4 CHAPTER 1. PROLOGO: LA TERMODINAMICA DEI PRINCIPIalmeno due sorgenti a due temperature <strong>di</strong>verse 1 t 1 e t 2 > t 1 , ed è facile concludereche una trasformazione ciclica (o ciclo) che scambia calore con queste duesorgenti non può che essere fatta da due isoterme collegate da due a<strong>di</strong>abatiche.E’ anche semplice descrivere il bilancio energetico <strong>di</strong> un qualunque sistema termo<strong>di</strong>namicoM che compie tale ciclo, detto macchina <strong>di</strong> Carnot (v. fig. 1a).t 2Q 2✓✏ ❄M ✲L✒✑Q 1❄t 1L ′t 2✻Q ′ 2 Q 2☛ ✟✓✏❄✲RM ✲L✡ ✠✒✑Q 1 ✻ Q 1❄t 1fig. 1 afig. 1 bLa macchina M assorbe una certa quantità <strong>di</strong> calore Q 2 dal termostato a temperaturapiù alta t 2 e ne cede una quantità Q 1 a quello a temperatura più bassa t 1 .La <strong>di</strong>fferenza viene trasformata in lavoro L = Q 2 − Q 1 . Il ren<strong>di</strong>mento η dellamacchina termica M è il rapporto tra il lavoro fornito e il calore assorbito daltermostato più caldo:η ≡ L Q 2= 1 − Q 1Q 2.Naturalmente Q 1 > 0, cioè il sistema M cede effettivamente calore al termostatoa temperatura più fredda, altrimenti, se Q 1 ≤ 0, mettendo a contatto per un certotempo i due termostati è imme<strong>di</strong>ato realizzare una trasformazione ciclica il cuiunico risultato sarebbe la trasformazione in lavoro della quantità <strong>di</strong> calore Q 2preso da un’ unica sorgente , in violazione del postulato <strong>di</strong> Kelvin, perciòη < 1 . (1.1.1)Questa è una nuova versione del II principio, che cronologicamente è stata laprima ed ha preceduto persino la formulazione del I principio. Infatti è del 18241 in questa sezione usiamo come scala delle temperature una qualunque scala empirica basatasu un termometro a liquido termomometrico non specificato
1.1. LA MACCHINA DI CARNOT 5la pubblicazione del rivoluzionario libretto <strong>di</strong> Sa<strong>di</strong> Carnot (1796-1832) dal titolo“Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développercette puissance” in cui si mostrava che dall’impossibilità <strong>di</strong> realizzare il moto perpetuoil ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> una macchina termica è necessariamente < 1. Carnot,come la maggior parte degli scienziati del suo tempo, era un flui<strong>di</strong>sta convinto 2, e otteneva questi risultati assimilando, con un’immagine molto efficace e intuitiva,il passaggio del calore dalla sorgente più calda a quella più fredda attraversouna macchina termica alla caduta dell’acqua da un livello pù alto a uno più bassoattraverso le pale <strong>di</strong> un mulino.Una conseguenza importante del II principio è il teorema <strong>di</strong> Carnot, che stabilsceche il ren<strong>di</strong>mento η Q <strong>di</strong> una macchina termica qualsiasi è sempre minoreo uguale a quello (η R ) <strong>di</strong> una macchina reversibile (cioè che compie solo trasformazionireversibili) che lavora tra le stesse temperature, e quest’ultimo <strong>di</strong>pendesolo dalle temperature delle sorgenti, cioèη Q ≤ η R = 1 − Q 1Q 2, (1.1.2)dove il segno <strong>di</strong> uguaglianza vale solo per le macchine reversibili. La <strong>di</strong>mostrazione<strong>di</strong> questo teorema è elementare e molto istruttiva: si accoppia alle stesse sorgentiuna macchina reversibile R che compie un ciclo in senso inverso (v. fig.1b): aspese <strong>di</strong> un certo lavoro esterno L ′ assorbe dal termostato alla temperatura piùbassa la stessa quantità <strong>di</strong> calore Q 1 ceduta dalla macchina M e cede una quantitàQ ′ 2 al termostato più caldo. Dopo un ciclo complessivo del sistema M + R,l’unico risultato della trasformazione è la trasformazione in lavoro L − L ′ <strong>di</strong> unacerta quantità <strong>di</strong> calore Q 2 − Q ′ 2 estratto da un’unica sorgente, dunque per nonviolare il postulato <strong>di</strong> Kelvin deve essere Q 2 − Q ′ 2 ≤ 0, ossiaQ 1Q 2− Q 1Q ′ 2= η R − η M ≥ 0 ,come vuole la prima parte dell’enunciato del teorema <strong>di</strong> Carnot. Se entrambe lemacchine sono reversibili si può invertire il ciclo e quin<strong>di</strong> anche il senso della <strong>di</strong>suguaglianzaprecedente, quin<strong>di</strong> η R = η M : il ren<strong>di</strong>mento delle macchine termiche2 In seguito egli si convertí alla teoria meccanica del calore come risulta dal seguente branotrovato tra i suoi manoscritti:” Il calore non è altra cosa che la forza motrice, o, piuttosto, ilmovimento che ha cambiato forma. Dovunque c’è <strong>di</strong>struzione <strong>di</strong> potenza motrice vi è, nel medesimotempo, produzione <strong>di</strong> calore, precisamente proporzionale alla quantità <strong>di</strong> potenza motrice<strong>di</strong>strutta”.