2. ALCUNI ESERCIZI SVOLTI Elementi di teoria sugli spazi vettoriali ...

4 M.GUIDA - S.ROLANDO• Controlliamo l’indipendenza lineare di u 1 , u 2 , u 3 , u 4 .Siano a, b, c, d ∈ R tali che au 1 + bu 2 + cu 3 + du 4 = 0, chesignifica(b + d, a + b + c + d, 2a − d, a − c − d) =(0, 0, 0, 0) .Ciò equivale a⎧⎪ ⎨⎪ ⎩b + d =0a + b + c + d =02a − d =0a − c − d =0⎧ ⎧b = −d b = −2a⎪⎨ ⎪⎨··· 0=0d =2a ···⎪⎩ ⎪⎩c = a − d c = −acioè b = −2a, c = −a, d =2a con a ∈ R qualsiasi.Dunque u 1 , u 2 , u 3 , u 4 sono l.d..In conclusione, una base di W è (u 1 , u 2 , u 3 ) erisultadim W =3.Osserviamo che il controllo dell’indipendenza lineare di u 1 , u 2 , u 3 ediu 1 , u 2 , u 3 , u 4 sisarebbe potuto fare anche calcolando il rango della loro matrice, ad esempio rispetto allabase canonica.(2) La matrice dei vettori u 1 , u 2 , u 3 , u 4 (rispetto alla base canonica C =(e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ))è⎛ ⎞01 2 1M = M C (u 1 , u 2 , u 3 , u 4 )= ⎜ 11 0 0⎟⎝ 01 0 −1 ⎠ .11−1 −1Riducendo per righe ad esempio tramite le trasformazioni elementari R 1 ↔ R 2 ,R 4 →R 4 − R 1 ,R 3 → R 3 − R 2 ,R 4 → 2R 4 − R 3 (nell’ordine), si ottiene la matrice⎛ ⎞11 0 0⎜ 01 2 1⎟⎝ 00−2 −2 ⎠00 0 0da cui si deduce che i vettori (1, 1, 0, 0) = u 2 , (0, 1, 2, 1) = u 1 e (0, 0, −2, −2) = −2(0, 0, 1, 1)sono l.i.. Poiché le trasformazioni elementari sulle righe mantengono lo spazio generato dallerighe, una base di W = L (u 1 , u 2 , u 3 , u 4 ) è quindi data da (u 1 , u 2 , u) con u =(0, 0, 1, 1),da cui segue anche che dim W =3.Consideriamo ora i W i , i =1, 2, 3, 4 (i quali, essendo generati da elementi di W , sono sottospazidi W oltre che di R 4 ).Poiché u 1 , u 2 sono l.i. (nessuno è multiplo dell’altro) e u 3 = 0, si conclude subito che (u 1 , u 2 )e (u 3 ) sono basi di W 1 = L (u 1 , u 2 ) e W 2 = L (u 3 ) rispettivamente. Analogamente (u 3 , u 4 ) èbase di W 3 = L (u 3 , u 4 ) e dunque risulta dim W 1 =dimW 3 =2e dim W 2 =1.Per studiare W 4 = L (u 1 , u 2 , u 4 ), si procede con uno qualsiasi dei due metodi già usati perW ;sitrovacheu 1 , u 2 , u 4 sono l.i. e che quindi (u 1 , u 2 , u 4 ) è una base di W 4 . Di conseguenzadim W 4 =3eallora 1 W 4 = W .Passiamo allo studio delle somme e intersezioni richiesto dalla seconda parte dell’esercizio.Poiché 2 W 1 + W 2 = L (u 1 , u 2 )+L (u 3 )=L (u 1 , u 2 , u 3 ) e⎛M C (u 1 , u 2 , u 3 )= ⎝ 012 1⎞110 0 ⎠010−11 Si ricordi che se U è sottospazio di uno spazio vettoriale V di dimensione finita, dim U =dimV ⇒ U = V.2 È un fatto generale che se u 1 , ..., u n , v 1 , ..., v m sono vettori di uno spazio vettoriale qualsiasi, alloraL (u 1, ..., u n)+L (v 1, ..., v m)=L (u 1, ..., u n, v 1, ..., v m) .