MATEMATINĖ FIZIKA Paskaitų medžiaga - techmat.vgtu.lt - Vilniaus ...

1.2. PIRMOSIOS EILĖS DIFERENCIALINĖS LYGTYS DALINĖMIS IŠVESTINĖMIS5
Raskime kitus homogeninės lygties sprendinius. Užrašykime paprastąją
diferencialinę lygtį (charakteristikų lygtį):
dx
a(u,x,y) =
dy
, u = const. (1.4)
b(u,x,y)
Tarkime, kad Ψ(x,y) = C−const yra šios paprastosios diferencialinės lygties
integralas. Tada funkcija u = Ψ(x,y) yra tiesinės homogeninės diferencialinės
lygties dalinėmis išvestinėmis sprendinys.
1.3 pavyzdys. Raskime lygties
yu x − xu y = 0
bendrąjį sprendinį.
Sprendimas. Užrašome paprastąją diferencialinę (charaktestikų) lygtį
dx
y = −dy x .
Jos bendrasis integralas x 2 + y 2 = const. Taigi turime u(x,y) =
ψ(x 2 + y 2 ). Čia ψ(z) – bet kuri diferencijuojamoji funkcija.
1.1 pratimas. Įrodykite, kad funcijos u = sin(x 2 +y 2 ), u = ln √ x 2 + y 2 ,
u = e −(x2 +y 2 ) 3 yra 1.3 pavyzdžio lygties sprendiniai.
Tarkime, kad turime n nepriklausomų kintamųjų.
lygtis užrašoma taip
n∑
j=1
a j (x 1 ,x 2 ,... ,x n ) ∂u
∂x j
= 0.
Tada homogeninė
Atitinkama simetrinio pavidalo paprastųjų diferencialinių lygčių sistema yra
dx 1
a 1
= dx 2
a 2
= · · · = dx n
a n
.
Tarkime, kad ϕ 1 (x 1 ,x 2 ,...,x n ), ϕ 2 (x 1 ,x 2 ,... ,x n ), ..., ϕ n−1 (x 1 ,x 2 ,...,x n )
yra nepriklausomi sistemos integralai. Tada funkcija
u = Φ (ϕ 1 ,ϕ 2 , · · · ,ϕ n )
yra diferencialinės lygties sprendinys. Φ – bet kuri tolydžiai diferencijuojama
funkcija.