Paskaitų konspektas - Matematikos ir Informatikos fakultetas

15 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos [2013 12 28 (15:42)]2.2. Sprendinio egzistavimas ir vienatisKanoninei n-os eilės DLy (n) = f(x, y, y ′ , . . . , y (n−1) ) (2.4)Koši uždavinio sprendinio egzistavimui pakanka, kad f ∈ C(G) srityje G ⊂D f ⊂ R n+1 [18].1.1 teorema [Peano 3 ]. Tarkime, funkcija f yra tolydi srityje G. Tada egzistuoja(2.4) lygties sprendinys y = ϕ(x), x ∈ I, tenkinantis (2.2) pradinessąlygas.Tačiau šios teoremos salygų neužtenka Koši uždavinio sprendinio vienačiai[8, 17, 18].1.2 teorema [Pikaro 4 ]. Tarkime, funkcija f ir jos dalinės išvestinės ∂f∂y , . . . ,∂ftolydžios srityje G. Tada egzistuoja vienintelis (2.4) lygties sprendinys∂y (n−1)y = ϕ(x), x ∈ I, tenkinantis pradines (2.2) sąlygas.1.26 ppavyzdys. Funkcijos y = sin x ir y = cos x yra DL y ′′ + y = 0 sprendiniai.Šių dviejų sprendinių grafikai kertasi, tačiau šie sprendiniai nesutampajokiame intervale (žiūrėk 1.13 pav.).1.13 uždavinys. Ar kertasi šio pavyzdžio sprendinių integralinės kreivės?Panaši teorema teisinga ir (2.1) lygčiai srityje D F [8]. Jos įrodymas išplaukianeišreikštinės funkcijos sąvybių (žiūrėk (1.2)–(1.4) ) ir 1.2 teoremos.1.3 teorema. Tarkime, funkcija F ∈ C 1 (G) ir taške (x 0 , y 0 , y ′ 0, . . . , y (n)0 ) ∈ Gišpildytos sąlygosF (x 0 , y 0 , y ′ 0, . . . , y (n)0 ) = 0,∂F∂y (n) (x 0, y 0 , y ′ 0, . . . , y (n)0 ) ≠ 0.Tada egzistuoja (2.1) lygties vienintelis sprendinys y = ϕ(x), x ∈ I, tenkinantis(2.2) pradines sąlygas.1.4 teorema [tolydi priklausomybė nuo pradinės sąlygos]. Jeigu f ∈C 1 (G), tuomet funkcija ϕ(x; x 0 , y 0 , y 0 ′ , . . . , y (n−1)0 ) apibrėžta, tolydi ir ϕ ∈ C 1kiekvieno taško (x 0 ; x 0 , y 0 , y 0 ′ , . . . , y (n−1)0 ) aplinkoje.Pikaro teoremą ir tolydžią priklausomybę nuo pradinės sąlygos įrodysime vėliau, bet jaudabar jomis naudosimės. Šios trys teoremos sprendinio sąvybes formuluoja lokaliai.Jeigu sprendinys yra apibrėžtas intervale I (nebūtinai atvirasis), tai jis bussprendinys ir intervale J ⊂ I.3 Giuseppe Peano (1858-1932) – italu˛ matematikas.4 Émile Picard (1856-1941) – prancūzu˛ matematikas.