2. ALCUNI ESERCIZI SVOLTI Elementi di teoria sugli spazi vettoriali ...

6 M.GUIDA - S.ROLANDOche ha matrice⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞1 −1 01 1 −1 0 1 1 −1 0 1 1 −1 0 1⎜ 2 −2 10⎟⎝ 0 1 0 1⎠ → ⎜ 0 0 1 −2⎟⎝ 0 1 0 1 ⎠ → ⎜ 0 0 1 −2⎟⎝ 0 1 0 1 ⎠ → ⎜ 0 1 0 1⎟⎝ 0 0 1 −2 ⎠1 0 1 0 0 1 1 −1 0 0 1 −2 0 0 1 −2ed equivale quindi al sistema⎧⎨ x 1 − x 2 + x 4 =0x 2 + x 4 =0⎩x 3 − 2x 4 =0In definitiva⎧⎨ x 1 = x 2 − x 4 = −2x 4x 2 = −x 4.⎩x 3 =2x 4W 1 ∩ W 3 = (−2x 4 , −x 4 , 2x 4 ,x 4 ):x 4 ∈ R 4 = L ((−2, −1, 2, 1))ed una base di W 1 ∩ W 3 è ((−2, −1, 2, 1)).Infine, poiché W 2 ⊂ W esiègiàvistocheW 4 = W , risulta subito W 2 + W 4 = W 2 + W =W e W 2 ∩ W 4 = W 2 ∩ W = W 2 (in particolare W 2 ,W 4 non sono supplementari in W perchéW 2 ∩ W 4 = W 2 = {0}, ossiaW 2 + W 4 non è diretta).ESERCIZIO. Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione 4 esiaB =(u 1 , u 2 , u 3 , u 4 ) unasua base. Determinare dimensione e una base del sottospazio W di V generato dai vettoriv 1 = u 4 − u 3 + u 1 , v 2 =2u 2 + u 3 − u 4 , v 3 =2u 2 +2u 1 + u 4 − u 3 .Completare poi la base trovata ad una base di V .Svolgimento. Disponendo di un insieme di generatori di W = L (v 1 , v 2 , v 3 ), possiamo procederetramite scarti successivi oppure riduzione. Ricorriamo al secondo metodo.Le componenti rispetto alla base B dei generatoriv 1 = u 1 −u 3 +u 4v 2 = 2u 2 +u 3 −u 4v 3 =2u 1 +2u 2 −u 3 +u 4sono rispettivamente[v 1 ] B=(1, 0, −1, 1)[v 2 ] B=(0, 2, 1, −1)[v 2 ] B=(2, 2, −1, 1)(si noti che per leggere le componenti dei v i , le loro espressioni come combinazione lineare degliu j si sono scritte in modo ordinato, secondo gli indici degli u j ) e quindi la matrice di v 1 , v 2 , v 3rispetto a B è⎛M = M B (v 1 , v 2 , v 3 )= ⎝ 10−1 1⎞02 1 −1 ⎠ .22−1 1La dimensione di W coincide con il rango di M ed una base di W è data, in componenti rispettoa B, dalle righe non nulle di una qualsiasi forma ridotta per righe di M. Riducendo per righe,si ottiene⎛M −→ ⎝ 10−1 1⎞ ⎛02 1 −1 ⎠ −→ ⎝ 10−1 1⎞02 1 −1 ⎠ ,R 3 →R 3 −2R 1 R02 1 −1 3 →R 3 −R 200 0 0da cui segue che dim W = ρ (M) =2. Inoltreivettoridicomponenti(1, 0, −1, 1) e (0, 2, 1, −1)rispetto a B, cioèv 1 e v 2 , sono una base di W .Una base di V che contenga la base (v 1 , v 2 ) di W si determina aggiungendo due vettori di Va (v 1 , v 2 ) in modo da ottenere un insieme di quattro vettori l.i. (i quali costituiranno una base