Appunti di Meccanica Statistica - INFN

2.6. L’”ENSEMBLE” GRAN CANONICO 49oscillatori armonici. Il vincolo N = ∑ a n a rende il calcolo di Z N (β, V ) moltopiu’ complicato.Viceversa, il calcolo della grand partition function Q(z, β, V ) è molto semplice:∞∑∞∑Q(z, β, V ) = z N Z N (β, V ) =N=0N=0z N ∑ n a ′ e − P a naǫaβ = ∏ a∑(ze −ǫaβ ) na =a= ∏ a11 − ze −ǫaβ = ∏ a11 − e −β(ǫa−µ) ,da cui si ricava〈N〉 ≡ N = 1 β∂∂µ log Q = ∑ ae −β(ǫa−µ)1 − e −β(ǫa−µ) = ∑ a( ) ∂ log Q〈E〉 ≡ E = − = ∑ ∂βz a( )ze −βǫa ∂ log Q1 − ze = z −βǫa ∂zβǫ a ze −βǫa1 − ze −βǫa. Nel caso in cui le componenti microscopiche siano molecole monoatomiche dienergia cinetica p2, sostituendo la somma sugli stati ∑ 2m acon un integrale sugliimpulsi∑≃ V ∫d 3 p = V 4π ∫ ∞p 2 dph 3 h 3⇒ E = 4πVh 3∫ ∞oap 22m p2 dp ze−βp2 /2m1 − ze −βp2 /2m = 4πV 2m√ 2mh 3 β 5 2= 4πV (2m) 3 2κTh 3 β 3 2∞∑n=1∫ ∞ooy 4 dyz n e −y2 nPonendo poi nell’integrale x = y 2 n (e quindi dx = 2nydy) si ha∫ ∞oy 4 dyze −y21 − ze −y2 =E = 2πV (2m) 3 2κTh 3 β 3 2∞∑z nn=1n 5 2∫ ∞ox 3 2 e −x dx .Poichè∫ ∞ox 3 2 e −x dx = Γ(5/2) ,