MATEMATINĖ FIZIKA Paskaitų medžiaga - techmat.vgtu.lt - Vilniaus ...

1.3. KINTAMŲJŲ KEITIMAS 9
Perrašome dalines išvestines
∂u
∂x = ∂u ∂u
cos ϕ −
∂r ∂ϕ
∂u
∂y = ∂u ∂u
sin ϕ +
∂r ∂ϕ
sin ϕ
,
r
cos ϕ
.
r
Užrašykime antrąsias išvestines:
∂ 2 u
∂x 2 = ∂ ( )
∂u
∂x ∂r
∂r ∂x + ∂ ( )
∂u
∂x ∂ϕ
∂ϕ ∂x =
∂ 2 u
∂r 2 cos2 ϕ − 2 ∂2 u sinϕcos ϕ
+ 2 ∂u sinϕcos ϕ
∂r∂ϕ r ∂ϕ r 2 + ∂u sin 2 ϕ
+ ∂2 u sin 2 ϕ
∂r r ∂ϕ 2 r 2 ,
∂ 2 u
∂y 2 = ∂2 u
∂r 2 sin2 ϕ+2 ∂2 u
∂r∂ϕ
sin ϕcos ϕ
−2 ∂u
r ∂ϕ
sin ϕcos ϕ
r 2
+ ∂u
∂r
Taigi Laplaso operatorius polinėse koordinatėse užrašomas taip:
∆u = ∂2 u
∂r 2 + 1 ∂u
r ∂r + 1 ∂ 2 u
r 2 ∂ϕ 2.
Pastebėkime, kad reiškinį galima perrašyti tokiu pavidalu:
(
1 ∂
r ∂u )
+ 1 ∂ 2 u
r ∂r ∂r r 2 ∂ϕ 2 .
cos 2 ϕ
+ ∂2 u cos 2 ϕ
r ∂ϕ 2 r 2 .
1.3 pratimas. Įrodykite, kad Laplaso operatorius sferinėse koordinatėse
x = r sinθ cos ϕ, y = r sin θ sinϕ, z = r cos θ, r = √ x 2 + y 2 + z 2
užrašomas taip:
∆u = ∂2 u
∂r 2 + 2 ∂u
r ∂r + cos θ ∂u
r 2 sinθ ∂θ + 1 ∂ 2 u
r 2 ∂θ 2 + 1 ∂ 2 u
r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2.