composte o molecolariFONDAMENTI 3