Paskaitų konspektas - Matematikos ir Informatikos fakultetas

1. Tiesinė n-osios eilės diferencialinė lygtis 28yra homogeninės TDL sprendinys, tenkinantis nulines pradines sąlygas taškex 0 (tiesinių lygčių sistemos dešinioji pusė nulinis vektorius). Tada pagal DLsprendinio egzistavimo ir vienaties teoremą z ≡ 0, t.y. C1z 0 1 + · · · + Cnz 0 n = 0su nenuliniu rinkiniu C1, 0 . . . , Cn. 0 Vadinasi, sprendiniai z 1 , . . . , z n yra tiesiškaipriklausomi. Tačiau tai prieštarauja teoremos sąlygai. ⊓⊔2.3 išvada [Būtina ir pakankama homogeninės TDL sprendinių tiesinionepriklausomumo sąlyga]. TDL sprendiniai yra tiesiškai nepriklausomitada ir tik tada, kai jų Vronskio determinantas nė viename taške nelygus nuliui.2.4 apibrėžimas. Homogeninės TDL n tiesiškai nepriklausomų sprendinių sistemaz 1 , . . . , z n vadinama fundamentaliąja sprendinių sistema.Ją galima gauti sprendžiant Koši uždavinius su pradinėmis sąlygomis:z 1 (x 0 ) = 1, z ′ 1(x 0 ) = 0, . . . , z (n−1)1 (x 0 ) = 0;z 2 (x 0 ) = 0, z 2(x ′ 0 ) = 1, . . . , z (n−1)2 (x 0 ) = 0;. . . . . . . . . . . .z n (x 0 ) = 0, z ′ n(x 0 ) = 0, . . . , z (n−1)n (x 0 ) = 1.Šios sprendinių sistemos Vronskio determinantas taške x 0 lygus 1.fundamentalioji sprendinių sistema visada egzistuoja.Vadinasi,2.3 teorema [homogeninės TDL fundamentalioji sistema ir bendrasissprendinys]. Kiekviena homogeninė TDL turi fundamentaliąją sistemąz 1 , . . . , z n , ir bendrojo sprendinio pavidalas yraz =n∑C i z i . (1.9)i=1Įrodymas. Fundamentaliosios sistemos egzistavimą jau įrodėme. Iš 2.1 lemos(apie TDL sprendinius) išplaukia, kad (1.9) formulė apibrėžia homogeninės TDLsprendinius. Laisvųjų konstantų reikšmes randame spręsdami tiesinę sistemą⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎞z 1 (x 0 ) z 2 (x 0 ) . . . z n (x 0 ) C 1z(x 0 )⎜z 1(x ′ 0 ) z 2(x ′ 0 ) . . . z n(x ′ 0 )⎟ ⎜ C 2⎟⎝ . . . . . . . . . . . . ⎠ ⎝ . . . ⎠ = ⎜ z ′ (x 0 )⎟⎝ . . . ⎠ ,z (n−1)1 (x 0 ) z (n−1)2 (x 0 ) . . . z n (n−1) (x 0 ) C n z (n−1) (x 0 )kurios determinantas sutampa su fundamentaliosios sprendinių sistemos Vronskiodeterminantu pradiniame taške x 0 . Kadangi jis nelygus nuliui, laisvosioskonstantos surandamos vienareikšmiškai. Vadinasi, (1.9) formulė apibrėžiabendrąjį sprendinį. ⊓⊔2.4 išvada. Homogeninės n-osios eilės TDL sprendiniai z 1 , . . . , z n , z n+1 visadayra tiesiškai priklausomi.