Paskaitų konspektas - Matematikos ir Informatikos fakultetas

1. Tiesinė n-osios eilės diferencialinė lygtis 262.2 pav. HomogeninėsTDL integralinės kreivės.2.3 pav. NehomogeninėsTDL integralinės kreivės.2.4 pav. Funkciju˛ tiesinėpriklausomybė.1.2. Funkcijų tiesinis priklausomumas ir nepriklausomumas?Tiesinės erdvės L elementai (vektoriai) v 1 , . . . , v n yra tiesiškai nepriklausomomi, jeigulygybėα 1 v 1 + · · · + α nv n = 0 (1.6)teisinga tik kai α 1 = · · · = α n = 0, priešingu atveju turime tiesiškai priklausomus elementus(vektorius). Jeigu elementai yra tiesiškai priklausomi, tuomet ∃i : α i ≠ 0. Tarkime,i = n. Tada funkcija z n tiesiškai išsireiškia per kitas funkcijas z 1 , . . . , z n−1 .Nagrinėkime tiesines erdves, kurių elementai yra funkcijos. Funkcijos f 1 , . . . ,f n yra tiesiškai nepriklausomos, jeigu tapatybėα 1 f 1 (x) + · · · + α n f n (x) ≡ 0 (1.7)teisinga tik kai α 1 = · · · = α n = 0, priešingu atveju turime tiesiškai priklausomasfunkcijas.2.5 ppavyzdys [Funkcijų tiesinė priklausomybė]. 2.4 pav. yra pavaizduoti funkcijųF (x) = (x 2 + x|x|)/2, G(x) = (x 2 − x|x|)/2, H(x) = (−x 2 − x|x|)/2grafikai. Funkcijos F ir G yra tiesiškai nepriklausomos (kodėl?), o funkcijosF ir H yra tiesiškai priklausomos.2.3 uždavinys. Patikrinkite funkcijų f 1, f 2, f 3 tiesinį priklausomumą:a) f 1(x) = 1, f 2(x) = x, f 3(x) = x 2 ;b) f 1(x) = 1, f 2(x) = x 2 − 1, f 3(x) = x 2 + 1.2.3 apibrėžimas [Vronskio determinantas]. Funkcijų z 1 , . . . , z n ∈ C n−1 (I) Vronskio1 determinantu vadinama funkcija W [z 1 , . . . , z n ] ∈ C(I):z 1 (x) z 2 (x) . . . z n (x)W (x) = W [z 1 , . . . , z n ](x) :=z 1(x) ′ z 2(x) ′ . . . z ′ n(x). . . . . . . . . . . .. (1.8)∣ z (n−1)1 (x) z (n−1)2 (x) . . . z n(n−1) (x) ∣1 Jósef Maria Hoëné–Wroński (1778-1853) – lenku˛ filosofas, matematikas, fizikas, išradėjas,teisininkas ir ekonomistas.