Geometrija(Tiesės

1.6 Plok²tumos tieses, einan£ios per du duotus ta²kus lygtisPlok²tomos tieses, einan£ios per du duotus ta²kus M 0 (x 0 , y 0 ) ir M 1 (x 1 , y 1 )lygtis:(1.20)x − x 0x 1 − x 0= y − y 0y 1 − y 0.1.7 Kryptines plok²tumos tiesiu lygtysJei plok²tumos tieses Ax + By + C = 0 koecientas B ≠ 0, tai ²i¡ ties¦ galimauºra²yti kryptine tieses lygtimi:(1.21) y = kx + b.ƒia koecientas k = tg α, o α kampas, kuri tiese sudaro su x a²imi. O jeikoecientas A ≠ 0, tai ties¦ galima uºra²yti kryptine tieses lygtimi:(1.22) x = lx + c.ƒia koecientas l = tg β, o β kampas, kuri tiese sudaro su y a²imi.1.8 Kampai tarp plok²tumu ir plok²tumos tiesiuTarkime, turime dvi plok²tumas A 1 x+B 1 y +C 1 z +D 1 = 0 ir A 2 x+B 2 y +C 2 z +D 2 = 0. Tegul ϕ yra kampas tarp ²iu plok²tumu. Vektoriai −→ n 1 = (A 1 , B 1 , C 1 ) ir−→ n 2 = (A 2 , B 2 , C 2 ) yra statmeni ²ioms plok²tumoms ir kampas tarp ²iu vektoriuyra lygus kampui tarp plo²tumu. I² vektoriu skaliarines sandaugos savybiui²plaukia, kad kampo tarp plok²tumu kosinusas(1.23) cos ϕ =A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C√ 2A21 + B1 2 + √ C2 1 A22 + B2 2 + .C2 2Sakykime, turime dvi tieses A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ir A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.Tegul α yra kampas tarp ²iu tiesiu. Visi²kai analogi²kai gautume, kad kampotarp plok²tumos tiesiu kosinusas(1.24) cos α =A 1 A 2 + B 1 B√ √ 2.A21 + B12 A22 + B221.8.1 Plok²tumu ir plok²tumos tiesiu statmenumasI² kampo tarp plok²tumu (1.23) formules gausime, kad plok²tumu A 1 x+B 1 y+C 1 z + D 1 = 0 ir A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 statmenumo s¡lyga yra tokia:(1.25) A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0.I² (1.24) formules gausime plok²tumos tiesiu A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0ir A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 statmenumo s¡lyg¡:(1.26) A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0.5

1.8.2 Plok²tumu ir plok²tumos tiesiu lygiagretumasKad plok²tumos A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 ir A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 b©utulygiagre£ios reikia, kad ir vektoriai −→ n 1 = (A 1 , B 1 , C 1 ) ir −→ n 2 = (A 2 , B 2 , C 2 )b©utu lygiagret©us, t.y., kad ju koordinates b©utu proporcingos. Taigi, plok²tumuA 1 x+B 1 y +C 1 z +D 1 = 0 ir A 2 x+B 2 y +C 2 z +D 2 = 0 lygiagretumo s¡lyga:(1.27)A 1A 2= B 1B 2= C 1C 2.Plok²tumos tiesiu A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ir A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 lygiagretumos¡lyga:(1.28)A 1A 2= B 1B 2.1.9 Tieses parametrine lygtis1.9.1 Vektorine formaPradekime nuo tieses erdveje. Erdvines tieses padetis koordina£iu sistemosOxyz atºvilgiu yra visi²kai apibreºta, jei ºinomas• vienas jos ta²kas, tarkime, M 0 (x 0 , y 0 , z 0 );• lygiagretus tiesei vektorius, tarkime, −→ s = (m, n, p).Tegul M(x, y.z) yra bet kuris tieses ta²kas. Tuomet vektorius −−−→ M 0 M yralygiagretus (ir proporcingas) vektoriui −→ s . Taigi−−−→M 0 M = t −→ s .I² vektoriu sumos savybiu i²-Tegul O yra koordina£iu pradºios ta²kas.plaukia, kad(1.29)Paºymekime −→ r = −−→ OM, −→ r 0taip:−−→OM = −−−→ OM 0 + −−−→ M 0 M.(1.30) −→ r =−→ r0 + t −→ s .= −−−→ OM 0 . Tuomet (1.47) lygyb¦ galesime perra²ytiTai ir yra tieses parametrine lygtis vektorine forma.(1.48) lygtis teisinga ir plok²tumos tiesei. Uºtenka pakartoti tuos pa£iussamprotavimus, tik vektoriai −→ r , −→ r 0 ir −→ s tures po dvi koordinates.1.9.2 Koordinatine formaSulygin¦ vektorines (1.48) lygties abieju pusiu koordinates gausime(1.31)⎧⎪⎨ x = x 0 + mt,y = y 0 + nt,⎪⎩z = z 0 + pt.6

Tai yra tieses erdveje parametrine lygtis koordinatine forma.Tieses plok²tumoje parametrine lygtis koordinatine forma tokia:(1.32){x = x 0 + mt,y = y 0 + nt.1.10 Tieses kanonines lygtysI² (1.31) lyg£iu i²rei²k¦ parametr¡ t ir sulygin¦ gautas i²rai²kas, turesime(1.33)x − x 0m = y − y 0= z − z 0.n pTai tieses erdveje kanonines lygtys.Plok²tumos tieses kanonine lygtis:(1.34)x − x 0m = y − y 0.n1.11 Bendroji tieses lygtis erdvejeTiese erdveje gali b©uti gaunama susikertant dviem plok²tumoms. Todel bendrojitieses lygtis erdveje:(1.35){A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0,A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.1.12 Kampai tarp tiesiu, kai tieses duotos kanoninemislygtimisPradekime nuo erdviniu tiesiu:(1.36)irx − x 1m = y − y 1= z − z 1n p(1.37)x − x 2m = y − y 2= z − z 2.n pKampu tarp dvieju tiesiu erdveje vadinamas kampas tarp susikertan£iu jomslygiagre£iu vektoriu. Taigi, kampas α tarp erdviniu tiesiu, kai tieses duotoskanoninemis lygtimis gali b©uti surastas naudojantis formule:(1.38) cos α =Jei turime tieses plok²tumoje:m 1 m 2 + n 1 n 2 + p 1 p√ 2m21 + n 2 1 + √ p2 1 m22 + n 2 2 + .p2 2(1.39)x − x 1m = y − y 1n7

irx − x(1.40)2m = y − y 2,ntai, kampas α tarp plok²tumos tiesiu, kai tieses duotos kanoninemis lygtimisgali b©uti surastas naudojantis formule:(1.41) cos α =m 1 m 2 + n 1 n√ √ 2.m21 + n 2 1 m22 + n 2 21.12.1 Tiesiu lygiagretumasErdves tiesiu, apibreºtu (1.36) ir (1.37) lygtimis, lygiagretumo s¡lyga:(1.42)m 1m 2= n 1n 2= p 1p 2.Plok²tumos tiesiu, apibreºtu (1.39) ir (1.40) lygtimis, lygiagretumo s¡-lyga:(1.43)m 1m 2= n 1n 2.1.12.2 Tiesiu statmenumasErdves tiesiu, apibreºtu (1.36) ir (1.37) lygtimis, statmenumo s¡lyga:(1.44) m 1 m 2 + n 1 n 2 + p 1 p 2 = 0.Plok²tumos tiesiu, apibreºtu (1.39) ir (1.40) lygtimis, statmenumo s¡-lyga:(1.45) m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0.1.13 Kampas tarp tieses ir plok²tumosPirma suraskime kamp¡ θ (θ ∈ [0, π)), tarp tieseix − x 0m = y − y 0= z − z 0n plygiagretaus vektoriaus −→ s = (m, n, p) ir plok²tumaiAx + By + Cz + D = 0statmeno vaktoriaus −→ n = (A, B, C). To kampo kosinusascos θ =Am + Bn + Cp√A2 + B 2 + C 2 √ m 2 + n 2 + p 2 .Tarkime, α yra kampas tarp tieses ir plok²tumos. Ai²ku, kad α ∈ [0, π/2].Beto⎧⎨πα = 2 − θ, jei [0, θ ∈ π ],2⎩θ − π 2 , jei ( π)θ ∈ 2 , π .8

[Jeigu θ ∈ 0, π ] ( π)( π), tai sin α = cos22 − α = cos θ. Jeigu θ ∈2 , π , tai( π)sin α = cos2 − α = cos(π − θ) = − cos θ. Taigi kampo tarp tieses irplok²tumos sinusas(1.46) sin θ =|Am + Bn + Cp|√A2 + B 2 + C 2 √ m 2 + n 2 + p 2 .1.13.1 Tieses ir plok²tumos lygiagretumasI² (1.46) formules gauname Tieses ir plok²tumos lygiagretumo s¡lyg¡:(1.47) Am + Bn + Cp = 0.1.13.2 Tieses ir plok²tumos statmenumasTiese statmena plok²tumai, kai vektoriai −→ n ir −→ s lygiagret©us, t.y. ju koordinatesproporcingos. Tieses ir plok²tumos statmenumo s¡lyg¡:(1.48)Am = B n = C p .1.14 Ta²ko atstumas nuo plok²tumos ir nuo tieses plok²tumojeTa²ko M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) atstumas nuo plok²tumos Ax + By + Cz + D = 0 yralygus(1.49) d = |Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D|√A2 + B 2 + C 2 .Ta²ko M 0 (x 0 , y 0 ) atstum¡ nuo plok²tumos tieses Ax + By + C = 0galima surasti naudojantis formule:(1.50) d = |Ax 0 + By 0 + C|√A2 + B 2 .2 ANTROSIOS EIL ES KREIV ES2.1 ElipseApibreºimas. Elipse vadinama geometrine vieta plok²tumos ta²ku, tokiu, kadatstumu nuo kiekvieno i² ju iki dvieju pastoviu plok²tumos ta²ku suma yra pastovi.Du pastov©us ta²kai, minimi elipses apibreºime, vadinami elipses ºidiniais.I²vesime elipses koordinatin¦ lygti, kai elipses ºidiniai guli x a²yje ir yra vienodainutol¦ nuo koordina£iu centro O(0, 0) per atstum¡ c. šidinius paºymekimeF 1 (−c, 0) ir F 2 (c, 0). Atstumas tarp ºidiniu bus lygus 2c. Elipses ta²kus ºymekime9

M(x, y). Tarkime, kad atstumu nuo elipses ta²ko iki ºidiniu suma (ji pastovi)lygi 2a. Ai²ku ²i suma turi b©uti nemaºesne uº atstum¡ tarp ºidiniu, t.y. 2c ≤ 2a.I² elipses apibreºimo turimeF 1 M + F 2 M = 2a.Atkarpu ilgius uºra²¦ per koordinates gausime√(x + c)2 + y 2 + √ (x − c) 2 + y 2 = 2a.Pakel¦ abi lygties puses kvadratu turesimex 2 + 2cx + c 2 + y 2 + 2 √ (x + c) 2 + y 2√ (x − c) 2 + y 2 + x 2 − 2cx + c 2 + y 2 = 4a 2 .Arba suprastinusx 2 + c 2 + y 2 − 2a 2 = − √ (x + c) 2 + y 2√ (x − c) 2 + y 2 .Dar kart¡ pakeliame kvadratu:x 4 + c 4 + y 4 + 4a 4 + 2x 2 c 2 + 2x 2 y 2 − 4x 2 a 2 + 2c 2 y 2 − 4c 2 a 2 − 4y 2 a 2Suprastiname:= (x 2 + 2cx + c 2 + y 2 )(x 2 − 2cx + c 2 + y 2 )= x 4 − 2cx 3 + x 2 c 2 + x 2 y 2 + 2cx 3 − 4c 2 x 2 + 2c 3 x + 2cxy 2+ c 2 x 2 − 2c 3 x + c 4 + c 2 y 2 + x 2 y 2 − 2cxy 2 + c 2 y 2 + y 4 .(a 2 − c 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 − c 2 ).Kai a > c galime abi lygties puses dalinti i² a 2 (a 2 − c 2 ). Ived¦ paºymejim¡b 2 = a 2 − c 2 galutinai gausime elipses kanonin¦ lygti:(2.1)x 2a 2 + y2b 2 = 1.Kai a = c, turime ne elips¦, o tik atkarp¡: −c ≤ x ≤ c, y = 0.Ta²kas O(0, 0) yra elipses (2.1) centras. Past©um¦ elips¦ taip, kad jos centrasatsidurtu ta²ke C(x 0 , y 0 ), gausime toki¡ elipses kanonin¦ lygti:(2.2)(x − x 0 ) 2a 2 + (y − y 0) 2b 2 = 1.Taigi ta²kas C(x 0 , y 0 ) vadinamas elipses centru. Ta²kai V x1 (x 0 +a, y 0 ), V x2 (x 0 −a, y 0 ), V y1 (x 0 , y 0 + b), V y2 (x 0 , y 0 − b) elipses vir²©unemis. Atkarpa V x1 V x2didºi¡ja a²imi, o atkarpa V y1 V y2 maº¡ja a²imi. a ir b yra didºiojo ir maºojopusa²iu ilgiai. Ta²kai F 1 (x 0 − c, y 0 ) ir F 2 (x 0 + c, y 0 ) vadinami elipses ºidiniais.Kai a = b elipse virsta apskritimu. Jeigu b > a elipse yra i²t¦stay a²ies kryptimi ir ºidiniai bus i²sidest¦ vertikaliai. Tieses x = x 0 ir y = y 0vadinamos elipses simetrijos a²imis. Skai£ius ε = c vadinamas elipses ekscentricitetu.Elipses ekscentricitetas visuomet yra maºesnis uº 1 ir parodoakiek elipse skiriasi nuo apskritimo. Kai ε = 0 elipses ºidiniai sutampa, patielipse tampa apskritimu.10

2.1.1 Elipses parametrine lygtisIved¦ parametr¡ t elipses (2.1) kanonin¦ lygti galime uºra²yti taip:(2.3){x = a cos t,y = b sin t,(t ∈ [0, 2π)),o (2.2) kanonin¦ lygti taip:(2.4){x = x 0 + a cos t,y = y 0 + b sin t,(t ∈ [0, 2π)),(2.3) ir (2.4) lygtys vadinamos elipses parametrinemis lygtimis.2.2 HiperboleApibreºimas. Hiperbole vadinama geometrine vieta plok²tumos ta²ku, tokiu,kad atstumu nuo kiekvieno i² ju iki dvieju pastoviu plok²tumos ta²ku skirtumomodulis yra pastovus.Du pastov©us ta²kai, minimi hiperboles apibreºime, vadinami hiperbolesºidiniais.I²vesime hiperboles koordinatin¦ lygti, kai hiperboles ºidiniai guli x a²yjeir yra vienodai nutol¦ nuo koordina£iu centro O(0, 0) per atstum¡ c. šidiniuspaºymekime F 1 (−c, 0) ir F 2 (c, 0). Atstumas tarp ºidiniu bus lygus 2c. Hiperbolesta²kus ºymekime M(x, y). Tarkime, kad atstumu nuo hiperboles ta²ko ikiºidiniu skirtumas (jo modulis pastovus) lygus ±2a. ’io skirtumo modulis turib©uti nedidesnis uº atstum¡ tarp ºidiniu, t.y. 2c ≥ 2a.I² hiperboles apibreºimo turimeF 1 M − F 2 M = ±2a.Atkarpu ilgius uºra²¦ per koordinates gausime√(x + c)2 + y 2 − √ (x − c) 2 + y 2 = ±2a.Pakel¦ abi lygties puses kvadratu turesimex 2 + 2cx + c 2 + y 2 − 2 √ (x + c) 2 + y 2√ (x − c) 2 + y 2 + x 2 − 2cx + c 2 + y 2 = 4a 2 .Arba suprastinusx 2 + c 2 + y 2 − 2a 2 = √ (x + c) 2 + y 2√ (x − c) 2 + y 2 .Dar kart¡ pakeliame kvadratu:x 4 + c 4 + y 4 + 4a 4 + 2x 2 c 2 + 2x 2 y 2 − 4x 2 a 2 + 2c 2 y 2 − 4c 2 a 2 − 4y 2 a 2= (x 2 + 2cx + c 2 + y 2 )(x 2 − 2cx + c 2 + y 2 )= x 4 − 2cx 3 + x 2 c 2 + x 2 y 2 + 2cx 3 − 4c 2 x 2 + 2c 3 x + 2cxy 2+ c 2 x 2 − 2c 3 x + c 4 + c 2 y 2 + x 2 y 2 − 2cxy 2 + c 2 y 2 + y 4 .11

Suprastiname:(c 2 − a 2 )x 2 − a 2 y 2 = a 2 (c 2 − a 2 ).Kai a < c galime abi lygties puses dalinti i² a 2 (c 2 − a 2 ). Ived¦ paºymejim¡b 2 = c 2 − a 2 galutinai gausime hiperboles kanonin¦ lygti:(2.5)x 2a 2 − y2b 2 = 1.Kai a = c, turime ne hiperbol¦, o tik dvi pustieses: x ≤ −c, y = 0 irx ≥ c, y = 0.Ta²kas O(0, 0) yra hiperboles (2.1) simetrijos centras. Past©um¦ hiperbol¦taip, kad jos simetrijos centras atsidurtu ta²ke C(x 0 , y 0 ), gausime toki¡ hiperboleskanonin¦ lygti:(2.6)(x − x 0 ) 2a 2 − (y − y 0) 2b 2 = 1.Taigi ta²kas C(x 0 , y 0 ) vadinamas hiperboles simetrijos centru. Ta²kaiV x1 (x 0 + a, y 0 ), V x2 (x 0 − a, y 0 ) hiperboles vir²©unemis. Ta²kai F 1 (x 0 − c, y 0 )ir F 2 (x 0 + c, y 0 ) vadinami hiperboles ºidiniais. Tieses x = x 0 ir y = y 0 vadinamoshiperboles simetrijos a²imis. Skai£ius ε = c vadinamas hiperbolesaekscentricitetu. Hiperboles ekscentricitetas visuomet yra didesnis uº 1. Tiesesy = y 0 ± b a (x − x 0)vadinamos hiperboles asimptotemis. Hiperboles grakas, kai x → ±∞ artejaprie ²iu tiesiu.Lygtis(2.7) − (x − x 0) 2a 2 + (y − y 0) 2b 2 = 1.taip pat yra hiperboles kanonine lygtis. Tik ²ios hiperboles ºidiniai irvir²©unes i²sides£iusios vertikaliai, o ²akos nukreiptos y a²ies teigiama ir neigiamakryptimis.2.3 ParaboleApibreºimas. Prabole vadinama geometrine vieta plok²tumos ta²ku, kuriuatstumai nuo pastovaus ta²ko ir pastovios tieses yra lyg©us.Pastovus ta²kas, minimas paraboles apibreºime, vadinamas paraboles ºidiniu,o pastovi tiese paraboles direktrise.I²vesime paraboles koordinatin¦ lygti, kai paraboles ºidinys guli x a²yje(teigiamoje dalyje), direktrise statmena x a²iai ir abu vienodai nutol¦ nuokoordina£iu centro O(0, 0) per atstum¡ p/2. šidini paºymekime F (p/2, 0).Atstumas tarp ºidinio ir direktrises bus lygus p. Paraboles ta²kus ºymekimeM(x, y). Direktrises ta²kai gali b©uti ºymimi D(−p/2, y).I² paraboles apibreºimo turimeF M = MD.12

Atkarpu ilgius uºra²¦ per koordinates gausime√ (x − p ) 2+ y2 = x + p 22 .Pakel¦ abi lygties puses kvadratu turesimex 2 − px + p24 + y2 = x 2 + px + p24 .Suprastin¦ gauname paraboles kanonin¦ lygti:(2.8) y 2 = 2px.Kai a = c, turime ne hiperbol¦, o tik dvi pustieses: x ≤ −c, y = 0 irx ≥ c, y = 0.Ta²ke O(0, 0) yra paraboles (2.8) vir²©une. Past©um¦ parabol¦ taip, kad josvir²©une atsidurtu ta²ke V (x 0 , y 0 ), gausime toki¡ paraboles kanonin¦ lygti:(2.9) (y − y 0 ) 2 = 2p(x − x 0 ).Taigi ta²kas V (x 0 , y 0 ) vadinamas paraboles vir²©une. Ta²kas F (x 0 +p/2, y 0 )vadinamas paraboles ºidiniu. Tiese x = x 0 −p/2 vadinama paraboles direktrise.Tiese y = y 0 yra paraboles simetrijos a²is. Skai£ius ε = 1 vadinamasparaboles ekscentricitetu.Lygtys(2.10) (y − y 0 ) 2 = −2p(x − x 0 ),(2.11) (x − x 0 ) 2 = 2p(y − y 0 ),(2.12) (x − x 0 ) 2 = −2p(y − y 0 )taip pat yra paraboliu kanonines lygtys. Tik ²iu paraboliu ²akos nukreiptosneigiama x a²ies kryptimi, teigiama y a²ies kryptimi, neigiama y a²ies kryptimi,o simetrijos a²ys yra tieses y = y 0 , x = x 0 , x = x 0 , atitinkamai.2.4 Antrosios eiles kreiviu lygties tyrimasAlgebrines kreives klasikuojamos pagal ju lyg£iu laipsnius. Bendriausia antrojolaipsnio lygties forma:(2.13) a 11 x 2 + a 12 xy + a 22 y 2 + a 10 x + a 20 y + a 00 = 0.Bent vienas i² koecientu a 11 , a 12 , a 22 neturi b©uti lygus nuliui, nes prie²inguatveju turesime pirmos eiles lygti (apibreºian£i¡ plok²tum¡). Bet kuri antroseiles lygtis apibreºia elips¦, hiperbol¦, parabol¦. I²imtiniais atvejais tai gali b©utitiese, dvi lygiagre£ios tieses, dvi susikertan£ios tieses, ta²kas ir net tu²£ia aibe.Panagrinesime visus atvejus.13

Pasukant koordina£iu sistem¡ (del laiko ir ºiniu tr©ukumo mes to nedarysime)galima panaikinti antr¡ji lygties nari a 12 xy. Po to, i²skiriant piln¡ kvadrat¡ iratitinkamai pastumiant koordina£iu sistem¡, galima panaikinti pirmojo laipsnionari a 10 x, jei a 11 ≠ 0, ir pirmojo laipsnio nari a 20 y, jei a 22 ≠ 0. Tokiaproced©ura visi²kai nesunki. Po tokiu operaciju turesime paprastesn¦ lygti, kuri¡ir patyrinesime. Tai b©utu viena i² lyg£iu:(2.14) Ax 2 + By 2 + C = 0, A ≠ 0 arba B ≠ 0,(2.15) Ax 2 + Dy + C = 0, A ≠ 0,(2.16) By 2 + Ex + C = 0, B ≠ 0.Tarkime, kad (2.14) lygtyje A > 0. Tuomet (2.14) lygtis apibreºia:• elips¦, jei B > 0, C < 0;• ∅, jei B > 0, C > 0;• ta²k¡, jei B > 0, C = 0;• hiperbol¦, jei B < 0, C ≠ 0;• dvi susikertan£ias tieses, jei B < 0, C = 0;• dvi lygiagre£ias tieses, jei B = 0, C < 0;• ties¦, jei B = 0, C = 0;• ∅, jei B = 0, C > 0.Kai koecientas B > 0, galime nagrineti analogi²kai.Nemaºindami bendrumo galime laikyti, kad (2.15) lygties koecientas A > 0.Prie²ingu atveju lygti galima padauginti i² −1. (2.15) lygtis apibreºia:• parabol¦, jei D ≠ 0;• dvi lygiagre£ias tieses, jei D = 0, C < 0;• ties¦, jei D = 0, C = 0;• ∅, jei D = 0, C > 0.(2.16) lygti galime nagrineti analogi²kai kaip ir (2.15).3 ANTROSIOS EIL ES PAVIR’IAI’iame skyrelyje pateiksime tik kai kuriu paprastesniu antros eiles pavir²iu analizinesi²rai²kas.Apibreºimas. Pavir²ius, kuri sudaro plok²£i¡ja kreive judedama tiese, kai josvienas ta²kas lieka pastovus, vadinamas k©uginiu pavir²iumi.Apibreºimas. Pavir²ius, kuri sudaro plok²£i¡ja kreive lygiagre£iai judedamatiese, vadinamas cilindriniu pavir²iumi.14

Apibreºimas. Pavir²ius, gaunamas sukant kreiv¦ apie ties¦ (taip, kad kreivesta²kai breºtu apskritimus, statmenus tai tiesei, ir apskritimu centrai guletutoje tieseje), vadinamas sukimosi pavir²iumi. Minima tiese vadinama sukimosia²imi.x(3.1)2a 2 + y2b 2 − z2c 2 = 0 tai antrosios eiles k©ugio lygtis. Koordina£iu pradºios ta²kas O yra ²io k©ugiosimetrijos centras, o koordina£iu plok²tumos xy, xz, yz pavir²iaus simetrijosplok²tumos.x(3.2)2a 2 + y2a 2 + z2c 2 = 1 tai sukimosi elipsoidas. Sukimosi a²is yra z a²is.Tria²is elipsoidas:x(3.3)2a 2 + y2b 2 + z2c 2 = 1.Viena²akis sukimosi hiperboloidas:(3.4)Sukimosi a²is yra z a²is.Viena²akis hiperboloidas:x 2a 2 + y2a 2 − z2c 2 = 1.x(3.5)2a 2 + y2b 2 − z2c 2 = 1.Dvi²akis sukimosi hiperboloidas:(3.6)Sukimosi a²is yra x a²is.Dvi²akis hiperboloidas:(3.7)Sukimosi paraboloidas:x 2a 2 − y2c 2 − z2c 2 = 1.x 2a 2 − y2b 2 − z2c 2 = 1.(3.8) x 2 + y 2 = 2pz.Sukimosi a²is yra z a²is.Elipsinis paraboloidas:(3.9)(3.10)Hiperbolinis paraboloidas:x 2p + y2= 2z, pq > 0.qx 2p − y2= 2z, pq > 0.q15