Luciano Colombo: ELEMENTI DI MECCANICA DEI SOLIDI

CAPITOLO 2. DEFORMAZIONI E SFORZI NEI MEZZI CONTINUI 8La matrice jacobiana Ĵ = {J ij,⃗X è definita dai, j = 1, 2, 3} dello spostamento dal sistema dei vettori ⃗x a quello degliJ ij = ∂u i∂x j(2.4)La matrice jacobiana Ĵ può essere scritta come somma di una parte simmetrica ed una parte antisimmetricacome segueJ ij = 1 ( ∂ui+ ∂u )j+ 1 ( ∂ui− ∂u )j2 ∂x j ∂x i 2 ∂x j ∂x i} {{ } } {{ }parte simmetrica parte antisimmetrica= ɛ ij + Ω ij (2.5)con le condizioni evidenti{ɛij = ɛ jiΩ ij = −Ω ji(2.6)La quantità ˆɛ = {ɛ ij } si chiama tensore delle (piccole) deformazioni, mentre la quantità ˆΩ = {Ω ij }rappresenta il tensore delle rotazioni locali. È possibile dimostrare che, per una piccola rotazione locale,si ha Ĵ = ˆΩ e quindi ˆɛ = 0. Quindi la forma simmetrizzata del tensore delle deformazioni è un oggettoche non tiene in considerazione le rotazioni locali.Il tensore delle (piccole) deformazioni contiene tutte le informazioni che riguardano localmente latrasformazione geometrica di un corpo e, quindi, deve poter prevedere come variano le lunghezze e gliangoli in ciascuna regione dello stesso. In particolare, si dimostra che:ˆ per le variazioni di lunghezza valeɛ ⃗n = ⃗n · (ˆɛ ⃗n) (2.7)dove abbiamo indicato con ɛ ⃗n la variazione relativa di lunghezza tra due punti interni A e B delcorpo considerato e con ⃗n il versore della distanza A − Bˆ per le variazioni angolari vale∆α ⃗n1,⃗n 2= 2⃗n 1 · (ˆɛ ⃗n 2 ) (2.8)dove abbiamo indicato con ⃗n 1 il versore della distanza tra due punti A e B e con ⃗n 2 il versore delladistanza tra due punti A e C; l’angolo tra le direzioni individuate dai suddetti versori è α ⃗n1,⃗n 2.Riassumendo, possiamo dire che lo spostamento ⃗u(⃗x) è il campo che descrive in modo completo ladeformazione di un corpo. Invece, il tensore ˆɛ è introdotto allo scopo di legare la fisica delle forze dideformazione alla geometria locale delle deformazioni. È, infatti, facile convincersi che localmente unarotazione non può produrre deformazioni legate all’azione di forze che si trasmettono in quell’intorno delmezzo materiale. Pertanto, in teoria della elasticità la relazione che lega le azioni di forze meccaniche alladeformazione è basata unicamente sul tensore in forma simmetrizzataɛ ij = 1 ( ∂ui+ ∂u )j(2.9)2 ∂x j ∂x iQuesta definizione è anche nota come condizione di congruenza.2.1.1 Esempi di calcolo delle deformazioniPresentiamo brevemente, a titolo esemplificativo, il calcolo esplicito del tensore delle piccole deformazioniin due casi particolarmente semplici, ma importanti nelle applicazioni.Trazione (o compressione) sempliceSi consideri un solido di forma, dimensioni ed orientamento indicati in Fig. 2.2. Supponiamo che esso siasoggetto ad una trazione lungo x 1 . Trascureremo, per semplicità, tutte le deformazioni nelle direzioni x 2e x 3 .