Programma dettagliato - Corso di Studi in Matematica

enunciato). Costruzione ella soluzione tramite la formula di d'Alambert. Legame tra i duemetodi.Equazione delle onde in dimensione 3. Costruzione della soluzione con il metodo dellearmoniche sferiche, equazione di Eulero-Poisson-Darboux (senza dimostrazione) e formula diKirchhoff. Domini di dipendenza e di influenza.TEOREMI CON DIMOSTRAZIONE RICHIESTA PER L'ESAMEEquazioni di Laplace e Poisson1) Deduzione dell'equazione delle superfici minimali2) Relazione tra funzioni armoniche in due variabili e funzioni olomorfe3) Proprietà delle funzioni definite come medie superficiale e volumetrica4) Caratterizzazione delle funzioni armoniche mediante la proprietà della media5) Principio del massimo - versione integrale6) Principio del massimo - versione differenziale7) Regolarità delle funzioni armoniche8) Teorema di Liouville9) Costruzione della soluzione fondamentale del laplaciano10) Identità di Stokes11) Soluzione dell'equazione di Poisson con dato C2 a supporto compatto12) Esistenza e unicità della soluzione del problema ai limiti su tutto Rn con n≥3 per l'equazionedi Poisson13) Unicità della soluzione del problema di Dirichlet per l'equazione di Poisson14) Estensione armonica sul disco bidimensionale in forma di serie di Fourier15) Formula di rappresentazione integrale per l'eventuale soluzione del problema dell'estensionearmonica su un dominio che ammetta funzione di Green16) Formula di Poisson per l'estensione armonica sulla palla unitaria n-dimensionale17) Principio di DirichletEquazione del calore18) Comportamento della soluzione fondamentale dell'equazione del calore per t che tende a 019) Soluzione del problema di Cauchy omogeneo su tutto lo spazio20) Calcolo della soluzione del problema di Cauchy omogeneo per alcuni dati iniziali particolari(Heaviside, esponenziale)21) Principio del massimo22) Unicità di soluzioni limitate per il problema di Cauchy omogeneo su tutto lo spazio23) Unicità della soluzione per il problema di Cauchy-Dirichlet su dominio limitato (metododell'energia)24) Unicità "retrograda"25) Soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet su un intervallo (rappresentazione in serie diFourier)Equazioni del prim'ordine26) Formula risolutiva per il problema di Cauchy nel caso di equazioni lineari27) Caratterizzazione geometrica delle superfici caratteristiche