MATEMATINĖ FIZIKA Paskaitų medžiaga - techmat.vgtu.lt - Vilniaus ...

1.3. KINTAMŲJŲ KEITIMAS 7
Užrašome diferencialinių lygčių sistemą
dx
a(u,x,y) =
dy
b(u,x,y) =
1.5 pavyzdys. Išspręskime diferencialinę lygį
du
, U = C − const. (1.5)
c(u,x,y)
xu x + yu y + u = 0.
Sprendimas. Užrašome charakteristikų lygtis
Sprendžiame lygčių sistemą:
dx
x = dy
y = du
−u .
ln x = ln y + ln C 1 , ln x = − ln u + ln C 2 .
)
ϕ(
x
y
Taigi u = C 2
x , x y = C 1 , C 2 = ϕ(C 1 ), u(x,y) = .
x
Patikrinkime, kad u yra diferencialinės lygties sprendinys:
1.3 Kintamųjų keitimas
u x = − ϕ x 2 + ϕ′
xy , u y = − ϕ′
y 2,
x
(− ϕ ) )
x 2 + ϕ′
+
(− ϕ′
xy y 2 + ϕ x = 0.
Tarkime, kad nepriklausomi kintamieji x, y keičiami taip:
x = ϕ(ξ,ν), y = ψ(ξ,ν). (1.6)
Raskime funkcijos v(ξ,ν) = u(x,y) dalines išvestines:
∂v
∂ξ = ∂u ∂ϕ
∂ϕ ∂ξ + ∂u ∂ψ
∂ψ ∂ξ ,
∂v
∂ν = ∂u ∂ϕ
∂ϕ ∂ν + ∂u ∂ψ
∂ψ ∂ν .
Pareikalaukime, kad Jakobianas
∣ J =
ϕ ξ
ψ ξ ∣∣∣
∣ ≠ 0. (1.7)
ϕ ν ψ ν
Tada funkciją u(x,y) išreiškiama funkcija v(ξ,ν):
( ) ( ) −1 ( )
ux ϕξ ψ
= ξ vξ
u y ϕ ν ψ ν u ν