Appunti di Meccanica Statistica - INFN

2.4. L’ ”ENSEMBLE” CANONICO 39Quindi, dalla prima delle relazioni trovate si ha〈 ∑ j⃗p j · ˙⃗q j 〉 = 〈 ∑ j⃗p j · ∂H∂⃗p j〉 = 2〈H〉 = 3NκT⇒ E = 〈H〉 = 3N 2 κTQuindi ogni grado di libertà contribuisce all’energia interna con un’energia paria 1 κT . Un altro esempio molto importante, a cui si possono ricondurre molti2sistemi fisici è un sistema di oscillatori armonici disaccoppiati:H = ∑ ( p 2 j+ ω2 j m j2m j 2⇒ ∑ jq 2 j)( )∂H ∂Hp j + q j = 2H∂p j ∂q j⇒ E = 〈H〉 = 1 2 〈∑ jp j ˙q j − ∑ jq j ṗ j 〉 = NκT⇒ ogni oscillatore armonico (2 gradi di libertà corrispondenti all’energia cineticae potenziale) contribuisce all’energia interna con un’energia pari a κT . ⇒Teorema di equipartizione dell’energia: Ogni grado di libertà di un sistema microscopicoclassico in equilibrio termico contribuisce all’energia interna con untermine pari a 1κT . 2Il teorema di equipartizione dell’energia è in contraddizione col teorema diNernst, infatti in base al teorema di equipartizione E ∝ T ⇒ ( )∂E= C ∂T V V = costmentre a T = 0 C V = 0. In realtà il teorema di equipartizione dell’energia èviolato da tutti i sistemi reali a bassa temperatura: è infatti una delle ragioni chehanno condotto a formulare la meccanica quantistica. Il teorema di equipartizioneè asintoticamente verificato ad alta temperatura, quando la differenza tra i livellienergetici successivi è piccola rispetto a κT .2.4.7 Oscillatore armonicoLo spettro dell’oscillatore armonico è dato daǫ n = ω(n + 1 2 ) = hν(n + 1 2 ) , n = 0, 1, 2 . . . ω 2π = ν