Luciano Colombo: ELEMENTI DI MECCANICA DEI SOLIDI

CAPITOLO 3. MEZZO CONTINUO LINEARE ELASTICO 15Per formalizzare questa convenienza dobbiamo innanzitutto ricordare che noi abbiamo sempre indicatole direzioni cartesiane (x, y, z) con gli indici (1, 2, 3). Le sei componenti indipendenti del tensore delledeformazioni possono, dunque, essere arrangiate in un unico vettore colonna come segue˜ɛ =⎡⎢⎣ɛ xxɛ yyɛ zzɛ xyɛ yzɛ xz⎤⎥⎦} {{ }indici cartesiani=⎡⎢⎣ɛ 11ɛ 22ɛ 33ɛ 12ɛ 23ɛ 13⎤⎥⎦} {{ }indici numericiA questo punto, procediamo con l’identificazione di ciascuna coppia di indici cartesiani con un indicenumerico, secondo lo schema seguente(3.5)xx → 1 yy → 2 zz → 3 xy → 4 yz → 5 xz → 6 (3.6)In questo modo, il vettore colonna ˜ɛ viene indicato come⎡ ⎤⎡ɛ xxɛ yy˜ɛ =ɛ zz⎢ ɛ xy=⎥⎢⎣ ɛ yz⎦⎣ɛ xz} {{ }notazione esplicitaɛ 1ɛ 2ɛ 3ɛ 4ɛ 5ɛ 6⎤⎥⎦} {{ }notazione compatta di VoigtIn maniera del tutto analoga si può procedere per il tensore degli sforzi⎡ ⎤⎡ ⎤T xxT 1T yyT 2˜T =T zz⎢ T xy=T 3⎥⎢ T 4⎥⎣ T yz⎦⎣ T 5⎦T xz} {{ }notazione esplicitaT 6} {{ }notazione compatta di Voigt(3.7)(3.8)D’ora in poi ˜ɛ e ˜T rappresenteranno i vettori associati ai tensori ˆɛ e ˆT , mediante la convenzione di Voigt.In tale ipotesi il tensore elastico C ijkh a quattro indici si trasforma in una matrice quadrata, avente seirighe e sei colonne, che indicheremo con ˜C. Ovviamente vale˜T = ˜C˜ɛ (3.9)che espressamente diventa⎡T 1⎤ ⎡T 2T 3⎢ T 4=⎥ ⎢⎣ T 5⎦ ⎣T 6⎤C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 C 16C 12 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26C 13 C 23 C 33 C 34 C 35 C 36C 14 C 24 C 34 C 44 C 45 C 46⎥C 15 C 25 C 35 C 45 C 55 C 56⎦C 16 C 26 C 36 C 46 C 56 C 66⎡⎢⎣ɛ 1ɛ 2ɛ 3ɛ 4ɛ 5ɛ 6⎤⎥⎦(3.10)che dimostra come le componenti indipendenti del tensore elastico sono 21. Introduciamo anche lerelazioni inverse mediante la formulaˆɛ = ˆD ˆT (3.11)con ˆD = Ĉ−1 ; analogalmente˜ɛ = ˜D ˜T (3.12)con ˜D = ˜C −1 . Le nuove quantità ˆD e ˜D sono dette tensori di cedevolezza (o flessibilità).