Paskaitų konspektas - Matematikos ir Informatikos fakultetas

3. Diferencialinių lygčių sistemos 201.6 teorema. Tarkime, funkcija f ∈ C 1 (G), G ⊂ R n+1 . Tada egzistuoja vienintelis(3.4) Koši uždavinio sprendinys y = ϕ(x), x ∈ I, tenkinantis pradinęsąlygą.1.7 teorema [tolydi priklausomybė nuo pradinės sąlygos]. Jeigu f ∈C 1 (G), tuomet funkcija ϕ(x; x 0 , y 0 ) apibrėžta, tolydi ir ϕ ∈ C 1 kiekvieno taško(x 0 ; x 0 , y 0 ) aplinkoje.1.8 teorema [apie sprendinio tęsinį]. Tarkime, K ⊂ G ⊂ D f yra kompaktasir pradinė sąlyga (x 0 , y 0 ) ∈ K ir f ∈ C 1 (G). Tada integralinė kreivė pratęsiamaiki kompakto krašto ir toks pratęsimas yra vienintelis.3.1. n-osios eilės DL suvedimas į n-osios eilės normaliąją DLSKiekvieną n-osios eilės kanoninę DL galima suvesti į normaliąją DLS. Parodysimetai Koši uždaviniuiy (n) = f(x, y, y ′ , . . . , y (n−1) ), y(x 0 ) = y 0 , . . . , y (n−1) (x 0 ) = y (n−1)0 . (3.5)Apibrėžkime vektorinę funkciją z = (z 1 , z 2 , . . . , z n ) := (y, y ′ , . . . , y (n−1) ). Tada(3.5) Koši uždavinys ekvivalentus nomaliajai DLSz ′ 1 = z 2 ,z ′ 2 = z 3 ,. . . (3.6)z ′ n−1 = z n ,z ′ n = f(x, z 1 , . . . , z n )su pradinėmis sąlygomis z(x 0 ) = z 0 := (y 0 , y ′ 0, . . . , y (n−1)0 ).Šis suvedimas rodo, kad 1.2 teorema išplaukia iš 1.6 teoremos, 1.4 teorema – iš 1.7 teoremos,1.4 teorema – iš 1.8 teoremos.1.30 ppavyzdys. Koši uždavinys y ′′ +y = 0, y(0) = y 0, y ′ (0) = y ′ 0 suvedamas į antrosioseilės DLSy ′ = z,z ′ = −ysu pradinėmis sąlygomis y(0) = y 0, z(0) = y 0.′1.18 uždavinys. Suvesti DL į DLS:a) y ′′ = − sin y;b) y ′′′ + 5xy ′′ + (y ′ ) 2 sin x + y = 0;c) y ′′ = sin ( 1 + (y ′ ) 2 ).