Skyrius 3 Bulio funkcijos - techmat.vgtu.lt

2 SKYRIUS 3. BULIO FUNKCIJOSApibrėžimaiBulinės ¢ £ ¥§¢ ¨ ¥¥§¢ funkcijos ¢¡ £¢¥¤¦¢¨§ kintamasis vadinamas fiktyviuoju,jei visoms kintamuj ˛ u ¢¤£ ˛ , ¢ © £ , ¢ £ , , ¢© , reikšmėms¦¥§¢ © £¥ ¥§¢ £¦¥ ¥§¢ © £¥¦¡¥§¢ £¦¥ Kintamieji, kurie nėra fiktyvieji vadinami esminiais.3.1.2 Vieno kintamojo Bulio funkcijosVieno ¢ kintamojo Bulio funkciju ¢ ˛ yra tik keturios:¢ ¢ ¡ ¢¡ ¡¡ ¡ ¡Taigi funkcijos ¢ ir ¢ ¡ yra konstantos ir ¢ šiuo atveju yra fiktyvusiskintamasis. Kitos dvi funkcijos išreiškiamos kintamuoju ¢ arba jo neigimu¢ : ¢ ¢ , ¢ ¢ ir šioms funkcijoms ¢ yra esminis kintamasis.3.1.3 Dvieju˛kintamuj ˛ u˛Bulio funkcijosIšnagrinėkime dvieju˛kintamuj ˛ u˛bulinę funkcij ¢ £¥§¢ ¨ a˛. Kadangi kintamiejiįgyja tik ¥¦¡ dvi reikšmes ir funkcijos reikšmiu˛irgi yra tik dvi, tai egzistuoja lygiaiskirtingu˛dvieju˛kintamuj ˛ u˛buliniu˛funkciju. ˛ Surašykime visas jas į lentelę.¡¢ ¨ £ ¨ ¢£¡ ¡ ¡¡¡ ¡ ¡ ¡¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡¢ ¨ £ £§£ £ ¨ £ £! £ ¢£¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

Funkcijos ir £ yra konstantos: , £ ¡ . Funkcija £ ¢©¨£ ¨ § ¢©¨ ¢©¨ ¤ ¢£ ¢ £ ¤ ¢©¨ ¢ £ § ¢©¨ ¡ ¢ £ § ¢ ¨ ¢ £ ¡ ¢©¨¢£3.1. BENDROSIOS SAVOKOS ˛33.1.4 Funkciju˛reiškimas formulėmisnepriklauso nuo ¢¤£ kintamojo , o £ ¨ ¢ £ funkcija – ¢ ¨ nuo . Funkcijos £ irneturi esminiu˛kintamųju. ˛ Funkciju £ ˛ £ ¨ ir esminiai kintamieji ¢ ¨ yra ¢ £ ir , ofiktyvieji ¢ £ – ¢ ¨ ir . Funkcijos , , , £§£ , £ , £! , išreiškiamos apibrėžtomis ?? skyriuje(?? psl.) operacijomis: £§£ £ £!£ ¢ ¨ ¢ £ ¡ ¢ ¨ ¢ £¢ ¢ ¨ ¢ £¥¤ ¢ ¨ ¢ ¨¦¤ ¢ £ ¢ £¨§ ¢ ¨¢Funkcijos ¨ , , išreiškiamos taip:?? skyriuje (žr. ?? psl.) buvo minėta funkcija © , kuri vadinama sudėtimi moduliudu. Galima įrodyti (pakanka sudaryti teisingumo lentelę), kadSusitarkime rašyti lygybės ženkla ( ˛ ), kai tą pačia˛bulinę funkcija˛reiškiame skirtingomisformulėmis. Taigi¢ £ © ¢ ¨ ¢ §¢ £§ ¢ ¨ ¡ ¢ £§ ¢ ¨ § ¢ £¥§¢ ¨ ¢ £¨© ¢ ¨ ¢ £ § ¢©¨¦ ¡ ¢ £ § ¢©¨¦ £ Funkcija yra vadinama Pyrso 2 rodykle ir žymima :£ ¢ £ ¥§¢ ¨ ¢ £ ¢ ¨ ¢ £¨§ ¢ ¨ ¢ £ ¡ ¢ ¨ Funkcija žymima ir vadinama Šeferio 3 brūkšneliu:Teorema Bet kuri loginė formulė gali būti užrašyta, taikant tik viena˛loginęoperacija ˛ arba .¢£¥§¢©¨ ¢£¢ ¨ ¢ £ ¡ ¢ ¨ ¢ £ § ¢ ¨Įrodymas. Užtenka įsitikinti, kad neigimas išreiškiamas ¢ ¢ ¢¢ taip: . Tada. Disjunkcija˛išreiškiame, taikant šias formules ir de¢ ¡ ¢ §¢ ¢ §Morgano dėsnį (arba žr. formules (D1) – (D3), ?? psl.) Pastebėję, ¢ ¢kad ¢ ¡ , gauname įrodym ˛a Pirso rodyklei.2 Charles Peirce (1839 – 1914) – amerikiečių matematikas, filosofas ir logikas.3 Henry Sheffer (1883 – 1964) – amerikiečių logikas.

¡ ¢ ¡ 4 SKYRIUS 3. BULIO FUNKCIJOS3.2 Dualumo principas3.2.1 Dualioji funkcijaApibrėžimas £¢ £¦¥§¢ ¨¥¦¥§¢ Funkcija yra vadinama duali ˛¢ £¦¥§¢©¨¥¥§¢ , jei ¨aja funkcijai£ ¢ £ ¥§¢ ¨ ¥¥§¢ ¨ ¢ £ ¥ ¢ ¨ ¥¥ ¢ Pavyzdžiui, ¡ funkcijos dualioji yra funkcija ¢ ¡ ¢ § ¢ : ,Pastebėkime, kad¡ ¢ ¢ § ¢ ¢ ¡ ¢ ¢ ¡ ¢ ¨ ¢£ ¥§¢ ¨¥¥§¢© ¨ ¢ £ ¥ ¢ ¨¥¥ ¢© £ ¢ £ ¥ ¢ ¨¥¦¥ ¢ Taigi jei funkcija £ yra dualioji funkcijai ¨ , tai ir funkcija ¨ yra dualioji funkcijai £ . Pavyzdžiui, kai £ ¢¥ ¢ § ir ¨ ¢ ¥ ¢ ¡ turime£ ¢¥ ¢ § ¢ ¡ ¢ ¡ ¨ ¢ ¥ ¥¨ ¢¥ ¢ ¡ ¢ § ¢ § £¢ ¥ ¢ £ ¥§¢ ¨¥¥§¢ Funkcijos dualiaj ˛ a˛funkcija ¢¤£¥¥ ¢© ˛žymėsime¢ £¦¥¦¥§¢© . Tada £ ¢¥ ¨ ¢¥ ir ¨ ¢¥ pavidalu: £¢¥ . Arba bendru3.2.2 Dualumo principasTarkime, kad funkcijosir £Tada galioja dualumo principas: funkcijosyra £Pavyzdys£ ¨¥¥£ dualioji yra £ £¥ ¨¥¦¥ ¥¤ ¥¤ £¥£¦¥§¢ ¨¥¥§¢© , § ¡¥©¨ ¥¥¢ yra dualiosios funkciju˛ ¦ ¢ £¦¥§¢ ¨¥¥§¢© .¦ ¢¥§¢ ¨ ¥¥§¢ dualioji funkcija¢ £¤ ¢ £¥§¢ ¨¥¥§¢ § . £ ¢ £¥§¢©¨¥¥§¢ ¥ ¨ ¢£¥§¢©¨¥¥§¢© ¥¥ Funcijos ¥¢ § dualioji yra £ ¥¢ § ¡ . Funkcių ¤¢ ¢ £ ir dualiosios ¢ ¢ ¢ yra , . Taigi funkcijos £ £¤¢ ¥¢ § dualioji yra £ ¢¥ £ ¢ ¥¢ § ¢ ¡ . ¢¥ ¢ £¦¥¥§¢ Dualiosios funkcijos teisingumo lentelę, gauname iš funkcijosteisingumo lentelės, keisdami visus ir ¡ vietomis.£¥¥§¢© ¢

£ ¢ ¨ ¢ ¢ £ ¥§¢ ¨ ¥§¢ ¢¡¡3.2. DUALUMO PRINCIPAS 5Pavyzdys£ ¢©¨ ¢ ¢£¥§¢©¨¥§¢ ¢ £ ¢©¨ ¢ ¢£ ¥§¢ ¨¥§¢ ¢¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡¡ ¡ ¡¡¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡Taigi rašydami Bulio kintamuj ˛ u˛rinkinius įprastinėse vietose, gauname¡ ¡ ¡¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡Apibrėžimas¢£¥¦¥§¢ Funkcija vadinama savidualiaja, ˛ kai¢ £¥¥§¢© ¢ £¥¥§¢© Pavyzdžiui, ¢¥ ¥¡ ¢ ¡ § ¢ ¡ § ¡funkcija yra savidualioji. Išnagrinėtamepavyzdyje yra jos teisingumo lentelė.Tarkime, kad funkcija ¢ £¥¥§¢© išreikšta formule, kurioje yra kintamiejibei jų neigimai ir keturios operacijos: , ¡ , ¡ , § . Tada funkcija ¢£¥¥§¢ išreiškama formule, gaunama, pekeitus1) į ¡ ;2) ¡ į ;3) ¡ į § ;4) § į ¡ .Pavyzdys ¢£¥§¢ ¨ ¢ £ ¡ ¢ ¨ § ¢ £ ¡ ¢ ¨ , ¢£¥§¢©¨ ¢£ § ¢©¨¦ ¡ ¢£ § ¢©¨¦ .

£¨¢¡6 SKYRIUS 3. BULIO FUNKCIJOS3.3 Normaliosios formos3.3.1 Disjunkcinės ir konjunkcinės formosPažymėkimeT. ¡©¨y. ir ¢§¦ ¢¥ kai ¢¥¤ .Pastebėkime dar, ¢ kadApibrėžimas¢ Formulė.¢¥£¢£¢¥£¢£¢ ¢ ¡ ¢ ¡ ¡ ¢vadinama elementariaja ˛ disjunkcija.¢ ¢ £¥¢©¨¥¥¢ Čia yra nulių ir vienetu˛rinkinys, o kai kurie ¢ kintamiejigali ir kartotis.Susitarkime, kad kartais gali būti praleistas disjunkcijos ženklas ( ). Taigi šiereiškiniai yra elementariosios konjunkcijos¡¡Formulės¢£ ¡ ¢¨ ¡ ¢ ¥¤¢ £ ¢ ¨ ¢ ¢ £ ¢©¨¥¤¢©¨ ¡ ¢ ¥¤¢ ¢ £ ¢©¨£ ¡ ¢ ¨ ¡ ¢ ¥ ¢ £ ¢ £ ¥ ¢ ¢ ¡ ¢ ¨ ¡ ¢ £¢nėra elementariosios konjunkcijos.ApibrėžimasElementariuj ˛ u˛konjunkciju˛disjunkcija vadinama disjunkcine normaliaja ˛ forma.Pavyzdžiui, šios formulės yra disjunkcinės normaliosios formos:Formulės¢ £ ¡ ¢ ¨£§ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¥¤¢ £ ¢ ¢ § ¢ ¨£§ ¢ ¡ ¡ ¡ ¢ § ¥ ¢ £ ¢ § ¢©¨ ¢ ¢£nėra disjunkcinės normaliosios formos.Tarkime, kad Bulio ¢¤£ ¥§¢ ¨¥¥§¢© funkcija išreikšta disjunkcine normali ˛ajaforma. Funkcija tapačiai lygi nuliui (yra prieštara) tada ir tik tada, kai kiekvienaelementarioji konjunkcija turi kurį nors kintamajį ¢ ˛ ir jo ¢ neiginį .ApibrėžimasElementarioji konjunkcija vadinama taisyklingaja, ˛ kai kiekvienas ¢kintamasisįeina į ją ne daugiau, kaip viena˛karta ˛ (t. y. skaičiuojant ir neiginius).Taigi šios formulės taisyklingosios elementariosios konjunkcijos¢ £ ¡ ¢ ¨ ¡ ¢ ¥ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢

3.3. NORMALIOSIOS FORMOS 7Šios elementariosios konjunkcijos nėra taisyklingosiosApibrėžimai¢ ¨ § § ¢ Formulė vadinama elementariaja ˛ disjunkcija.Elementariuj ˛ u˛disjunkciju˛konjunkcija vadinama konjunkcine normaliaja ˛ forma.¢©¨ ¡ ¢¨ ¡ ¢ ¥ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ § ¢ £Tarkime, kad Bulio ¢¤£¥§¢©¨¥¥§¢ funkcija išreikšta konjunkcine normaliąjaforma. Funkcija tapačiai lygi vienam (yra tautologija) tada ir tik tada, kaikiekviena elementarioji konjunkcija turi kurį nors kintamajį ¢ ˛ ir jo ¢ neiginį .Pavyzdžiui, šios formulės yra taisyklingosios elementariosios disjunkcinės formos£ § ¢ ¨ § ¢ ¥ ¢©¨ § ¢ § ¢ § ¢ ¢3.3.2 Tobuloji disjunkcinė normalioji formaApibrėžimasTaisyklingoji elementarioji konjunkcija (disjunkcija) vadinama pilnaja ˛ kintamuj ˛ u˛įeina į ją lygiai viena˛£ , ¢ ¨ , , ¢ atžvilgiu, jei kai kiekvienas kintamasis ¢¢karta ˛ (t. y. įeina arba ¢ kintamasis arba jo ¢ neiginys ).ApibrėžimasDisjunkcinė (konjunkcinė) normalioji forma vadinama tobulaja, ˛ kai visos ją sudarančioselementariosios konjunkcijos (disjunkcijos) yra pilnosios (kintamuj ˛ ¢ £ u ˛ ,, , ¢ atžvilgiu) ir nėra vienodu˛elementariuj ˛ u˛konjunkciju ˛ (disjunkciju).˛¢ ¨PavyzdysŠi disjunkcinė forma yra tobulojiBulio funkcija˛galima taip išskleisti jos kintamaisiais:¢ £ ¡ ¢¨ ¡ ¢ § ¢ £ ¡ ¢ ¨ ¡ ¢ § ¢£ ¡ ¢©¨ ¡ ¢ £¥§¢©¨ ¢£ ¡ ¡¥§¢©¨¦ § ¢ £ ¡ ¥§¢©¨ ¢Taikant šia˛formulę dar karta, ˛ gaunama ¢ £ ¥§¢ ¨ fukcijos disjunkcinė forma:£ ¡ ¢ ¨ ¡ ¡¥¦¡ § ¢£ ¡ ¢©¨ ¡ ¡¥ § ¢ £ ¡ ¢©¨ ¡ ¥¦¡ § ¢ £ ¡ ¢ ¨ ¡ ¥ ¢Pastebėję, kad ¢ , paliksime tik tuos narius, kur ¡ ¢ ¢ ¡ .¡PavyzdysUžrašykime funkcijos, apibrėžtos jos teisingumo reikšmiu˛lentele, disjunkcinę normaliaj˛ a˛forma.˛

¡¨© £¢8 SKYRIUS 3. BULIO FUNKCIJOS¢£ ¢ ¨ ¢ ¢ £¥§¢ ¨¥§¢ ¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡¡ ¡ ¡Matome, kad nelygios nuliui tik trys funkcijos reikšmės: ¥ ¥¦¡ ,¡¥ ¥ ir ¡¥ ¥¦¡ . Todėl funkcijos disjunkcinė normalioji forma yra tokia:Kiekviena¢¡ §¤£¦¥ (išskyrus ) Bulio funkcija užrašoma disjunkcine normaliaja˛forma:¢ £¥§¢©¨¥§¢ ¢ £ ¢ ¨ ¢ § ¢ £ ¢ ¨ ¢ § ¢ £ ¢ ¨ ¢ £ ¢¨¢ ¢ ¢¢£ ¥§¢ ¨¥¦¥§¢ ¦§Dar karta˛atkreipkime dėmesį, kad formulėje yra visi ¢¤£¦¥§¢©¨¥¥§¢© kintamieji . Šidisjunkcinė forma yra vadinama tobulaja. ˛ Taikydami ekvivalenčiuosius loginiuspertvarkius¨© £bet kuria˛disjunkcinę normaliaj ˛ a˛forma, ˛ galima suvesti į tobulaj ˛ a. ˛Pavyzdys¢ § ¢ ¢ ¢ § ¦ ¢ ¥ ¢ § ¢ ¢¥¤¢ § ¢ ¢ § ¥ § ¢ ¢ § ¢ § ¢ § ¢ ¢3.3.3 Tobuloji konjunkcinė normalioji formaPanašiai disjunkcinei normaliajai ˛ formai Bulio funkcija išreiškiama tobulaja˛konjunkcine normaliaja ˛ forma:£ § ¢¨ §¢ § ¢ ¢¢£ ¥§¢ ¨¥¥§¢©¦¢

§¡¢¢£¨3.4. PILNOSIOS FUNKCIJŲ SISTEMOS 9Įrodykime, kad kiekviena˛bulinę funkcij ¢£¥§¢©¨¥¥§¢ a¢¡ §¤£ ¥˛(išskyrus) galima išreikšti tobulajakonjunkcine ˛normaliaja ˛ forma. Pagal dualiosiosfunkcijos apibrėžima, ˛ taikydami šios funkcijos tobulaj ˛ a˛disjunkcinę normaliaj ˛ a˛forma, ˛ ¡ ¢ £¦¥§¢©¨¥¥§¢turime¢£¥§¢©¨¥¦¥§¢© ¢£¦¥ ¢©¨¥¥ ¢©¡¢ ¢¡ ¢¡ ¢ ¨¦© £¨ §¢ § ¢ ¢¢£ § ¢¨© ££ § ¢¨ §¢ § ¢£¢¢Taigi (8 p.) lentelėje apibrėžtos funkcijos ¢ £ ¥§¢ ¨¥§¢ tobuloji konjunkcinė normaliojiforma yra¨© § ¢©¨ § ¢ ¡ ¢ £ § ¢©¨ § ¢ ¦ ¡ ¢ £ § ¢ ¨ § ¢ ¦ ¡ ¢ £ § ¢©¨ § ¢ ¡ ¢ £ § ¢¨ § ¢ ¦ ¢£3.4 Pilnosios funkciju˛sistemos3.4.1 Pilnųju˛sistemų pavyzdžiaiApibrėžimasaja, jei bet kuria˛Bu-u formuleBulio funkcij ˛lio funkcij ˛u £¦¥ ¨¥¥ ¥¤ ¥ sistema vadinama piln ˛¢ £ ¥§¢ ¨ ¥¥§¢ a galima išreikšti šios sistemos funkcij ˛Pavyzdžiai1. Visų Bulio funkciju˛aibė yra pilnoji sistema.2. Funkcij ˛¢ £¥§¢ ¨¥¦¥§¢ ¢ ¢ §¦ ¡ ¢ ¢ ©¨ ¢ ¦ ¥¥§¢ ¦ § ¢ ¢ ¢ ¢ ©u ¢ ¥ ¢ £ ¡ ¢ ¨ ¥¤¢ £§ ¢ ¨ sistema yra pilnoji.3. ¢¤¥ ¢ £ ¡ ¢©¨ Sistemos ¢¤¥ ¢£ § ¢©¨ ir yra pilnosios.4. ¢ £ ¢©¨ Sistemos ¢£¥ ¢©¨ ir yra pilnosios.5. ¥ ¡ Sistema nėra pilnoji.Teorema. Tarkime, kad funkcij ˛ir kiekvien ˛irgi yra pilnoji.u £ ¥ ¨ ¥¦¥ ¤ ¥ sistema yra pilnojia £ £¦¥©¨¥¥© ¥ sistemos funkcija˛galima išreikšti funkciju˛ £ , ¨ , formule. Tada sistema

£10 SKYRIUS 3. BULIO FUNKCIJOSPavyzdžiui, funkciju˛ ¢¥ ¢¤£ ¡ ¢©¨ sistema yra pilnoji ¢£ § ¢©¨ ¢ £ ¡ ¢ ¨ir(de Morgano formulė). Todėl ¢¥¤¢ £§ ¢ ¨ sistema irgi pilnoji.3.4.2 Uždarosios funkciju˛clasėsApibrėžimasTarkime, £¥ ¨¥¦¥ ¥¤¥ kad yra Bulio funkcij ˛kurias galima išreikšti funkciju £ £ ˛ ¨ , , formulėmis, aibė vadinama klasės £uždariniu ir žymima£¢¡.u sistema. Visų funkciju,˛£¤£ £¢¡£¢¡¦¡ £¢¡¤¥£ ££¡§£ £¨¡££¡©¨¨£ £¨¡£ £ £¨¡£Uždarymo operacijos savybės1. ;2. ;3. Jei , tai ;4..ApibrėžimasFunkciju˛klasė vadinama uždaraja, ˛ jei.£¢¡Taigi funkciju˛sistemafunkciju˛aibė.£yra pilnoji tada ir tik tada, kai£¢¡yra visų Bulio3.4.3 Svarbiausios Bulio funkciju˛uždarosios klasėsApibrėžimai ) Bulio funkcija ¢ £¥§¢©¨¥¥§¢ ˛vadiname nekeičiančia nulio, jei(Visų tokiu˛funkciju˛klasę (aibę) žymėsime . ¥ ¥¥ £ ) Panašiai apibrėžiama nekeičiančiu˛vieneto buliniu˛funkciju˛klasė:(¨¡ ¤£ ¡¥¦¡¥¥¦¡ ¢ ¢ ¢ ¥ ¢ § ¢ ¥ ¢ ¡ ¢ ¢Pavyzdžiui, funkcijos , , priklausoabiems klasėms, o funkcija – nė vienai.

£¢ ¡£¢ £ ¥§¢ ¨ ¥¦¥§¢ £ ¢ £ ¥¦¥§¢ ¥¦¥ ¤ ¢ £ ¥¦¥§¢ §£¡£¢ £¦¥§¢©¨¥¥§¢ £¢ £¦¥¦¥§¢© ¥¥ ¥¤ ¢ £¦¥¥§¢§ ¤ ¤ £¥¦¤¨¥¥¦¤ § ¥§ £¥©§¨ ¥¥©§ ¥¡¡£¢§3.4. PILNOSIOS FUNKCIJŲ SISTEMOS 11Akivaizdu, kad ir £¡ £ , t. y. klasės yra uždarosios.Apibrėžimas) Savidualiuj ˛ u˛funkciju˛klasę pažymėkime :( ¨¢ £¥§¢ ¨¥¦¥§¢ ¡ ¢ £¦¥§¢ ¨¥¦¥§¢ Šiai klasei priklauso, pavyzdžiui, funkcijos ¢ ¢ bei ¢ ¢ .Tarkime, kad funkcijos , £ , ¨ , , ¤. Taikydami funkcijaidualumo principa, ˛ gauname, kad¤ £¥¥ ¥¤ £ ¥¦¥ Taigi £ ¡ir .Apibrėžimas(£¢ ) Tarkime, kad ¤ ¥¤ £¦¥¦¤¨¥¥¦¤ ir §¥ ¨§ £¦¥©§¨¥¥©§ yra du buliniųkintamųju˛rinkiniai. ¤§ Susitarkime rašyti §¤ ( arba ¤ ), kaisu ¡¥©¨ ¥¥§visais . Pastebėkime, kad ne visi buliniu˛kintamuj ˛ ˛ir ¤ išpildo kuria˛nors iš sąlygu ˛ ¤§§ ¤u rinkiniai§¤ arba . ¥ Pavyzdžiui,¥¦¡ ¡¥¦¡ , tačiau negalima rašyti ¥¦¡ ¡¥ arba ¥¦¡ ¡¥ . Api-brėžkimemonotoniniu˛funkciju˛klasꨤ§ ¤ ¥¤¢¨§¤ Pavyzdžiui, ¢¥ ¢ § funkcijos ¢¥ ¢ ¡ , yra monotoninės.¢ Tarkime, kad kad funkcijos , £ , ¨ , , ¥¤£¢ irJei

¤ ¥ § £© £ ¡ © ¨ ¡ ¥ ¥¦¡ § ¡ ¡ © £ ¡ © ¨ ¡¡ ¨ ¥ ¡¥ ¡ § ¡ © £ ¡ ¡£© ¡ ¡ £¦¡ £¥¥ ¥¤ §¦ £ £¤¦ ¢ ¢ ¨¦ ¤ ¥¤ ¥¢ £ ¥¥§¢ ¦ £ ¢ £ ¦ ¨ ¢ ¨ ¦ ¢ ¢ ©¦ ¢ ¥¤¡¡12 SKYRIUS 3. BULIO FUNKCIJOStai ¡¥©¨ ¥¥¢ : ¥¤¢ ¨§¤ . Todėl £¥¤ ¥¥ ¥¤ ¥¤§ £¨§¤ ¥¥ ¥¤ ¨§¤§ir, kadangi funkcija irgi monotoninė, turime £¥¤ ¥¥ ¥¤ ¥¤§¢ £¨§¤ ¥¥ ¥¤ ¨§¤§ Taigi įrodėme, kad £ ¥¤¢ £¨§¤ ir £ ¡£¢ . Arba £¢ ¢ .Apibrėžimas(¢¡) Tiesinių funkciju˛klasė apibrėžiama taip 4 : ¨¢£ ¥§¢ ¨¥¥§¢ £© £ ¡ ¢£ © ¨ ¡ ¢©¨ © ¢ ¢ © ¡ ¢ £¡¡ ¥¦¡ Čia yra tiesinio darinio koeficientai. ¢ ¢ Funkcijos ¢ ¢ iryra tiesinės: ¢ © ¡ ¡ ¢ , ¢ ¢ ¢ © ¡ ¡ © ¡ ¡ ¢ .¢Parodysime, kad ¢ ¥ ¢ § funkcija nėra tiesinė. Užrašykime bendr ˛darinio pavidala˛su neapibrėžtais koeficientais £ , ¨ , :a teisinioImdami buliniu˛kintam ˛¢ ¥ ¢ § £© £ ¡ ¢ © ¨ ¡ uju ¢ ˛ ir reikšmes, gauname:Tačiau, ir todėl .Parodysime, kad funkciju˛¤¡ sistema yra ¥¡ ¢¡ uždaroji: . Tarkime, kad. Tada (konjunkcijos ženklo nerašome)¡ ¡ , £ , ¨ , , ¤¥¥¢ ¡¥©¨ 4 Skliaustų nerašome, kadangi operacijos prioritetas yra didesnis, negu operacijos .

£¢ £¢ £ ¥§¢ ¨ ¥¥§¢ £ ¢ £ ¥¥§¢ ¥¥ ¤ ¢ £ ¥¥§¢ §¢££¡ ¦£ ¢ £ ¦ ¢ ¢ ©¦£ ¢ £¢ ¦ ¢ ¢ ¦ ¤ ¤¤ ¦ ¢ £ ¦ ¢ ¢ ©¦ ¢ ¦ ¦¤ £ ¢£¤¦¤ ¨ ¢©¨ ¦ ¢ ¢ ©¦§¤ ¢©¥¥¤£ ¡ £ ¦ ¢ ¢ ©¦ ¤¡ ¤§¦¥¦¡ ¥¤ ¥¡ £ £ ¦ ¢ ¢ ©¦ ¤¡ ¤£ ¥¤ £¦¥£¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢¡ £ ¦ ¢ ¢ ¦ ¤¡ ¤ ¨¤ £¡ £¢ ¥¤¨ ¢ ¥¥ ¨ ¢ § ¥¥¦¡ ¥ ¥¥ £¡ ¥ £¡ ¥¥ ¡§ ¡ 3.4. PILNOSIOS FUNKCIJŲ SISTEMOS 13ir sudėtinę funkcija˛galima išreikšti taip:Taigi įrodėme, kad funkcija £ yra tiesinė ir tiesiniu˛funkciju˛klasė uždara.¢3.4.4 Sistemos pilnumo būtinos ir pakankamos salygos˛Bet kuri bulinė funkcija išreiškiama disjunkcine arba konjunkcine normaliaja ˛ forma.Todėl funkciju ˛ (rašome atitinkančias operecijas) © ¥ ¡ ¥ § sistema yra pilnoji.Taikant de Morgano dėsnius, konjunkcija˛galima išreikšti neigimu bei disjunkcijair atvirkščiai. Taigi pilnosios yra ir šios © ¥ § sistemos: © ¥ ¡ , . Prisiminkime,kad mes žinome dar tris pilnasias ˛ funkciju˛© ¥ ¤ sistemas: (žr. ??), , (žr.3.1.4).1 lemaTarkime, ¢ £ ¥§¢ ¨¥¦¥§¢ kad . Tada taikant ¢ funkcijas ¢ ir iš josgalima gauti nesavidualiaj ˛ a˛vieno kintamojo funkcija, ˛ t. y. konstanta.˛Įrodymas. ¢¤£ ¥§¢ ¨¥¥§¢© Funkcija nėra savidualioji. Todėl egzistuoja toks¤ £ rinkinys ¤¨ , , ¤ , , kadPažymėkime funkcijas ¢ ) ir apibrėžkime vieno kintamojofunkcija˛ ¤ £¥ ¤ ¨¥¦¥ ¤ ¢£¥¦¤¨¥¦¥¦¤ ¥¤( ¡¥©¨ ¥¥§¤Turime ¢ £ ¥¤¨ ¥¥ § ¥¤ £¥¦¤ ¨¥¢ ¢ ¢ ¥¦¤ ¡

¡¡14 SKYRIUS 3. BULIO FUNKCIJOS2 lemaTarkime, ¢ £¥§¢©¨¥¥§¢ ¢ kad . Tada taikant funkcijas ¡ ir iš josgalima gauti nemonotoninę vieno kintamojo funkcija, ˛ t. ¢ y. .Įrodymas. ¢¤£¥§¢©¨¥¦¥§¢© Funkcija nėra monotoninė. Todėl egzistuoja tokiedu rinkiniai£ ¥¦¥¦¤ © £ ¥ ¥¦¤ £ ¥¦¥¦¤ ir¥¤kad¥¤ £¦¥¥¦¤ © £¥¦¡¥¦¤ £¦¥¥¦¤ ¥£¥¦¥¦¤ © £¦¥ ¥¦¤ £¦¥¦¥¦¤ ¡ ¥¤ £¥¦¥¦¤ © £¦¥¦¡¥¦¤ £¦¥¥¦¤ ¥¤Taigi vieno kintamojo funkcijanėra monotoninė: ¢ ¥¤ £¥¥¦¤ © £ ¥§¢ ¥¦¤ £¦¥¦¥¦¤ ¥¤ £¥¥¦¤ © £¥ ¥¦¤ £¦¥¥¦¤ ¡ ¥¤ £ ¥¥¦¤ © £¥¦¡¥¦¤ £¦¥¥¦¤ ¡ ¡ Taigi ¡ ir ¢ ¢ arba .3 lemaTarkime, ¢ £¥§¢©¨¥¥§¢© kad¢¤£ ¡ ¢©¨ a .jos galima gauti funkcij ˛Įrodymas. Bet kuria˛funkcija˛galima išreikšti polinomu¢¡. Tada taikant funkcijas , ,¡ , ¢ , ir ¢ iš¢£ ¥§¢ ¨¥¦¥§¢ ¢ ¤£ ¦¥ © ¡ ¢ ¡ ¢ ¡¢ ¢¡ ¢ §£ ¢ £ ¥§¢ ¨¥¥§¢© Funkcija netiesinė. Todėl ji turi bent viena˛konjunkcija. ˛ Dėlapibrėžtumo laikykime, kad tai yra ¢£ ¡ ¢ ¨ konjunkcija . Taigi reiškinį galimapertvarkyti taip:¢ £ ¦¥ © ¡ ¢ ¡ ¢ ¡¢ ¢¡ ¢ §£ ¢£ ¡ ¢©¨ ¡ £ ¨ ¢ ¥¦¥§¢© ©£ ¡ £¢ ¥¦¥§¢ © ¢©¨ ¡ ¨ ¢ ¥¦¥§¢ © ¢ ¥¥§¢¢ £ ¨ ¢ ¥¥§¢ ¦ ¨ir .

¢¢ £¥§¢ ¨ ¢ £© § ¥§¢ ¨£© ¤© ¤¡§ ©¡ ¢ £ ¡ ¢©¨¤¡§ ©¡ ¢ £ ¡ ¢©¨ © ¥¤¡ ¢ £© ¤¡ ¢£ © ¨§¡ ¢ ¨£© §¡ ¢ ¨ ©©¡§ © ¤¡§ © ¤¡§ © ¤¡ §¤© ¤ ©¡ ¥¤£¡¡3.4. PILNOSIOS FUNKCIJŲ SISTEMOS 15Todėl egzistuoja toks rinkinys ¥¤¥¥¦¤ , kad £ ¨¥¤ ¥¥¦¤ ¡ . Apibrėžkimefunkcija˛¢ £ ¥§¢ ¨ ¢ £ ¥§¢ ¨ ¥¦¤ ¥¥¦¤ ¢ £ ¡ ¢ ¨ © ¤¡ ¢ £ © §¡ ¢ ¨ ¦¡ Parodykime, kad funkcijaTurime ¢ £©§ ¥§¢ ¨ ©¤ ©¤¡§ ¦£ ¢ £©§¤ ¡ ¢ ¨ ©¤ ©¤¡ ¢ £ ©§¤ ©§¡ ¢©¨ ©¤ ©¨¢ £ ¡ ¢ ¨© © © ¢ £ ¡ ¢©¨Bendruoju atveju nustatyti funkciju˛sistemos pilnuma˛leidžia Posto 5 teorema.TeoremaBulio funkciju˛sistema yra pilnoji tada ir tik tada, kai ji turi bent po viena˛funkci-£ją, nepriklausančią kiekvienai klasei , ¤£ , , £¢ , ¢¡ , t. y. galima nurodyti bent£ £ ¤ (¥¡ ¥¦¡¥§¦ ¥¢¥©¨ jei neturi nė vienos nekeičiančios nulio £ £ £ £ £¢¡§£¡ £¥¤¢ ¦¡tokias¥¦¡¥§¦ ¥©¨ £¥¦¡¥§¦ ¥¢( ¤ ¥©¨ ),¡kad viena˛funkcija˛kuri nėra nekeičianti nulio, nėra nekeičianti vieneto ir t. t.Įrodymas. Būtinumas. Tarkime, kad ) (pavyzdžiui,funkcijos, tai ) ir sistema yrapilnoji. Tada yra visu˛Bulio funkciju˛aibė. Bet , o nesudaro visųBulio funkciju˛aibės. Taigi gavome prieštaravima˛ir būtinumas įrodytas.Pakankamumas. Kadangi () tai galima rastifunkcijas¡ £Įrodykime, kad šios penkios funkcijos leidžia išreikšti funkcijas ¢ ir ¢ £ ¡ ¢ ¨ , t. y. irvisas Bulio funkcijas.1) Konstantu ˛ ¡ ir konstravimas. ¥¥§¢ ¡¥¦¡¥¥¦¡ ¡ ¢¥§¢ ¢ ¡ £¡¥¦¡¥¥¦¡ ¢¢ ¡¥¦¡¥¥¦¡ ¢ Tarkime . Galimi du atvejai: . Tada– konstanta. Antraj ˛ a˛konstanta˛gauname . Antruojuatveju . Tada . Taikome funkcijai pirmaj ˛ a˛lema˛irgauname konstanta. ˛ Kadangi mes turime funkcija ¢ ˛ , gauname ir kita˛konstanta.˛2) Turime konstantas ¡ , ir taikome ¢ funkcijai antraj ˛ a˛lemą. Gauname funkciją¢ .¡ ¥ £ ¡¡ ¥ ¢ ¡£¢¥ ¡¡¢¡¤£¥ 5 Emil Leon Post (1897 – 1954) – amerikiečių matematikas ir logikas.

16 SKYRIUS 3. BULIO FUNKCIJOSaja˛lema. ˛ Gauname funkci-3) Turime ¡ funkcijas ¢ , , ir taikome ¡ funkcijai treči ˛ja £ £ ¡ ¢ ¨ ˛ . Pakankamumas įrodytas.¢Parodykime, kad sistema ¥¦¡¥ ¡ ¥ © yra pilnoji. Konstantos ir ¡ nepriklausoatitinkamai klasėms ¤£ ir . Taip pat, šios funkcijos nėra savidualiosios. Funkcija© nėra monotoninė. Funkcija ¡ nėra tiesinė. Taigi visos teoremos sąlygos yratenkinamos ir sistema yra pilnoji.