Appunti di Meccanica Statistica - INFN

2.4. L’ ”ENSEMBLE” CANONICO 35piu’ probabile coincide con la distribuzione media e inoltre il valore medio di unagrandezza fisica 〈A〉 ≡ ∑ i p iA i rappresenta fedelmente il valore misurato.La grandezza fisica che descrive l’effetto delle fluttuazioni sul valor medio èla varianza. Cominciamo a far vedere che la varianza dell’energia interna E ≡ 〈ǫ〉è direttamente legata a ∂E . Infatti la varianza di E è per definizione lo scarto∂βquadratico medio:d’altra parte〈(δE) 2 〉 = 〈(ǫ − E) 2 〉 = 〈ǫ 2 〉 − 2 E〈ǫ〉 + E 2 = 〈ǫ 2 〉 − 〈ǫ〉 2 .∂E∂β ≡ ∂ ∂β∑i ǫ ie −βǫ iZ∑i= −ǫ i 2 e −βǫ iZ− E Z 2 ∂Z∂β = −〈ǫ2 〉 + 〈ǫ〉 2 .E facile convincersi che la varianza dell’energia interna è una grandezza estensivaperchè è proporzionale al calore specifico 4 :( ) ∂EC V = = ∂E dβ∂T ∂β dT = − 1 ∂EκT 2 ∂β = 〈ǫ2 〉 − 〈ǫ〉 2.κT 2VC V è una quantità estensiva quindi è proporzionale a N e anche l’energia internaE è proporzionale a N, quindi il rapporto tra la dispersione dei valori dell’energiae il valor medio è dell’ordine di 1/ √ N:√〈δE2 〉E( ) 1= O √NCiò mostra che nei sitemi macroscopici (N ∼ 10 23 ) l’effetto della dispersionedei valori è molto piccolo (tranne come vedremo nei sitemi critici), quindi il valmedio rapresenta pienamente le proprietà macroscopiche del sistema.2.4.5 Teorema di NernstC V > 0 implica che l’energia interna di un corpo sia una funzione monotonacrescente della temperatura, per cui per la temperatura minima possibile, cioèT = 0, l’energia E assume il valore minimo possibile: i costituenti microscopicidel sistema sono tutti nel loro stato fondamentale; percio’ se p i è la probabilità di4 Questa relazione dimostra direttamente la disuguaglianza C V > 0 già dimostratanell’approccio con l’ensemble microcanonico..