Paskaitų konspektas - Matematikos ir Informatikos fakultetas

3. Diferencialinių lygčių sistemos 18arba bendrasis integralas:a) y ′ = − y , y(1) = 1; yx = C;xb) y ′ = − 1 x , y(1) = 0; xey = C;c) y ′′ = 1, y(0) = 1, y ′ (0) = 3 2 ; y = x22d) y ′′ = x + sin x, y(0) = 1, y ′ (0) = 1; y = x33e) y ′ = − x y , y(3) = 4; y2 + x 2 = C.+ C1x + C2;− sin x + C1x + C2;2.3. Ypatingieji sprendiniaiDL gali turėti sprendinių, kurių taškuose neišpildyta vienaties sąlyga. Nagrinėtame 1.29pavyzdyje sprendinio y ≡ 0 negausime iš bendrojo sprendinio (kubinių parabolių šeimos)y = (x − C) 3 su jokia konstanta C ∈ ¯R (žiūrėk 1.16 pav.).1.16 uždavinys. Raskite 1.29 pavyzdžio DL visus sprendinius, kuriems neišpildyta vienatiessąlyga.1.13 apibrėžimas [Ypatingasis taškas]. Ypatingaisiais taškais vadinsime tuosintegralinės kreivės taškus, kuriose neišpildyta sprendinio vienaties sąlyga.1.14 apibrėžimas [Ypatingasis sprendinys]. Ypatinguoju sprendiniu vadinsimesprendinį, kurio kiekvienas taškas yra ypatingasis taškas.Kai kanoninės (2.4) DL dešiniosios pusės funkcija yra tolydi ir turi dalinesišvestines pagal kintamuosius y, y ′ , . . . , y (n−1) , jos ypatingieji sprendiniai galibūti tik tie, kuriuose tenkinama bent viena sąlyga:∂f∂y = ∞, . . . , ∂f= ∞.∂y(n−1)Neišreikštinės (2.1) DL atveju, kai F ∈ C 1 (G), ypatingais gali būti sprendiniai∂Fapibrėžti ir lygybėmis F = 0, = 0.∂y (n)1.17 uždavinys. Patikrinkite, kad DL turi duotuosius sprendinius ir suraskite ypatinguosiussprendinius:a) y ′ = 2 √ |y|, y = |x − C|(x − C);b) (y ′ ) 2 + y 2 = 1, y = sin(x − C).