MATEMATINĖ FIZIKA Paskaitų medžiaga - techmat.vgtu.lt - Vilniaus ...

MATEMATINĖ FIZIKA
Paskaitų medžiaga
Aleksandras Krylovas
Vilniaus Gedimino technikos universitetas
negalutinis variantas
2009 m. spalio 18 d.

Turinys
1 Lygtys dalinėmis išvestinėmis 3
1.1 Įvadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Pirmosios eilės diferencialinės lygtys dalinėmis išvestinėmis . 4
1.2.1 Nehomogeninė pirmosios eilės lygtis . . . . . . . . . . 6
1.3 Kintamųjų keitimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Laplaso operatorius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Koši ir Kovalevskajos teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Antrosios eilės lygčių klasifikacija 11
2.1 Antrosios eilės diferencialinė lygtis . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Antrosios eilės tiesinių diferencialinių lygčių klasifikacija . . . 12
2.2.1 Pagrindinės lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Lygties su dviem nepriklausomais kintamaisiais pertvarkymas
į kanoninį pavidalą . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1 Hiperbolinis atvejis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2 Parabolinis atvejis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.3 Elipsinis atvejis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Stygos svyravimo lygtis 17
3.1 Stygos svyravimų lygties išvedimas . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.1 Modeliavimo prielaidos . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.2 Kraštinės ir pradinės sąlygos . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Dalambero metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Dalambero formulės tyrimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4 Nehomogeninės lygties sprendimas . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.5 Kiti hiperbolinio tipo matematiniai modeliai . . . . . . . . . . 23
3.5.1 Ilgosios linijos lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5.2 Membranos svyravimų lygtis . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5.3 Dujų ir skysčio dinamikos lygtys . . . . . . . . . . . . 27
iii

iv
TURINYS
4 Šilumos laidumo ir difuzijos lygtys 29
4.1 Difuzijos matematinis modelis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Šilumos laidumas strype . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.1 Modeliavimo prielaidos . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.2 Diferencialinė lygtis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2.3 Šilumos laidumas erdvėje . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3 Koši uždavinio sprendimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3.1 Kintamųjų atskyrimo metodas . . . . . . . . . . . . . 32
4.3.2 Furjė metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3.3 Fundamentinio sprendinio fizikinė prasmė . . . . . . . 34
4.3.4 Kraštinės sąlygos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3.5 Kraštinio uždavinio sprendimas Furjė metodu . . . . . 36
4.4 Maksimumo principas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.5 Uždavinys apie žemės temperatūrą . . . . . . . . . . . . . . . 38
5 Elipsinės lygtys 41
5.1 Procesai, aprašomi elipsinėmis lygtimi . . . . . . . . . . . . . 41
5.1.1 Bendrosios sąvokos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1.2 Normalioji išvestinė . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.1.3 Adamaro pavyzdys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2 Harmoninės funkcijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2.1 Maksimumo principas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.3 Puasono formulė . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.4 Grino funkcijų metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.4.1 Grino formulė Dirichlė uždaviniui . . . . . . . . . . . . 46

TURINYS 1
PAGRINDINĖS TEMOS
1. Antrosios eilės tiesinių lygčių dalinėmis išvestinėmis klasifikacija
2. Hiperbolinio tipo lygtys. Koši uždavinys
3. Hiperbolinio tipo lygtys. Mišrusis uždavinys
4. Parabolinio tipo lygtys
5. Elipsinio tipo lygtys
6. Apibendrintosios funkcijos
LITERATŪRA
1. Paulauskas V. Matematinės fizikos lygtys. Vilnius: Mintis, 1974.
456 p.
2. Ambrazevičius A. Matematinės fizikos lygtys. D. 1. Vilnius: Aldorija,
1996. 380 p.
3. Ambrazevičius A., Domarkas A. Matematinės fizikos lygtys. D. 2.
Vilnius: Aldorija, 1999. 380 p.
4. Kamuntavičius G. Matematinė fizika. Kaunas: VDU, 2008.
5. Karpickaitė V. Matematinės fizikos lygčių uždavinynas. Kaunas: KPI-
1980.
6. Žiaukienė S. Matematinės fizikos lygtys. Vilnius: 1987.
7. Dosinas G., Tvarijonas P. Matematinės fizikos lygtys. Užduotys ir
metodiniai nurodymai. Kaunas: Technologija, 1991.
8. Būda V., Rutkauskas S. Pagrindiniai matematinės fizikos uždaviniai
ir sprendimo metodai. Vilnius: Technika, 1992.

2 TURINYS

skyrius 1
Lygtys dalinėmis išvestinėmis
1.1 Įvadas
Tarkime, kad u(x,y) yra diferencijuojama funkcija. Jos pirmosios eilės dalines
išvestines žymėsime:
Antrosios eilės išvestinės:
∂u
∂x = u′ x = u x , ∂u
∂y = u′ y = u y .
∂ 2 u
∂x 2 = u′′ xx = u xx ,
∂ 2 u
∂y 2 = u′′ yy = u yy ,
∂ 2 u
∂x∂y = u′′ xy = u xy , ∂ 2 u
∂y∂x = u′′ yx = u yx .
Prisiminkime 1 , kad mišriosios išvestinės yra lygios:
∂ 2 u
∂x∂y = ∂2 u
∂y∂x .
Nagrinėsime lygčių dalinėmis išvestinėmis pavyzdžius.
1.1 pavyzdys. Raskime diferencialinės lygties
∂u(x,y)
∂x
= u(x,y)
1 Suformuluokite šį teiginį griežtai.
3

4 SKYRIUS 1. LYGTYS DALINĖMIS IŠVESTINĖMIS
bendrąjį sperendinį.
Sprendimas. Sprendžiame lygtį kaip paprastąją diferencialinę lygtį su
parametru y:
∫ ∫
du du
u = dx ⇒ u = dx ⇒ ln u = x + ln C(y).
Taigi u(x,y) = C(y)e x .
1.2 pavyzdys. Įrodykime, kad funkcija u(x,y) = sin(x − y) yra diferencialinės
lygties
∂u
∂x + ∂u
∂y = 0
sprendinys.
Įrodymas. Funkcijos u dalinės išvestinės yra:
u x = cos(x − y), u y = − cos(x − y).
Įrašę šiuos reiškinius į lygtį, gauname tapatybę (tapačiai teisingą lygybę,
esant visiems x, y). Pastebėkime, kad šios lygties bendrasis
sprendinys yra u(x,y) = ϕ(x − y), kai ϕ(z) – bet kuri diferencijuojamoji
funkcija.
1.2 Pirmosios eilės diferencialinės lygtys dalinėmis
išvestinėmis
Pirmosios eilės diferencialinė lygtis dalinėmis išvestinėmis su dviem nepriklausomais
kintamaisiais x ir y bendruoju atveju užrašoma taip
( ∂u
F
∂x , ∂u )
∂y ,u,x,y = 0. (1.1)
Lygtis
a(u,x,y) ∂u
∂x + b(u,x,y)∂u = c(u,x,y) (1.2)
∂y
vadinama tiesine išvestinių atžvilgiu (dar vadinama kvazitiesine). Kai c ≡ 0
lygtis vadinama homogenine:
a(u,x,y) ∂u
∂x + b(u,x,y)∂u = 0. (1.3)
∂y
Akivaizdu, kad funkcija u ≡ const yra šios lygties sprendinys.

1.2. PIRMOSIOS EILĖS DIFERENCIALINĖS LYGTYS DALINĖMIS IŠVESTINĖMIS5
Raskime kitus homogeninės lygties sprendinius. Užrašykime paprastąją
diferencialinę lygtį (charakteristikų lygtį):
dx
a(u,x,y) =
dy
, u = const. (1.4)
b(u,x,y)
Tarkime, kad Ψ(x,y) = C−const yra šios paprastosios diferencialinės lygties
integralas. Tada funkcija u = Ψ(x,y) yra tiesinės homogeninės diferencialinės
lygties dalinėmis išvestinėmis sprendinys.
1.3 pavyzdys. Raskime lygties
yu x − xu y = 0
bendrąjį sprendinį.
Sprendimas. Užrašome paprastąją diferencialinę (charaktestikų) lygtį
dx
y = −dy x .
Jos bendrasis integralas x 2 + y 2 = const. Taigi turime u(x,y) =
ψ(x 2 + y 2 ). Čia ψ(z) – bet kuri diferencijuojamoji funkcija.
1.1 pratimas. Įrodykite, kad funcijos u = sin(x 2 +y 2 ), u = ln √ x 2 + y 2 ,
u = e −(x2 +y 2 ) 3 yra 1.3 pavyzdžio lygties sprendiniai.
Tarkime, kad turime n nepriklausomų kintamųjų.
lygtis užrašoma taip
n∑
j=1
a j (x 1 ,x 2 ,... ,x n ) ∂u
∂x j
= 0.
Tada homogeninė
Atitinkama simetrinio pavidalo paprastųjų diferencialinių lygčių sistema yra
dx 1
a 1
= dx 2
a 2
= · · · = dx n
a n
.
Tarkime, kad ϕ 1 (x 1 ,x 2 ,...,x n ), ϕ 2 (x 1 ,x 2 ,... ,x n ), ..., ϕ n−1 (x 1 ,x 2 ,...,x n )
yra nepriklausomi sistemos integralai. Tada funkcija
u = Φ (ϕ 1 ,ϕ 2 , · · · ,ϕ n )
yra diferencialinės lygties sprendinys. Φ – bet kuri tolydžiai diferencijuojama
funkcija.

6 SKYRIUS 1. LYGTYS DALINĖMIS IŠVESTINĖMIS
1.4 pavyzdys. Išspręsime tiesinę pirmos eilės lygtį dalinėmis išvestinėmis
2xy ∂u
∂x + x∂u ∂y + z2 y ∂u
∂z = 0.
Užrašome atitinkamą simetrinio pavidalo paprastųjų diferencialinių
lygčių sistemą:
dx
2xy = dy x = dz
z 2 y .
Gauname integralus
dx
2xy = dy x ⇒ dx = 2ydy ⇒ x = y2 + C 1 ,
dx
2xy = dz
z 2 y ⇒ ln x = −2 z + C 2.
Taigi bendrąjį lygties sprendinį galima išreikšti taip
(
u = Φ x − y 2 ,ln x + 2 )
.
z
1.2 pratimas. Patikrinkite, kad funkcija u(α,β), α = x − y 2 , β =
ln x + 2 z
yra 1.4 pavyzdžio sprendinys.
1.2.1 Nehomogeninė pirmosios eilės lygtis
Nagrinėsime (1.2) nehomogeninę lygtį. Tarkime, kad sprendinys u(x,y) užrašomas
neišreikštine funkcija
Tada
Taigi įrašę
U(x,y,u) = C − const,
į (1.2) lygtį, gauname 00000000000
∂U
∂x + ∂U ∂u
∂u ∂x = 0,
∂U
∂y + ∂U ∂u
∂u ∂y = 0.
u x = − U x
U u
, u y = − U y
U u
∂U
∂u ≠ 0.
a(u,x,y) ∂U
∂x + b(u,x,y)∂U ∂y + c(u,x,y)∂U ∂u = 0.

1.3. KINTAMŲJŲ KEITIMAS 7
Užrašome diferencialinių lygčių sistemą
dx
a(u,x,y) =
dy
b(u,x,y) =
1.5 pavyzdys. Išspręskime diferencialinę lygį
du
, U = C − const. (1.5)
c(u,x,y)
xu x + yu y + u = 0.
Sprendimas. Užrašome charakteristikų lygtis
Sprendžiame lygčių sistemą:
dx
x = dy
y = du
−u .
ln x = ln y + ln C 1 , ln x = − ln u + ln C 2 .
)
ϕ(
x
y
Taigi u = C 2
x , x y = C 1 , C 2 = ϕ(C 1 ), u(x,y) = .
x
Patikrinkime, kad u yra diferencialinės lygties sprendinys:
1.3 Kintamųjų keitimas
u x = − ϕ x 2 + ϕ′
xy , u y = − ϕ′
y 2,
x
(− ϕ ) )
x 2 + ϕ′
+
(− ϕ′
xy y 2 + ϕ x = 0.
Tarkime, kad nepriklausomi kintamieji x, y keičiami taip:
x = ϕ(ξ,ν), y = ψ(ξ,ν). (1.6)
Raskime funkcijos v(ξ,ν) = u(x,y) dalines išvestines:
∂v
∂ξ = ∂u ∂ϕ
∂ϕ ∂ξ + ∂u ∂ψ
∂ψ ∂ξ ,
∂v
∂ν = ∂u ∂ϕ
∂ϕ ∂ν + ∂u ∂ψ
∂ψ ∂ν .
Pareikalaukime, kad Jakobianas
∣ J =
ϕ ξ
ψ ξ ∣∣∣
∣ ≠ 0. (1.7)
ϕ ν ψ ν
Tada funkciją u(x,y) išreiškiama funkcija v(ξ,ν):
( ) ( ) −1 ( )
ux ϕξ ψ
= ξ vξ
u y ϕ ν ψ ν u ν

8 SKYRIUS 1. LYGTYS DALINĖMIS IŠVESTINĖMIS
1.3.1 Laplaso operatorius
1.1 apibrėžimas. Reiškinys
žymimas ∆u, t. y.:
arba trimačiu atveju
∂ 2 u
∂x 2 + ∂2 u
∂x 2
∆ ≡ ∂2
∂x 2 + ∂2
∂y 2
∆ ≡ ∂2
∂x 2 + ∂2
∂y 2 + ∂2
∂z 2
ir vadinamas Laplaso operatoriumi.
Užrašykime Laplaso operatorių polinėse koordinatėse:
Tada
x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r = √ x 2 + y 2 , tgϕ = y x .
Apskaičiuokime dalines išvestines:
∂r
∂x =
∂r
∂y =
Diferencijuojame lygybę tgϕ = y x
∂u
∂x = ∂u ∂r
∂r ∂x + ∂u ∂ϕ
∂ϕ ∂x ,
∂u
∂y = ∂u ∂r
∂r ∂y + ∂u ∂ϕ
∂ϕ ∂y .
2x
2 √ x 2 + y 2 = x r
2x
2 √ x 2 + y 2 = y r
pagal x ir y:
1 ∂ϕ
cos 2 ϕ ∂x = − y x 2,
= cos ϕ,
= sin ϕ.
Taigi
1 ∂ϕ
cos 2 ϕ ∂y = 1 x .
∂ϕ
∂x = −sinϕ ,
r
∂ϕ
∂y = cos ϕ .
r

1.3. KINTAMŲJŲ KEITIMAS 9
Perrašome dalines išvestines
∂u
∂x = ∂u ∂u
cos ϕ −
∂r ∂ϕ
∂u
∂y = ∂u ∂u
sin ϕ +
∂r ∂ϕ
sin ϕ
,
r
cos ϕ
.
r
Užrašykime antrąsias išvestines:
∂ 2 u
∂x 2 = ∂ ( )
∂u
∂x ∂r
∂r ∂x + ∂ ( )
∂u
∂x ∂ϕ
∂ϕ ∂x =
∂ 2 u
∂r 2 cos2 ϕ − 2 ∂2 u sinϕcos ϕ
+ 2 ∂u sinϕcos ϕ
∂r∂ϕ r ∂ϕ r 2 + ∂u sin 2 ϕ
+ ∂2 u sin 2 ϕ
∂r r ∂ϕ 2 r 2 ,
∂ 2 u
∂y 2 = ∂2 u
∂r 2 sin2 ϕ+2 ∂2 u
∂r∂ϕ
sin ϕcos ϕ
−2 ∂u
r ∂ϕ
sin ϕcos ϕ
r 2
+ ∂u
∂r
Taigi Laplaso operatorius polinėse koordinatėse užrašomas taip:
∆u = ∂2 u
∂r 2 + 1 ∂u
r ∂r + 1 ∂ 2 u
r 2 ∂ϕ 2.
Pastebėkime, kad reiškinį galima perrašyti tokiu pavidalu:
(
1 ∂
r ∂u )
+ 1 ∂ 2 u
r ∂r ∂r r 2 ∂ϕ 2 .
cos 2 ϕ
+ ∂2 u cos 2 ϕ
r ∂ϕ 2 r 2 .
1.3 pratimas. Įrodykite, kad Laplaso operatorius sferinėse koordinatėse
x = r sinθ cos ϕ, y = r sin θ sinϕ, z = r cos θ, r = √ x 2 + y 2 + z 2
užrašomas taip:
∆u = ∂2 u
∂r 2 + 2 ∂u
r ∂r + cos θ ∂u
r 2 sinθ ∂θ + 1 ∂ 2 u
r 2 ∂θ 2 + 1 ∂ 2 u
r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2.

10 SKYRIUS 1. LYGTYS DALINĖMIS IŠVESTINĖMIS
1.4 Koši ir Kovalevskajos teorema
Normalioji pavidalo sistema užrašoma taip:
∂ n j
u j
∂t n j
= F j
(t,x 1 ,...,x n ,u 1 ,... ,u N ,...,
∂ k u i
∂t k 0 ∂x
k 1
1
... xkn n
, · · ·
)
,
Koši uždavinys:
k 0 + k 1 + · · · + k n = k n j , k 0 < n j , i,j = 1,2,... ,N.
∂ k u j
∂t k ∣
∣∣∣t=t0
= ϕ (k)
j
(x 1 ,x 2 ,... ,x n ) , k = 0,1,... ,n j − 1.
1.1 teorema. Tarkime, kad funkcijos F j yra analizinės tam tikroje taško
(
t0 ,x 0 1 ,... ,x0 n,ϕ 1 ,... ,ϕ n ,... ) aplinkoje, funkcijos ϕ (k)
j
analizinės taško
(
t0 ,x 0 1 ,... ) ( ,x0 n aplinkoje. Tada egzistuoja tokia taško t0 ,x 0 1 ,... ) ,x0 n aplinka,
kurioje Koši uždavinys turi vienintelį analizinį sprendinį.

skyrius 2
Antrosios eilės lygčių
dalinėmis išvestinėmis
klasifikacija
2.1 Antrosios eilės diferencialinė lygtis
Antrosios eilės diferencialinė lygtis dalinėmis išvestinėmis su dviem nepriklausomais
kintamaisiais x ir y bendruoju atveju užrašoma taip:
Lygtis
F
( ∂ 2 u
∂x 2, ∂ 2 u
∂x∂y , ∂2 u
∂y 2 , ∂u
∂x , ∂u
∂y ,u,x,y )
= 0.
a(u,x,y) ∂2 u
∂x 2 + 2b(u,x,y) ∂2 u
∂x∂y + c(u,x,y)∂2 u
∂y 2 + F ( ∂u
∂x , ∂u
∂y ,u,x,y )
= 0.
vadinama tiesine aukštesniųjų išvestinių atžvilgiu. Ši lygtis dar vadinama
kvazitiesine. Nagrinėsime antrosios eilės tiesinę lygtį dalinėmis išvestinėmis:
au xx + 2bu xy + cu yy + du x + eu y + fu + g = 0. (2.1)
Lygties koeficientai a, b, c, d, e, f, g priklauso tik nuo kintamųjų x, y.
Pakeiskime kintamuosius ξ = ϕ(x,y), ν = ψ(x,y). Priminkime, kad
(1.7) Jakobianas nelygus nuliui. Perrašome dalines išvestines (žr. (1.6) for-
11

12 SKYRIUS 2. ANTROSIOS EILĖS LYGČIŲ KLASIFIKACIJA
mules):
u x = u ξ ξ x + u ν ν x ,
u y = u ξ ξ y + u ν ν y ,
u xx = u ξξ ξ 2 x + 2u ξνξ x ν x + u νν ν 2 x + u ξξ xx + u ν ν xx ,
u xy = u ξξ ξ x ξ y + u ξν (ξ x ν y + ξ y ν x ) + u νν ν x ν y + u ξ ξ xy + u ν ν xy ,
u yy = u ξξ ξ 2 y + 2u ξνξ y ν y + u νν ν 2 y + u ξξ yy + u ν ν yy .
Tada (2.1) lygtis perrašoma taip:
Čia
Au ξξ + 2Bu ξν + Cu νν + F = 0. (2.2)
A = aξ 2 x + 2bξ xξ y + cξ 2 y ,
B = aξ x ν x + b(ξ x ν y + ν x ξ y ) + cξ y ν y ,
C = aν 2 x + 2bν xν y + cν 2 y ,
F = αu ξ + βu ν + γu + δ.
Pastebėkime, kad lygtis lieka tiesinė.
Pasirinkime kintamuosius ξ, ν taip, kad koeficientas A būtų lygus nuliui:
⎫
⎪⎬
⎪⎭
aξ 2 x + 2bξ xξ y + cξ 2 y
= 0. (2.3)
2.1 teorema. Tarkime, kad funkcija ξ(x,y) yra (2.3) lygties sprendinys.
Tada reiškinys ξ(x,y) = const yra diferencialinės (charakteristikų)
lygties
a(dy) 2 − 2bdydx + c(dx) 2 = 0
bendrasis integralas. Galioja ir atvirkštinis teiginys: jei ξ(x,y) =
const yra šios paprastosios diferencialinės lygties bendrasis integralas,
tai funkcija ξ(x,y) yra (2.3) lygties sprendinys.
Pastebėkime, kad jei y = y(x) yra lygties ξ(x,y) = const sprendinys, tai
dξ = ξ x dx + ξ y dy = 0 ir y ′ = dy
dx = −ξ x
.
ξ y
2.2 Antrosios eilės tiesinių diferencialinių lygčių
klasifikacija
Taikydami kintamųjų keitinį antrosios eilės diferencialinę lygtį su n nepriklausomais
kintamaisiais x 1 , x 2 , ..., x n užrašome kanoniniu pavidalu:
∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u
α 1
∂x 2 + α 2
1 ∂x 2 + · · · + α n
2
∂x 2 n
= (2.4)

2.2. ANTROSIOS EILĖS TIESINIŲ DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ KLASIFIKACIJA13
F
(
x 1 ,x 2 ,...,x n ,u, ∂u
∂x 1
, ∂u
∂x 2
,... , ∂u
∂x n
)
,
čia α j ∈ {0,1, −1} ir |α 1 | + |α 2 | + · · · + |α n | ≠ 0.
2.1 apibrėžimas. (2.4) lygtį vadiname elipsine, kai visi koeficientai
α j yra vienodo ženklo ir nelygūs nuliui; kai visi koeficientai α j nelygūs
nuliui ir bent du iš jų yra skirtingo ženklo, lygtį vadiname hiperboline;
kai tarp koeficientų α j yra bent vienas lygus nuliui, lygtį vadiname
paraboline.
2.2.1 Pagrindinės lygtys
Lygtis
u xx + u yy + u zz = 0
vadinama Laplaso lygtimi ir yra elipsinio tipo.
Lygtis
u xx + u yy + u zz = u tt
yra įvairių bangų sklidimo matematinis modelis ir yra hiperbolinio tipo.
Lygtis
u xx + u yy + u zz = u t
vadinama šilumos laidumo lygtimi ir yra parabolinio tipo.
Pažymėję ∆u antrosios eilės dalinių išvestinių sumą (Laplaso operatorių;
žr. 1.1, 8 p.) šias lygtis galime perrašyti taip:
⎧
⎨ 0, elipsinio tipo lygtis
∆u = u tt , hiperbolinio tipo lygtis
⎩
u t , parabolinio tipo lygtis
2.1 pavyzdys. Perrašykime diferencialinę lygtį
x 2 u xx + 2xyu xy + y 2 u yy = 0
kanoniniu pavidalu.
Sprendimas. Užrašome charakteristikų lygtį:
x 2 dy 2 − 2xy dxdy + y 2 dy 2 = 0 ⇒ (xdy − ydx) 2 = 0.

14 SKYRIUS 2. ANTROSIOS EILĖS LYGČIŲ KLASIFIKACIJA
Gauname tik vieną integralą y = Cx (lygtis yra parabolinė). Keičiame
kintamuosius: ξ = y x
ir ν = y. Tada
ξ x = − y x 2, ν x = 0, ξ y = 1 x , ν y = 1,
u x = u ξ
(
− y x 2 )
,
u y = u ξ
1
x + u ν,
u xx = y2
x 4 u ξξ + 2y
x 3 u ξ,
u xy = u ξξ
(
− y x 3 )
− u ξ
1
x 2 + u ξν
(− y x 2 )
,
1
u yy = u ξξ
x 2 + u 2
ξν
x + u νν,
Įrašę gautus reiškinius į lygtį gauname jos kanoninį pavidalą:
u νν = 0.
Šios lygties ( bendrasis spendinys (kai x ≠ 0) yra u = νϕ(ξ)+ψ(ξ) arba
y
( y
u = yϕ + ψ .
x)
x)
2.3 Lygties su dviem nepriklausomais kintamaisiais
pertvarkymas į kanoninį pavidalą
Lygties
Au xx + 2Bu xy + Cu yy + F(x,y,u,u x ,u y ) = 0 (2.5)
charakteristikų diferencialinė lygtis
Ady 2 − 2Bdydx + Cdx 2 = 0. (2.6)
Perrašome charakteristikų lygtį:
( (
Adx − B − √ )) ( (
B 2 − ACdy · Adx − B + √ ))
B 2 − ACdy = 0.
Priklausomai nuo diskriminanto D = B 2 − AC ženklo, gauname:
1) D > 0 – hiperbolinė lygtis;
2) D = 0 – parabolinė lygtis;
3) D < 0 – elipsinė lygtis.

2.3. LYGTIES SU DVIEM NEPRIKLAUSOMAIS KINTAMAISIAIS PERTVARKYMAS Į KANONINĮ PAV
2.3.1 Hiperbolinis atvejis
Tarkime, kad ϕ(x,y) = const ir ψ(x,y) = const yra du (2.6) lygties integralai.
Tada keitinys
ξ = ϕ(x,y), ν = ψ(x,y)
leidžia perrašyti (2.5) lygtį antruoju kanoniniu pavidalu:
∂ 2 (
u
∂ξ∂ν = ˜F ξ,ν,u, ∂u
∂ξ , ∂u )
.
∂ν
Pastebėkime, kad pakeitę kintamuosius ξ = x − y, ν = x + y, gausime šios
lygties pirmąjį kanoninį pavidalą:
u xx − u yy = F(· · · ).
2.2 pavyzdys. Perrašykime lygtį
x 2 u xx − y 2 u yy = 0
kanoniniu pavidalu.
Sprendimas. Nagrinėsime atvejį x > 0, y > 0, kai lygtis yra hiperbolinė:
D = 0 2 − x 2 (−y 2 ) = x 2 y 2 > 0. Sudarome charakteristikų
lygtį:
x 2 dy 2 − y 2 dx 2 = 0 ⇒ xdy ± ydx = 0.
Gauname du integralus: ln y ± ln x = ln C ± .
kintamuosius:
ξ = xy, ν = y x .
Taigi reikia pakeisti
Užrašome lygties kanoninį pavidalą:
u ξν = 1 2ξ u ν, ξ > 0,ν > 0.
2.3.2 Parabolinis atvejis
Charakteristikų lygtis šiuo atveju yra pilnas kvadratas
Ady 2 − 2Bdydx + Cdx 2 =
(√
Ady −
√
Cdx
) 2
= 0
ir gauname tik vieną nepriklausomą integralą ϕ(x,y) = const. Keičiame kintamuosius
ξ = ϕ(x,y), o kitą kintamąjį ν galima pasirinkti laisvai (žr. 2.1 pavyzdį,
13 p.) Nepamirškime, kad jakobianas turi būti nelygus nuliui.

16 SKYRIUS 2. ANTROSIOS EILĖS LYGČIŲ KLASIFIKACIJA
2.3.3 Elipsinis atvejis
Charakteristinės lygties pirmieji integralai bus kompleksinės jungtinės funkcijos
ξ + iν = ϕ(x,y), ξ − iν = ψ(x,y).
2.3 pavyzdys. Perrašykime lygį
y 2 u xx + x 2 u yy = 0
kanoniniu pavidalu.
Sprendimas. Užrašome charakteristikų lygį
y 2 dy 2 + x 2 dx 2 = 0 ⇒ (ydy + ixdx)(ydy − ixdx) = 0.
Gauname du pirmuosius integralus:
1
2 y2 + 1 2 ix2 = C ± . Keičiame
kintamuosius: ξ = 1 2 y2 , ν = 1 2 x2 . Lygties kanoninis pavidalas yra
u ξξ + u νν + 1 2ξ u ξ + 1
2ν u ν = 0.

skyrius 3
Stygos svyravimo lygtis
3.1 Stygos svyravimų lygties išvedimas
3.1.1 Modeliavimo prielaidos
• Styga – ištemptas absoliučiai lankstus siūlas
• Susidariusi įtempimo jėga veikia liestinės kryptimi
• Styga svyruoja vienoje plokštumoje
• Svyravimų amplitudė maža
3.1 pav: Styga įtvirtinta taškuose x = X 1 ir x = X 2
Žymėjimai
u(t,x) – stygos nukrypimo taške x laiko momentu t funkcija;
17

18 SKYRIUS 3. STYGOS SVYRAVIMO LYGTIS
ρ(x) – stygos linijinis tankis taške x:
x+∆x ∫
x
ρ(x)dx ≈ ∆xρ(x) – stygos atkarpos
[x,x + ∆x] masė;
T(x) taške x veikianti liestinės kryptimi įtempimo jėga;
α – stygos liestinės kampas su x ašimi;
F(t,x) – stygos elementą veikianti išorinė jėga (linijinis jėgos tankis).
Kampą α imsime mažą: sinα ≈ tgα = ∂u(t,x)
∂x
, cos α ≈ 1;
∂u(t,x)
– stygos taško x judėjimo greitis;
∂t
∂ 2 u(t,x)
∂t 2 – stygos taško x judėjimo pagreitis.
Remiantis antruoju Niutono dėsniu užrašome
ρ(x)∆x ∂2 u(t,x)
∂t 2
Iš čia gauname:
= T(x + ∆x)sin α ′ − T(x)sin α + F(t,x)∆x.
ρ(x)∆x ∂2 u(t,x)
∂t 2
∂u(t,x + ∆x)
= T(x + ∆x) − T(x) ∂u(t,x) + F(t,x)∆x.
∂x
∂x
Padaliję abi lygybės puses iš ∆x ir perėję prie ribos, kai ∆x → 0, gauname
skersinių stygos svyravimų lygtį
ρ(x) ∂2 u
∂t 2 = ∂ (
T(x) ∂u )
+ F(t,x). (3.1)
∂x ∂x
Jei stygos neveikia išilginė išorinė jėga (F ≡ 0) ir styga yra homogeninė:
ρ ≡ ρ 0 , T ≡ T 0 , užrašome (3.1) lygties atskirą atvejį
čia a =
√
T 0
ρ 0
.
u tt − a 2 u xx = 0, (3.2)
3.1.2 Kraštinės ir pradinės sąlygos
Styga itvirtinta taškuose x = X 1 ir x = X 2 . Todėl galime užrašyti kraštines
sąlygas:
u(t,X 1 ) = 0, u(t,X 2 ) = 0. (3.3)

3.2. DALAMBERO METODAS 19
Tarkime, kad pradiniu laiko momentu t = 0 yra žinoma stygos nuokrypių
funkcija u (0)
0 (x) ir kiekvieno jos taško x judėjimo greitis u(1) 0 (x). Tada formuluojame
pradines sąlygas:
3.2 Dalambero metodas
u(0,x) = u (0)
0 (x), u′ t (0,x) = u(1) 0 (x). (3.4)
Pakeiskime (3.2) lygties kintamuosius: ξ = x − at, ν = x + at. Gauname
antrąjį lygties kanoninį pavidalą:
kurios bendrasis sprendinys yra
u ξν = 0,
u(ξ,ν) = f(ξ) + g(ν) ⇒ u(x − at,x + at) = f(x − at) + g(x + at).
Raskime funkcijas f ir g, kai žinomos (3.4) pradinės sąlygos:
(f(x − at) + g(x + at))| t=0
= f(x) + g(x) = u (0)
0 (x),
∂
∂t (f(x − at) + g(x + at))| t=0 = −af ′ (x) + ag ′ (x) = u (1)
0 (x).
Integuojame antrąją lygtį:
ir gauname funkcijas
−f(x) + g(x) = 1 a
∫ x
f(x) = 1 2 u(0) 0 (x) − 1
2a
g(x) = 1 2 u(0) 0 (x) + 1
2a
Taigi gauname Dalambero formulę
u(t,x) = u(0) 0
u (1)
0 (s)ds + C
x 0
∫ x
u (1)
0
x 0
∫ x
u (1)
0
x 0
(x − at) + u(0) 0 (x + at)
+ 1
2
2a
(s)ds − C,
(s)ds + C.
∫
x+at
x−at
u (1)
0 (s)ds. (3.5)

20 SKYRIUS 3. STYGOS SVYRAVIMO LYGTIS
3.3 Dalambero formulės tyrimas
Nagrinėsime (3.5) formulę, kai u (0)
0 (x) = ϕ(x), u (1)
0 (x) ≡ 0 ir funkcijos ϕ
grafikas pavaizduotas paveiksle.
3.2 pav: Funkcijos ϕ(x) grafikas
3.3 pav: Funkcijos (3.5) grafikas esant skirtingoms t reikšmėms

3.4. NEHOMOGENINĖS LYGTIES SPRENDIMAS 21
3.4 pav: Funkcijos (3.5) grafikas laiko momentu t = t 1 > 0
3.5 pav: Funkcijos (3.5) grafikas laiko momentu t = t 2 > t 1
3.4 Nehomogeninės lygties sprendimas
Nagrinėsime tiesinę nehomogeninę stygos svyravimo lygtį
u tt − a 2 u xx = f(t,x) (3.6)
Parodykime, kad funkcija
Φ(t,x) = 1 ∫ t
2a
0
dτ
∫
x+a(t−τ)
x−a(t−τ)
f(τ,ξ)dξ (3.7)

22 SKYRIUS 3. STYGOS SVYRAVIMO LYGTIS
3.6 pav: Funkcijos (3.5) grafikas laiko momentu t = t 3 > t 2
yra (3.6) lygties sprendinys. Pažymėkime
Pastebėkime, kad iš čia išplaukia
∫ x
F(t,x) = f(t,ξ)dξ.
0
Tada
∂F(t,x)
∂x
≡ F x ′ = f(t,x). (3.8)
ir gausime
∫t
1
2a a
0
Φ(t,x) = 1 ∫ t
(F(τ,x + a(t − τ)) − F(τ,x − a(t − τ))) dτ
2a
0
∂
∂t Φ(t,x) = 1
2a (F(τ,x + a(t − τ)) − F(τ,x − a(t − τ)))| τ=t +
(
F
′
x (τ,x + a(t − τ)) + F ′ x(τ,x − a(t − τ)) ) dτ = 0+ 1 2
∂
∂x Φ(t,x) = 1 ∫ t
(
F
′
2a x − F ′ )
x dτ,
0
∫ t
0
(
F
′
x + F x
′ )
dτ,

3.5. KITI HIPERBOLINIO TIPO MATEMATINIAI MODELIAI 23
∂ 2
∂t 2Φ(t,x) = 1 (
F
′
2 x (τ,x + a(t − τ)) + F x ′ (τ,x − a(t − τ)))∣ ∣
τ=t
+
∫
a
t
(
F
′′
xx − F
2
xx) ′′ dτ,
0
∫ t
(
F
′
x + F x
′ )
dτ,
0
∂ 2
∂x 2Φ(t,x) = 1 ∫ t
(
F
′′
xx
2a
− F xx) ′′ dτ.
0
Įrašome gautus reiškinius į (3.6) ir taikome (3.8) formulę:
3.1 pavyzdys. Funkcija
Φ(t,x) = 1 ∫ t
dτ
2 · 3
0
Φ ′′
tt − a 2 Φ ′′ xx = f(t,x).
∫
x+3(t−τ)
x−3(t−τ)
cos(ξ − 5τ)dξ =
∫
1
t
(sin(x + 3(t − τ) − 5τ) − sin(x − 3(t − τ) − 5τ)) dτ =
6
0
1
1
cos(x − 5t) −
48 48 cos(x + 3t) − 1 12 cos(x − 5t) + 1 cos(x − 3t) =
12
− 1 16 cos(x − 5t) − 1 1
cos(x + 3t) + cos(x − 3t)
48 12
yra diferencialinės lygties
sprendinys.
u tt − 9u xx = cos(x − 5t)
3.5 Kiti hiperbolinio tipo matematiniai modeliai
3.5.1 Ilgosios linijos lygtys
Prisiminkime elektrinės grandinės elementų diferencialinius sąryšius.

24 SKYRIUS 3. STYGOS SVYRAVIMO LYGTIS
3.7 pav: Varža
Varža
Elektros srovės (3.7 pav.) stiprumui i(t) ir įtampai u(t) galioja lygybės
u(t) = R i(t) arba i(t) = 1 R u(t).
Talpa
Galioja (3.8 pav.) lygybė:
Induktyvumas
Galioja (3.9 pav.) lygybė:
Ilgosios linijos (telegrafo) lygtys
i(t) = C du(t) .
dt
u(t) = L di(t) .
dt
Esant dideliam atstumui x 2 − x 1 ≫ 1 voltmetro ir ampermetro rodmenys
taškuose x 1 ir x 2 (3.10 pav.) bendruoju atveju bus skirtingi. Todėl funkcijos
i ir u priklauso nuo erdvinės koordinatės x, t. y. turime paskirstytų

3.5. KITI HIPERBOLINIO TIPO MATEMATINIAI MODELIAI 25
3.8 pav: Talpa
parametrų sistemą. Nagrinėsime ilgosios linijos mažą (|∆x| ≪ 1) elementą
(3.11 pav.). Kai linijos parametrai R (varža), L (saviindukcija), C (talpa),
G (skersinis izoliacijos laidumas – nuotekis) nepriklauso nuo x, ji vadinama
homogenine. Taikome Omo ir Kirchhofo dėsnius mažam linijos elementui:
u(t,x) − u(t,x + ∆x) = i(t,x) R 2
i(t,x + ∆x) R 2
i(t,x) − i(t,x + ∆x) =
Gauname
∆x +
∂i(t,x)
∂t
∂i(t,x + ∆x) L
∆x +
∂t 2 ∆x,
(
u(t,x) − i(t,x) R 2
L
2 ∆x+
)
∂i(t,x) L
∆x −
∂t 2 ∆x G∆x+
(
∂
u(t,x) − i(t,x) R )
∂i(t,x) L
∆x −
∂t
2 ∂t 2 ∆x C∆x.
⎧
⎨
⎩
− ∂u
∂x =
∂i
iR +
∂t L
(3.9)
− ∂i
∂u
∂x
= uG +
∂t C
Diferencijuojame abi lygtis pagal t ir x ir taikome lygybes
u tx = u xt , i tx = i xt :
−i xx = −RCi t + Gu x − CLi tt .

26 SKYRIUS 3. STYGOS SVYRAVIMO LYGTIS
3.9 pav: Induktyvumas
Taikydami pirmąją (3.9) lygtį gauname
i tt − 1
CL i RC + LG
xx + i t + RG
CL CL i = 0.
3.1 pratimas. Užrašykite lygtį funkcijai u(t,x) rasti.
3.5.2 Membranos svyravimų lygtis
Membrana – įtempta plona absoliučiai lanksti plevelė;
t – laikas, x, y – membranos taškų koordinatės;
u(t,x,y) – membranos taškų nukrypimai aplikačių (u) ašies kryptimi;
ρ – membranos tankis (apskaičiuotas ploto vienetui);
T – įtempimo jėga (apskaičiuota kontūro vienetui);
F(t,x,y) – įšorinės (skersinės) jėgos tankis;
Homogeninės ir vienodai įtemptos (ρ, T – const) membranos mažų skersinių
svyravimų lygtis – dvimatė bangavimo lygtis
√ T
čia a =
ρ
∂ 2 (
u ∂ 2 )
∂t 2 = u
a2
∂x 2 + ∂2 u
∂y 2 + f(t,x,y), (3.10)
F(t,x,y)
, f(t,x,y) = .
ρ

3.5. KITI HIPERBOLINIO TIPO MATEMATINIAI MODELIAI 27
3.10 pav: Ilgoji linija
3.11 pav: Telegrafo lygčių išvedimas
3.5.3 Dujų ir skysčio dinamikos lygtys
⃗U(t,x,y,z) = (u,v,w) – dujų srovės greičio vektorius;
ρ(t,x,y,z) – dujų tankis;
p(t,x,y,z) – dujų slėgis;
Vektorinio lauko ⃗ U divergencija vadinamas reiškinys
div ⃗ U = ∂u
∂x + ∂v
∂y + ∂w
∂z .
Dujų dinamikos lygtys:
tolydumo lygtis
∂ρ
(
∂t + div ρU
⃗ )
= 0. (3.11)
Pastebėkime, kad (3.11) lygtį galima perrašyti taip:
∂ρ
∂t + (⃗ U, gradρ) + ρdiv ⃗ U = 0,

28 SKYRIUS 3. STYGOS SVYRAVIMO LYGTIS
čia
gradρ =⃗i ∂ρ
∂x + ⃗j ∂ρ
∂y + ⃗ k ∂ρ
∂z .
Prisiminkime, kad divergenciją ir gradijentą patogu išreikši nabla operatoriumi
( ∂
∇ ≡
∂x , ∂ ∂y , ∂ )
:
∂z
div ⃗ U = (∇, ⃗ U), gradρ = ∇ρ.
Oilerio lygtys vektoriniu pavidalu užrašomos taip:
arba koordinatėmis
ρ ∂⃗ U
∂t + ρ(⃗ U∇) ⃗ U + ∇p = 0, (3.12)
ρ ∂u (
∂t + ρ u ∂u
∂x + v∂u ∂y + w∂u ∂z
ρ ∂v (
∂t + ρ u ∂v
∂x + v∂v ∂y + w∂v ∂z
ρ ∂w (
∂t + ρ u ∂w
∂x + v∂w ∂y + w∂w ∂z
)
+ ∂p
)
+ ∂p
∂x = 0,
∂y = 0,
)
+ ∂p
∂z = 0.
Būsenos lygtis neturi standartinio pavidalo ir bendruoju atveju užrašoma
taip
f(p,ρ,T) = 0, (3.13)
čia T – dujų (skysčio) temperatūra.
Lygčių sistema (3.11), (3.12), (3.13) vadinam hidrodinamikos lygtimis.
Trimatė bangavimo lygtis
Dujų svyravimams (3.13) lygtis dažnai pakeičiama Puasono dėsniu:
( )
p ρ γ
= .
p 0 ρ 0
Tada mažos amplitudės bangoms p ≈ p 0 (1 + γ˜p) galioja tiesinės akustikos
artinys slėgiui
čia a =
√ γp0
ρ 0
– garso greitis.
∂ 2˜p ( ∂2˜p
∂t 2 = a2 ∂x 2 + ∂2˜p
∂y 2 + ∂2˜p )
∂z 2 ,

skyrius 4
Šilumos laidumo ir difuzijos
lygtys
4.1 Difuzijos matematinis modelis
Dėl medžiagos (pavyzdžiui, druskos; 4.1 pav.) molekulių chaotinių judėsių
kinta jos koncentracija (molekulių kiekis) kitoje medžiagoje (pavyzdžiui,
vandenyje). Difuzuojančių medžiagų sąveikos procesas paprastai vyksta du-
4.1 pav: Difuzijos proceso modelis
jose ir skysčiuose ir vadinamas difuzija. Per laiko intervalą ∆t ≪ 1 per
vamzdžio pjūvį (S – pjūvio plotas) praeina difuzuojančios medžiagos kiekis,
kurio masė yra m. Šis kiekis priklauso nuo medžiagos (pavyzdžio atveju
– druskos) koncentracijos C(t,x) ir nuo difuzijos koeficiento λ. Masė m
išreiškiama Fiko (A.Fick) dėsniu:
m = −λ ∂C S ∆t. (4.1)
∂x
29

30 SKYRIUS 4. ŠILUMOS LAIDUMO IR DIFUZIJOS LYGTYS
Pastebėkime, kad iš (4.1) išplaukia
( ∂C(t,x + ∆x)
∆ x m = m(t,x + ∆x) − m(t,x) = −λ
∂x
− ∂C(t,x) )
S ∆t.
∂x
Kita vertus, per laiko intervalą ∆t ≪ 1 medžiagos (druskos) koncentacija
indo dalyje tarp x ir x + ∆x pasikeis taip:
−∆ x m = (C(t + ∆t, ˜x) − C(t, ˜x)) ∆V.
Čia ∆V – indo dalies tarp taškų x ir x + ∆x tūris, ˜x ∈ (x,x + ∆x). Kai
S–const, ∆V = S ∆x. Taigi gauname
C(t + ∆t, ˜x) − C(t, ˜x)
S = λS ∂ ( )
C(t,x + ∆x) − C(t,x)
.
∆t
∂x ∆x
Perėję prie ribos, kai ∆t → 0 ir ∆x → 0, gauname difuzijos lygtį
čia a = √ λ.
4.2 Šilumos laidumas strype
4.2.1 Modeliavimo prielaidos
∂C
∂t = a2 ∂2 C
∂x 2 , (4.2)
• strypas yra tiek plonas, kad kiekvieno skersinio pjūvio taškuose tempertūra
laikoma vienoda;
• u(t,x) – strypo skersmenyje, kurio koordinatė yra x temperatūra laiko
momentu t;
• S(x) > 0 – strypo skerspjūvio plotas;
• p(x) > 0 – skerspjūvio perimetras;
• ρ(x) > 0 – tankis;
• C(x) > 0 – specifinė šiluma (šilumos kiekis strypo elemente x, x+∆x
lygus CρS∆xu);
• k(x) > 0 – šilumos laidumo koeficientas;
• κ(x) > 0 – spinduliavimo (aušimo) koeficientas;
• f(t,x) – oro temperatūra strypo aplinkoje.

4.2. ŠILUMOS LAIDUMAS STRYPE 31
4.2.2 Diferencialinė lygtis
C(x)ρ(x) S(x) ∂u
∂t = ∂ (
k(x)S(x) ∂u )
− κ(x)p(x)(u − f(t,x)).
∂x ∂x
Kai visi modelio parametrai yra konstantos (vienalytė medžiaga ir vienodas
skerspjūvis),
∂u
∂t = a2 ∂2 u
− b(u − f(t,x)),
∂x2 √
k
a =
Cρ , b = κp
CρS .
Jei strypas yra izoliuotas (κ = 0), gauname homogeninę lygtį
∂u
∂t = a2∂2 u
∂x 2.
Šilumos sklidimas esant šilumos šaltiniui
Kai strypas yra izoliuotas ir veikia šilumos šaltinis, tai strypo temeratūrai
galioja nehomogeninė lygtis
∂u
∂t = a2 ∂2 u
+ h(t,x). (4.3)
∂x2 4.2.3 Šilumos laidumas erdvėje
Tarkime, kad ρ(x,y,z) – kūno tankis, C(x,y,z) – specifinė šiluma, k(x,y,x)
– šilumos laidumo koeficientas. Kūno temperantūrai u(t,x,y,z) galioja šilumos
laidumo lygtis
Cρ ∂u = div(k grad u). (4.4)
∂t
Kai parametrai ρ, C, k yra konstantos (homogeninis kūnas) gauname lygtį
čia a =
u t = a 2 ∆u,
√ k
ρC , ∆ ≡ ∂2
∂x 2 + ∂2
∂y 2 + ∂2
– Laplaso operatorius.
∂z2

32 SKYRIUS 4. ŠILUMOS LAIDUMO IR DIFUZIJOS LYGTYS
4.3 Koši uždavinio sprendimas
Begalinio strypo aušinimas
Spręsime uždavinį
kai −∞ < x < +∞, t 0.
∂u
∂t = a2 ∂2 u
∂x 2, u(t,x)| t=0
= ϕ(x), (4.5)
4.3.1 Kintamųjų atskyrimo metodas
Ieškosime netrivialių (nenulinių) (4.5) lygties spendinių tokiu pavidalu
u(t,x) = T(t)X(x).
Tada u t = T ′ (t)X(x), u xx = T(t)X ′′ (x) ir įrašę šiuos reiškinius į (4.5) lygtį,
gauname
T ′ (t)
T(t) = a2 X′′ (x)
X(x) = const.
Nagrinėsime atvejį const < 0 (priešingas atvejis neturi fizikinės prasmės) ir
pažymėkime const · a 2 = −λ 2 . Tada
T(t) = C e −λ2 a 2 t , X(x) = Acos λx + B sin λx.
Taigi pastebėję, kad λ yra bet kuris neneigiamas realusis skaičius, gauname
be galo daug lygties sprendinių
4.3.2 Furjė metodas
u(t,x) = e −λ2 a 2 t (A(λ)cos λx + B(λ)sin λx).
Tiesioginiu patikrinimu įrodome, kad integralas
u(t,x) =
∫
+∞
−∞
irgi yra (4.5) lygties sprendinys.
Iš pradinės sąlygos gauname:
u(0,x) =
∫
+∞
−∞
e −λ2 a 2 t (A(λ)cos λx + B(λ)sin λx) dλ (4.6)
(A(λ)cos λx + B(λ)sin λx) dλ = ϕ(x).

4.3. KOŠI UŽDAVINIO SPRENDIMAS 33
Tarkime, kad funkciją ϕ(c) galima išreikšti Furjė integralu. Tada
A(λ) = 1 ∫
2π
+∞
−∞
B(λ) = 1 ∫
2π
+∞
−∞
ϕ(ξ)cos λξ dξ,
ϕ(ξ)sin λξ dξ.
Iš čia, taikydami formulę cos λxcos λξ+sin λxsin λξ = cos λ(ξ−x), gauname
⎛
⎞
u(t,x) = 1 ∫+∞
∫+∞
∫+∞
e −λ2 a 2 t ⎝cos λx ϕ(ξ)cos λξ dξ + sin λx ϕ(ξ)sin λξ dξ⎠ dλ =
2π
−∞
1
π
∫
+∞
0
⎛
∫
⎝
+∞
−∞
−∞
Pakeitę integravimo tvarką, gausime
čia
I(ξ) =
⎞
−∞
e −λ2 a 2 t ϕ(ξ)cos λ(ξ − x)dξ⎠ dλ.
u(t,x) = 1 π
+∞
Raskime funkcijos I(ξ) išvestinę
∫
0
∫
I ′ (ξ) = −
1
2a 2 t
+∞
0
∫
+∞
0
∫
+∞
−∞
ϕ(ξ)I(ξ)dξ,
e −λ2 a 2 t cos λ(ξ − x)dλ.
e −λ2 a 2 t λsin λ(ξ − x)dλ =
sin λ(ξ − x)de −λ2 a 2 t
Diferencijavimu dalimis gauname diferencialinę lygtį
I ′ (ξ) = − ξ − x
2a 2 t I(ξ).

34 SKYRIUS 4. ŠILUMOS LAIDUMO IR DIFUZIJOS LYGTYS
Iš čia ir iš funkcijos I(ξ) reiškimo integralu, kai ξ = x:
išplaukia, kad
∫ ∞
0
√ π
e −z2 dz =
2
I(ξ)| ξ=x
= 1 √ π
2a t ,
I(ξ) = 1 √ π
2a t e−(ξ−x)2 4a 2 t .
Taigi galime užrašyti (4.5) uždavinio sprendinį
⎧
+∞
⎨ ∫
1
u(t,x) = 2a √ ϕ(ξ)e −(ξ−x)2 4a
πt
2 t dξ, t > 0
−∞
⎩
ϕ(x), t = 0
(4.7)
4.3.3 Fundamentinio sprendinio fizikinė prasmė
Tarkime, kad funkcija ϕ(ξ) (4.7) formulėje yra tokia
⎧
⎨ 0, kai ξ < x 0 − δ,
ϕ(ξ) = ϕ
⎩ 0 , kai x 0 − δ ξ x 0 + δ,
0, kai ξ > x 0 + δ,
čia δ – mažas teigiamas skaičius.
Paimkime,
ϕ 0 = Q 0
2δSρC ,
S – strypo skerspjūvio plotas,
ρ – strypo medžiagos tankis,
C – specifinė šiluma,
Q 0 – šilumos kiekis, sukoncentruotas strypo atkarpoje [x 0 − δ,x 0 + δ].
Įrašę ϕ 0 į (4.7) formulę, gausime
u(t,x) = Q 0
SρC ·
1
2a √ πt ·
1
2δ
x∫
0 +δ
x 0 −δ
e −(ξ−x)2 4a 2 t
dξ
ir kai δ → 0:
Q 0
SρC · 1
2a √ 0 −x)2
πt e−(x 4a 2 t .

4.3. KOŠI UŽDAVINIO SPRENDIMAS 35
Paimkime šilumos kiekį Q 0 taip, kad jis galėtų pakelti vienetinio ilgio strypo
atkarpos temperatūrą vienu laipsniu: Q 0 = 1 · SρC · 1. Funkciją
v(t,x) = 1
2a √ πt e−(x 0 −x)2
4a 2 t (4.8)
vadiname fundamentiniu sprendiniu. Ši funkcija turi šaltinio prasmę,
kai taške x = x 0 pradine akimirka patalpintas šilumos kiekis (toks, kad
pakelti temperatūra taip, kaip buvo nurodyta), o kituose strypo taškuose jo
temperatūra lygi nuliui.
Funkcijos v(t,x) grafikas esant skirtingoms t reikšmėms t 1 < t 2 < t 3 < t 4
parodytas 4.2 paveiksle.
4.2 pav: Funkcijos (4.8) grafikas esant skirtingoms t reikšmėms
4.1 pratimas. Raskite laiko momentą t x , kai taške x ≠ x 0 strypo
temperatūra v (t x ,x) yra maksimali ir raskite šią temperatūrą.
Temperatūros formulė plokštumoje ir erdvėje
u(t,x,y) = 1
4πa 2 t
∫+∞
∫
+∞
−∞ −∞
ϕ(ξ,η)e −(ξ−x)2 +(η−y) 2
4a 2 t
dξ dη.

36 SKYRIUS 4. ŠILUMOS LAIDUMO IR DIFUZIJOS LYGTYS
u(t,x,y,z) =
∫+∞
1
( √ ) 3
2a πt
∫+∞
∫
+∞
−∞ −∞ −∞
4.3.4 Kraštinės sąlygos
ϕ(ξ,η,ζ)e −(ξ−x)2 +(η−y) 2 +(ζ−z) 2
4a 2 t
dξ dη dζ.
Baigtinio strypo galuose x = 0 ir x = l palaikoma kintanti temperatūra α(t)
ir β(t) – pirmosios rūšies kraštinės sąlygos:
u(t,x)| x=0 = α(t), u(t,x)| x=l = β(t).
Strypo galuose yra žinoma šilumos srovė (ji proporcinga temperatūros gradijentui)
– antrosios rūšies kraštinės sąlygos:
∂u(t,x)
∂u(t,x)
∂x ∣ = γ(t),
x=0
∂x ∣ = δ(t).
x=l
Trečiosios rūšies kraštinės sąlygos – strypo galuose vyksta šiluminis
spinduliavimas į aplinką:
∂u(t,x)
− h 0 (u(t,x) − f 0 (t))
∂x
∣ = 0,
x=0 ∂u(t,x)
+ h l (u(t,x) − f l (t))
∂x
∣ = 0.
x=l
4.3.5 Kraštinio uždavinio sprendimas Furjė metodu
Baigtinio izoliuoto strypo aušinimas
u t = a 2 u xx , 0 < x < l, t > 0,
u(0,x) = ϕ(x),
u ′ x (t,0) = 0, u′ x (t,l) = 0.
Taikome kintamųjų atskyrimo metodą (4.3.1, 32 p.):
Iš čia gauname
T ′ (t)
T(t) = −a2 λ 2 , X ′′ (x) + λ 2 X(x) = 0.
T(t) = Ce −a2 λ 2t ,
X(x) = Acos λx + B sin λx.

4.4. MAKSIMUMO PRINCIPAS 37
Iš kraštinių sąlygų gauname, kad nenuliniai sprendiniai egzistuoja, kai
B = 0,
λ = nπ
l , n = 1,2,...
Todėl (atskirai išnagrinėkite atvejį, kai λ = 0)
u(t,x) = 1 2 A 0 +
Iš pradinės sąlygos turime
∞∑
n=1
A n e − n2 π 2 a 2 t
l 2
cos nπx
l
u(0,x) = 1 2 A 0 +
∞∑
n=1
A n cos nπx
l
= ϕ(x).
Taigi apskaičiuojame Furjė eilutės koeficientus
A n = 2 l
∫ l
0
ϕ(ξ)cos nπξ
l
dξ, n = 0,1,...
4.4 Maksimumo principas
Pažymėkime stačiakampio G = {0 t T, 0 x l} kontūrą Γ =
{t = 0, x = 0, x = l} (4.3 pav.) Tarkime, kad M Γ = max u(t,x) funkcijos
Γ
u maksimumas kontūro Γ taškuose, M G = max u(t,x) – jos maksimumas
G
srities G taškuose. Kadangi Γ ⊂ G, galioja nelygybė M Γ M G . Tačiau
šilumos laidumo lygties sprendiniui galioja lygybė M Γ = M G .
4.1 teorema. Tarkime, kad funkcija u(t,x) – lygties u t = a 2 u xx –
spendinys yra tolydi srityje G. Tada egzistuoja toks kontūro Γ taškas
(t 0 ,x 0 ), kad
u(t 0 ,x 0 ) = M G = max u(t,x).
G
Įrodymas. Tarkime, kad (t 1 ,x 1 ) ∈ G \ Γ yra vidinis srities G taškas ir
u(t 1 ,x 1 ) = M Γ + ε, ε > 0. Sudarome pagalbinę funkciją (ji nėra šilumos
laidumo lygties sprendinys)
U(t,x) = u(t,x) + ε
2t 1
(t 1 − t).

38 SKYRIUS 4. ŠILUMOS LAIDUMO IR DIFUZIJOS LYGTYS
4.3 pav: Maksimumo principas
Jei padaryta prielaida yra teisinga, funkcijos U maksimumas srities G taškuose
lygus M Γ + ε, o kontūro Γ taškuose
U(t,x)| Γ
M Γ + ε
2t 1
t 1 = M Γ + ε 2 .
Taigi funkcija U(t,x) įgyja maksimalią reikšmę kažkuriame vidiniame (atskirai
reikia nagrinėti atvejį t 2 = T ) srities taške (t 2 ,x 2 ). Maksimumo taške turi
būti U xx (t 2 ,x 2 ) 0 ir iš funkcijos U apibrėžimo išplaukia, kad u xx (t 2 ,x 2 )
0. Kita vertus, ekstremumo taške gausime įvertį u t (t 2 ,x 2 ) ε
2t 2
(lygybė
galima tik, kai t 2 = T ). Tada funkcija u(t,x) nėra lygties u t = a 2 u xx sprendinys,
o tai prieštarauja teoremos sąlygai.
4.5 Uždavinys apie žemės temperatūrą
Spręsime uždavinį, kai žinoma vidutinė ilgametė temperatūra žemės paviršiuje
f(t) = Re
+∞∑
n=−∞
f n e 2πnt
T ,

4.5. UŽDAVINYS APIE ŽEMĖS TEMPERATŪRĄ 39
čia T – metų ilgis (pavyzdžiui, T = 365).
Žymėsime x = 0 – žemės paviršius, x = −∞ – didelis gylis.
Sprendinio ieškosime Furjė eilutės pavidalu
u(t,x) =
+∞∑
n=−∞
f n u n (x)e 2πnt
T .
Funkcija u(t,x) yra šilumos laidumo lygties sprendinys. Todėl
Bendrasis lygties sprendinys
2πin
T u n (x) = a 2 u ′′ n (x) .
u n (x) = A n e (1±i)qnx + B n e −(1±i)qnx , q n =
√
|n|π
a 2 T
bus aprėžtas tik, kai A n = 0.
Iš pradinių sąlygų gauname, kad u n (0) = 1. Pastebėkime, kad f n =
f −n = |f n |e −iγn . Todėl
u(t,x) = f 0 + 2
∞∑
n=1
(
|f n |e −qnx cos 2πn t )
T + γ n − q n x .
Furjė eilutės koeficientas f 0 turi ilgametės vidutinės temperatūros prasmę.
Pavyzdžiui, šiaurės kraštuose f 0 < 0 ir tai reiškia amžinąjį įšalą.

40 SKYRIUS 4. ŠILUMOS LAIDUMO IR DIFUZIJOS LYGTYS

skyrius 5
Elipsinės lygtys
5.1 Procesai, aprašomi elipsinėmis lygtimi
5.1.1 Bendrosios sąvokos
Šilumos lygties u tt = a 2 ∆u stacionarus (nepriklausantis nuo laiko t) sprendinys
tenkina Laplaso lygtį
∆u = 0. (5.1)
Kai yra šilumos šaltinių, užrašoma Puasono lygtis
∆u = −f. (5.2)
Tarkime, kad T yra tam tikra aprėžta sritis erdvėje x,y,z ir paviršius Σ –
jos siena. (5.1) arba (5.2) lygtys papildomos kraštinėmis sąlygomis.
Pirmasis kraštinis uždavinys (Dirichlė uždavinys)
(u = ϕ)| (x,y,z)∈Σ
Antrasis kraštinis uždavinys (Noimano uždavinys)
( ∂u
∂⃗n = ϕ )∣
∣∣∣(x,y,z)∈Σ
Trečiasis kraštinis uždavinys
( ∂u
∂⃗n + h(u − ϕ) )∣
∣∣∣(x,y,z)∈Σ
41

42 SKYRIUS 5. ELIPSINĖS LYGTYS
5.1 pav: Sritis T ir jos siena Σ
Čia ⃗n – paviršiaus Σ išorinės normalės vektorius.
Pastebėkime, kad gali būti sprendžiami ir vidiniai, ir išoriniai kraštiniai
uždaviniai.
5.1.2 Normalioji išvestinė
∂u(x,y,z)
∂⃗n
n x
∂u(x,y,z)
∂x
u(x + hn x ,y + hn y ,z + hn z ) − u(x,y,z)
= lim
=
h→0 h
+ n y
∂u(x,y,z)
∂y
5.1.3 Adamaro pavyzdys
Parodykime, kad Koši uždavinys
+ n z
∂u(x,y,z)
∂z
⃗n = (n x ,n y ,n z ), |⃗n| = 1.
= (⃗n, grad u),
∆u = 0, u(0,y) = ϕ(y), ∂u(0,y)
∂x
= ψ(y)
yra nekorektiškas.

5.2. HARMONINĖS FUNKCIJOS 43
Paimkime, ϕ(y) = 0, ψ(y) = 1 sin(ry). Kai r → ∞ gauname u(x,y) ≡
r
0. Tačiau, kai r yra baigtinis skaičius uždavinio sprendinys yra
u(x,y) = shrx
r 2
sin ry = erx − e −rx
2r 2
sin ry.
Matome, kad funkcija yra neaprėžta, kai x ≠ 0, y ≠ 0 ir r → ∞.
5.2 Harmoninės funkcijos
Nagrinėsime dvimatį atvejį ∆ ≡ ∂2
∂x 2 + ∂2
. Tarkime, kad
∂y2 w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y)
yra kompleksinio kintamojo z = x+iy funkcija. Priminkime, kad jei funkcija
w yra analizinė, ji turi išvestinę
dw
dz = lim ∆w
∆z→0 ∆z = lim
∆z→0
f(z + ∆z) − f(z)
,
∆z
kuri nepriklauso nuo reiškino ∆z = ∆x + i∆y artėjimo į 0 būdo.
Kad funkciją w = f(z) būtų analizinė, yra būtinos ir pakankamos Koši
ir Rymano sąlygos:
{
ux = v y ,
(5.3)
u y = −v x .
Iš (5.3) lygybių gauname, kad analizinės funkcijos realioji ir menamoji dalis
yra harmoninės funkcijos:
∆u = 0, ∆v = 0.
Harmoninėmis funkcijomis trimačiu atveju vadiname Laplaso lygties sprendinius:
∂ 2 u
∂x 2 + ∂2 u
∂y 2 + ∂2 u
∂z 2 = 0.
5.2.1 Maksimumo principas
5.1 teorema. Tarkime, kad u(x,y,z) yra harmoninė uždaroje aprėžtoje
srityje T ∪ Σ. Tada jos reikšmė bet kuriame vidiniame taške
(x 0 ,y 0 ,z 0 ) yra ne didesnė už max u(x,y,z) – funkcijos maksimumą
(x,y,z)∈Γ

44 SKYRIUS 5. ELIPSINĖS LYGTYS
sienos taškuose.
Įrodymas. Pažymėkime
m = max u(x,y,z), M = max u(x,y,z).
(x,y,z)∈Γ (x,y,z)∈T \Γ
Tarkime, kad (x 0 ,y 0 ,z 0 ) yra toks vidinis taškas, kad u(x 0 ,y 0 ,z 0 ) =
M. Darome prieladą, kad M > m ir sudarome pagalbinę funkciją
v = u(x,y,z) + M − m (
2d 2 (x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 + (z − z 0 ) 2) .
Čia
d =
max ‖(x 1 ,y 1 ,z 1 ) − (x 2 ,y 2 ,z 2 )‖
(x 1 ,y 1 ,z 1 ),(x 2 ,y 2 ,z 2 )∈T ∪Σ
yra srities T skersmuo.
Visiems taškams (x,y,z) ∈ T ∪ Σ galioja nelygybė
(x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 + (z − z 0 ) 2 d 2 .
Todėl bet kuriame srities sienos taške (x,y,x) ∈ Γ:
v(x,y,z) m + M − m
2d 2
d 2 = M + m
2
Antra vertus, vidiniame taške (x 0 ,y 0 ,z 0 ):
v (x 0 ,y 0 ,z 0 ) = u(x 0 ,y 0 ,z 0 ) = M.
< M.
Taigi funkcija v įgyja maksimumą tam tikrame vidiniame taške (x 0 ,y 0 ,z 0 ).
Bet kuriame maksimumo taške visada galioja:
∂v
∂x = ∂v
∂y = ∂v
∂z = 0, ∂ 2 v
∂x 2 0, ∂ 2 v
∂y 2 0, ∂ 2 v
∂z 2 0.
Iš čia gauname, kad
∂ 2 v
∂x 2 + ∂2 v
∂y 2 + ∂2 v
∂z 2 0.
Tačiau
∂ 2 v
∂x 2 + ∂2 v
∂y 2 + ∂2 v
∂z 2 = ∂2 u
∂x 2 + ∂2 u
∂y 2 +
∂ 2 u
∂z 2 + M − m ( ∂
2
)
2d 2 ∂x 2 + ∂2
∂y 2 + ∂2
∂z 2 (x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 + (z − z 0 ) 2 =
0 + M − m
2d 2 (2 + 2 + 2) > 0.
Taigi gavome prieštaravimą, kad M > m.

5.3. PUASONO FORMULĖ 45
5.3 Puasono formulė
Tarkime, kad harmoninės funkcijos u(x,y) reikšmės apskritimo x = R cos θ,
y = R sin θ taškuose apibrėžtos funkcija ϕ(θ), 0 θ < 2π. Tada funkcija u
išreiškiama Puasono integralu:
u(x,y) = 1 ∫ 2π
R 2 − x 2 − y 2
2π R 2 − 2R(xcos θ + y sin θ) + x 2 ϕ(θ)dθ. (5.4)
+ y2 0
Pateiksime kitą (5.4) formulės pavidalą:
u(ρcos ω,ρsin ω) = 1 ∫ 2π
R 2 − ρ 2
2π R 2 ϕ(θ)dθ. (5.5)
− 2Rρcos(θ − ω) + ρ2 5.4 Grino funkcijų metodas
0
Tarkime, kad M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) yra fiksuotas srities T taškas. Pažymėkime šio
taško atstumą nuo bet kurio srities T taško M(x,y,z):
√
r = (x − x 0 ) 2 + (x − x 0 ) 2 + (x − x 0 ) 2
Patikrinkime, kad funkcija w(x,y,z) = 1 r
lygties ∆w = 0 sprendinys.
∂r
∂x = x − x 0
,
r
∂w
∂x = −x − x 0
r 3 ,
yra harmoninė, t. y. Laplaso
∂ 2 w
∂x 2 = 2(x − x 0 )2 − (y − y 0 ) 2 − (z − z 0 ) 2
r 5 ,
Pažymėkime ˜w harmoninę funkciją esant kraštinėms sąlygoms:
˜w| Σ
= w| Σ
.
Grino G funkcija vadinamas funkcijų ˜w ir w skirtumas:
G(x,y,z;x 0 ,x 0 ,x 0 ) = ˜w − 1 r .
Pastebėkime, kad G| Σ
= 0.

46 SKYRIUS 5. ELIPSINĖS LYGTYS
5.4.1 Grino formulė Dirichlė uždaviniui
Tarkime, kad žinoma Grino funkcija ir ϕ(x,y,z) harmoninės funkcijos u(x,y,z)
reikšmės srities T sienos Σ taškuose. Tada srities vidiniuose taškuose funkcijos
u reikšmės lygios
u(x 0 ,y 0 ,z 0 ) = 1
4π
∮ ∮
Σ
ϕ(x,y,z) ∂G
∂⃗n dσ
Plokštumoje Grino formulė užrašoma taip
u(x 0 ,y 0 ) = 1 ∮
ϕ(x,y) ∂G
2π ∂⃗n dσ
Σ