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storia. Cercherò di spiegare di che si tratta.
Pierre de Fermat era un matematico francese del Seicento, uno dei più
grandi in assoluto di tutta la storia della matematica. Questa, come spesso
allora accadeva, era solo il suo hobby; di mestiere faceva il magistrato.
Un hobby giudicato ad altissimo livello anche dai suoi contemporanei.
Corrispondeva infatti con personaggi della sua stessa statura culturale:
Pascal, Descartes, Mersenne. Come matematico però li batteva.
I trattati cui allora si faceva riferimento erano per lo più quelli classici
dei matematici greci ed alessandrini, e Diofanto era uno di questi ultimi.
(D’altronde, ancora nell’Ottocento, nelle scuole italiane erano adottati
gli Elementi di Euclide come manuale scolastico.) Fonte di riflessione
per Fermat era, ad un certo punto, l’Aritmetica, un trattato di Diofanto
di cui ci sono pervenuti sei dei tredici libri originali. Si trattava di una
raccolta di problemi. Uno di questi richiedeva di trovare tutte le terne
pitagoriche. Si tratta di questo. Sicuramente ricorderete il teorema di
Pitagora: se x ed y sono le misure dei cateti di un triangolo rettangolo
e z è quella dell’ipotenusa allora si ha la relazione x 2 + y 2 = z 2 ; ovvero,
se la si preferisce in termini geometrici: la somma dei quadrati costruiti
sui cateti è equivalente al (cioè ha la stessa area del) quadrato costruito
sull’ipotenusa. Di conseguenza, prese a caso le misure x e y dei cateti,
l’ipotenusa misurerà √ x 2 + y 2 ; ad esempio, per x = y =1, si ottiene
z = √ 1 2 +1 2 = √ 2=1, 4142 ... In questo caso le misure dei cateti sono
numeri interi ma quella dell’ipotenusa non lo è; quando invece tutte e
tre le misure x, y e z sono numeri interi si dice che la terna x, y, z è una
terna pitagorica. Ad esempio x =3, y =4e z =5, oppure x =5,
y =12e z =13, giacché 3 2 +4 2 =5 2 e 5 2 +12 2 =13 2 . Si può esprimere
questo fatto anche dicendo che le terne (x =3,y =4,z =5)e (x =
5,y =12,z = 13) sono soluzioni dell’equazione diofantea x 2 + y 2 = z 2 ;
l’aggettivo ‘diofantea’ sta proprio ad indicare che si cercano soluzioni
intere.
Si può dimostrare che esistono infinite terne pitagoriche e si sa anche
come fare a trovarle tutte. Il problema di Diofanto cui facciamo riferimento
verteva proprio sulla ricerca delle terne pitagoriche. Perché ci
interessano in particolare le terne pitagoriche tra tutte le altre possibili
soluzioni? Mah, per niente; o se si vuole solo per motivi estetici: in questo
caso i numeri interi ci piacciono più di quelli decimali. Se vi va, tuttavia,
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