kart_kreiv_ir_pav_integralai.pdf

V skyrius 

KARTOTINIAI, KREIVINIAI IR PAVIRŠINIAI 

INTEGRALAI 

§ 1. DVILYPIS INTEGRALAS IR CILINDROIDO TŪRIS ....................................................83 

§ 2. DVILYPIO INTEGRALO APSKAIČIAVIMAS STAČIAKAMPĖJE KOORDINAČIŲ 

SISTEMOJE ...............................................................................................................................84 

§ 3. DVILYPIS INTEGRALAS POLINĖJE KOORDINAČIŲ SISTEMOJE IR JO 

APSKAIČIAVIMAS..................................................................................................................86 

§ 4. TRILYPIS INTEGRALAS, JO SAVYBĖS IR APSKAIČIAVIMAS STAČIAKAMPĖJE 

KOORDINAČIŲ SISTEMOJE..................................................................................................88 

§ 5. TRILYPIO INTEGRALO APSKAIČIAVIMAS CILINDRINĖJE IR SFERINĖJE 

KOORDINAČIŲ SISTEMOSE .................................................................................................90 

§ 6. KARTOTINIŲ INTEGRALŲ TAIKYMAS MECHANIKOJE .........................................91 

§ 7. SKALIARINIAI IR VEKTORINIAI LAUKAI..................................................................94 

§ 8. LYGIO LINIJOS IR PAVIRŠIAI .......................................................................................94 

§ 9. GRADIENTAS IR JO SAVYBĖS......................................................................................95 

§ 10. PIRMOJO IR ANTROJO TIPŲ KREIVINIAI INTEGRALAI........................................97 

§ 11. KREIVINIŲ INTEGRALŲ APSKAIČIAVIMAS ...........................................................98 

§ 12. PLOTŲ APSKAIČIAVIMAS KREIVINIU INTEGRALU .............................................99 

§ 12. GRINO FORMULĖ ........................................................................................................100 

§ 13. SĄLYGA, KADA KREIVINIS INTEGRALAS NEPRIKLAUSO NUO 

INTEGRAVIMO KELIO.........................................................................................................101 

§ 14. VIENPUSIAI IR DVIPUSIAI PAVIRŠIAI. PAVIRŠIAUS ORIENTACIJA ...............103 

§ 15. PAVIRŠINIAI INTEGRALAI........................................................................................104 

§ 16. PAVIRŠINIO INTEGRALO APSKAIČIAVIMAS .......................................................105 

§ 17. PAVIRŠINIO IR KREIVINIO INTEGRALŲ RYŠYS (STOKSO FORMULĖ)...........106 

§ 18. GAUSO – OSTROGRADSKIO FORMULĖ .................................................................109 

© A. Laurutis, D.Šiaučiūnas Paskaitų konspektas 82

§ 1. DVILYPIS INTEGRALAS IR CILINDROIDO TŪRIS 

Imkime xOy plokštumos uždarą sritį D , apribotą linija L . Šiai sričiai priklauso ne 

tik vidiniai srities D taškai, bet ir linijosLtaškai.Tegul šioje srityje D duota tolydi funkcija 

z = f ( x, 

y) 

. 

y 

Sritį D bet kokiomis linijomis išdalinkime į n dalių 

D 

∆ s1 , ∆s2, 

∆s3,..., 

∆sn 

, kurias vadinsime sritelėmis. 

Nenorėdami įvesti naujų simbolių, sritelių 

Pi 

∆s 

i 

∆ s1 , ∆s2, 

∆s3,..., 

∆sn 

∆ s1 , ∆s2, 

∆s3,..., 

∆sn 

. 

plotą žymėkime taip pat 

Kiekvienos ∆ si 

sritelės viduje imkime taškus P i . 

L Turime n 

apskaičiuojame 

taškų P 1 , P2 

, P3 

,..., Pn 

, 

funkcijos z = f ( x, 

y) 

kuriuose 

reikšmes 

f P f P , f P ,..., f P . 

Šią sandaugų ( i ) i 

f ( x, 

y) 

integraline suma srityje D . 

Jei f ( x, 

y) 

≥ 0 , tai kiekvieną iš sandaugų ( Pi 

) si 

( 1 ) , ( 2 ) ( 3 ) ( n ) 

Sudarykime n sandaugų ( Pi 

) si 

f P ∆ s sumą vadinsime funkcijos 

f ∆ galime 

įsivaizduoti kaip mažo cilindro, turinčio pagrindą ∆ si 

ir 

aukštinę f ( Pi 

) , tūrį. Tada integralinė suma V n reikš tam 

tikro laiptuoto cilindrinio kūno tūrį. 

Sritį D galėjome kitaip skaidyti į sriteles, galėjome 

kitaip pasirinkti taškus P i jose. Todėl galėjome gauti 

n 

∑ 

i= 

1 

daugybę integralinių sumų, V = f ( P ) 

n 

i 

V 

∆s 

i 

n 

f ∆ ir šių sandaugų sumą 

( P ) ∆s 

+ f ( P ) ∆s 

+ f ( P ) ∆s 

= f ( P ) 

© A. Laurutis, D.Šiaučiūnas Paskaitų konspektas 83 

= 

f 

1 

1 

kurios visos 

sudaro integralinių sumų seką V n , V , ,..., ,... 

1 n V 2 n V 

3 nk 

( k ∈ 1, 

m ). Apskaičiuokime tokios sekos ribą, kai 

maksimalios sritelės plotas ∆ si 

artėja į nulį 

( max s → 0) 

arba n → ∞ . 

∆ i 

Teorema. Jei funkcija ( x y) 

V 

n 

= 

n 

∑ 

i= 

1 

f 

( P ) 

i 

∆s 

i 

2 

2 

n 

n 

n 

∑ 

i= 

1 

i 

∆s 

, 

f , yra tolydi tam tikroje uždaroje srityje D , tai integralinių sumų 

seka turi ribą, kai maksimalios sritelės plotas artėja į nulį ( → ∞) 

n . Ši riba 

nepriklauso nei nuo srities D skaidymo į aikšteles būdo, nei taško P i pasirinkimo aikštelėje ∆ Si 

būdo. Ši riba vadinama funkcijos ( x y) 

n 

∑ 

lim 

∆Si 

→0 

i= 

1 

Sritis D vadinama integravimo sritimi. 

f 

x 

f , dvilypiu integralu srityje D ir žymima 

( P ) ∆S 

= f ( x, 

y) 

ds = f ( x, 

y) 

i 

i 

∫∫ 

D 

∫∫ 

D 

x 

z 

dxdy . 

f( 

iP ) 

iP 

D 

S 

∆s 

i 

i 

( z y) 

z = f , 

y

Jei f ( x, 

y) 

≥ 0 , tai dvilypis integralas srityje D reiškia cilindroido, sudaryto tarp plokštumos 

z = 0 , paviršiaus z = f ( x, 

y) 

bei cilindrinio paviršiaus, kurio vedančioji linija yra L , tūriui. 

Pastebėkime, kad srities D plotas yra lygus srities D plotui, todėl 

∫∫ 

D 

( x y) 

ds = f ( x y) 


∫∫ 

f , , dxdy . 

Dvilypio integralo savybes nusakykime šiomis teoremomis. 

I teorema. Dviejų funkcijų algebrinės sumos f ( x, 

y) 

ϕ( 

x, 

y) 

+ dvilypis integralas srityje D yra 

lygus sumai dviejų dvilypių integralų, apskaičiuotų kiekvienai funkcijai atskirai, t.y. 

∫∫ 

D 

[ f ( x, 

y) 

+ ( x, 

y) 

] ds = f ( x, 

y) 

ds + ϕ ( x, 

y) 

D 

∫∫ 

D 

∫∫ 

ϕ ds . 

II teorema. Pastovų daugiklį galime iškelti prieš integralo ženklą, t.y., jei a = const , tai 

af x, 

y ds = a f x, 

y ds . 

∫∫ 

D 

( ) ( ) 

Šias teoremas galime įrodyti analogiškai, kaip atitinkamas apibrėžtinio integralo teoremas. 

III teorema. Jeigu sritis D susideda iš dviejų sričių 1 D ir D 2 , neturinčių bendrų vidinių taškų ir 

x y 

f x, 

y ds = f x, 

y ds + f x, 

y ds . 

f ( , ) yra tolydi visoje D tai ( ) ( ) ( ) 

> Srities D integralinę sumą galima užrašyti taip 

∑ 

D 

∫∫ 

D 

f 

∫∫ 

D1 

∫∫ 

D 

∫∫ 

D2 

( P ) ∆s 

= f ( P ) ∆s 

+ f ( P ) 

i 

Apskaičiuokime šios lygybės ribą, kai max s → 0 , tada gausime 

∫∫ 

D 

i 

∑ 

D1 

i 

∆ i 

i 

∑ 

D2 

( x, 

y) 

ds = f ( x, 

y) 

ds + f ( x, 

y) 

∫∫ 

D1 

∫∫ 

D2 

D 

i 

∆s 

f ds < 

Ši teorema galioja bet kuriam srities D dalių skaičiui. 

§ 2. DVILYPIO INTEGRALO APSKAIČIAVIMAS STAČIAKAMPĖJE KOORDINAČIŲ 

SISTEMOJE 

y 

O 

A 

M 1 

y = ϕ2 

y = ϕ1 

D 

( x) 

( x) 

N1 

N 2 

M 2 

a b 

L 

B 

x 

i 

Tegul sritis D , esanti xOy plokštumoje 

yra tokia, kad kiekviena tiesė, lygiagreti 

vienai koordinačių ašiai (pvz.: Oy ) ir 

einanti per bet kurį vidinį srities D tašką 

kerta šios srities ribą dviejuose taškuose 1 N 

ir 2 

N . Tokią sritį vadiname teisinga Oy 

ašies kryptimi. Analogiškai apibrėžiama ir 

teisinga sritis ašies Ox kryptimi. Sritį, 

teisingą Ox ašies ir Oy ašies kryptimi 

vadiname teisinga sritimi. Brėžinyje 

pavaizduota teisinga sritis D .

Matome, kad nagrinėjamoji sritis D , ( x a, 

b) 

atitinkamai, linijomis y = ϕ1( 

x) 

ir y ϕ 2( 

x) 

ϕ1( x) ≤ ϕ2( 

x) 

ir a 

x) ir ϕ2 

( x) 

yra tolydžios atkarpoje [ 

D yra žinoma tolydi funkcija z = f ( x, 

y) 

. Tada reiškinys 

b] 

yra funkcijos ( x y) 

I = 

∈ iš apačios ir iš viršaus yra ribojamos, 

= , kurios abi sudaro liniją L . Čia, suprantama, 

a, . Tegul, be to srityje 

2 

( x, 

y) 

dxdy = ⎜ f ( x, 

y) 


⎛ 

⎜ 

⎝ 

ϕ ( x) 

∫∫ ∫ ∫ ⎟ ⎟ 

f 

dy 

D 

f , dvilypis integralas srityje D . Jis apskaičiuojamas dvigubu integralu: 

pradžioje integralas, esantis skliaustuose, integruojant jį pagal kintamąjį y (kai x = const ). Šį 

suintegravus, gaunama tolydi kintamojo x funkcija 

Φ 

b 

a 

ϕ ( x) 

ϕ ( x) 

2 

( x) 

= f ( x, 

y) 

∫ 

ϕ ( x ) 

1 

1 

⎞ 

dx 

⎠ 

(1) 

dy . (2) 

Funkciją Φ ( x) 

toliau integruojame išoriniu integralu pagal kintamąjį x atkarpoje [ a, b] 

b 

∫ Φ = I dx . (3) 

a 

Gautas rezultatas (3) yra pastovus skaičius ir nusako dvilypio integralo reikšmę 

stačiakampėje koordinačių sistemoje. 

ϕ x = ϕ x ) 

Gali atsitikti, kad sritis D yra tokia, kad vienos iš funkcijų y = 1( 

) (arba y 2( 

) 

atkarpoje [ a, b] 

negalime aprašyti viena analitine išraiška. Tegul, pavyzdžiui 

⎧ 

D1 

: ⎨ 

⎩ 

⎧ψ 

( x) 

, kai 

1( 

x) 

= ⎨ 

⎩χ 

( x) 

, kai 

x ∈ ( a, 

c) 

, 

y ∈ ( ψ ( x) 

, ϕ ( x) 

) 

( x) 

a ≤ x ≤ c 

ϕ , a < c 

c ≤ x ≤ b 

2 


D 

2 

⎧x 

∈ 

: ⎨ 

⎩y 

∈ 

( c, 

b) 

, 

( χ( 

x) 

, ϕ ( x) 

) 

2 

, todėl dvilypis integralas 

apskaičiuojamas pasinaudojant trečiąja savybe 

( ) 

( ) 

∫∫ ( ) ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ( ) 

⎟ 

( ) 

( ) 

⎟ 

c ϕ ⎛ 2 x 

b ϕ ⎞ ⎛ 2 x ⎞ 

f x, 

y dxdy = ⎜ f x, 

y dy⎟dx 

+ ⎜ f x, 

y dy dx . (4) 

⎜ 

⎟ ⎜ 

D 

a ⎝ ψ x ⎠ c ⎝ χ x ⎠ 

d 

c 

y 

= ψ 

x 1 

( y) 

D 

L 

M 

N 

x = ψ 2 

( y) 

x 

ψ ( y ) 

Integravimo sritį D galime aprašyti ir 

kita tvarka. Dabar nagrinėjamoji sritis D , 

( y ∈ c, 

d ) iš kairės ir iš dešinės yra 

ribojamos, atitinkamai, linijomis x = ψ 1( 

y) 


= ψ y , kurios abi sudaro liniją L . 

x 2 

( ) 

( ) 

( ( ) ( y) 

) . 

⎧y 

∈ c, 

d , 

Todėl D : ⎨ 

⎩x 

∈ ψ 1 y , ψ 2 

Taip aprašytai sričiai ∫∫ ( ) ∫ ∫ ( ) 

⎟ 

( ) 

⎟ 

d ⎛ 2 ⎞ 

I = f x, 

y dxdy = ⎜ f x, 

y dx dy . (5) 

⎜ 

D 

c ⎝ψ 

1 y ⎠ 

Apskaičiuota dvilypio integralo reikšmė nepriklauso nuo pasirinktos integravimo tvarkos.

I = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

ϕ ( x) 

2 

( x, 

y) 

dxdy = ⎜ f ( x, 

y) 

b 

ϕ ( x ) 

ψ ( y ) 

ψ ( y ) 

( x, 

y) 

∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ⎟ ⎟ 

f 

dy⎟dx 

= ⎜ f dx 

D 

a 

1 

⎞ 

dy . (6) 

⎠ 

Taigi, dvilypį integralą galima apskaičiuoti, pakartotinai integruojant pagal vieną, o paskui 

pagal kitą kintamąjį. Kiekvienu konkrečiu atveju integravimo tvarka pasirenkama, priklausomai 

z = f x, 

y ir nuo integravimo srities D . 

nuo integruojamos funkcijos ( ) 

Pavyzdys. Pakeisti integravimo tvarką 

integrale ∫ ∫ ( ) 

⎟ 1 x ⎛ ⎞ 

I = ⎜ f x, 

y dy dx . 

⎜ 

0 ⎝ x ⎠ 

⎧x 

∈( 

0, 

1 ) , 

> Duotajame integrale sritis yra D : ⎨ 

⎩y 

∈( 

x, 

x ) . 

Pakeiskime integravimo tvarką, tada gauname 

⎧y 

∈ ( 0, 

1) 

, 

D : ⎨ 2 

⎩x 

∈ ( y , y) 

. 

∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ( ) 

⎟ ⎟ 

1 ⎛ x ⎞ 1 ⎛ y ⎞ 

I = ⎜ f x, 

y dy⎟dx 

= ⎜ f x, 

y dx dy . 

⎜ ⎟ ⎜ 2 

0 ⎝ x ⎠ 0 ⎝ y ⎠ 

§ 3. DVILYPIS INTEGRALAS POLINĖJE KOORDINAČIŲ SISTEMOJE IR JO 

APSKAIČIAVIMAS 

A 

L 

D 

ρ = Φ1 

( θ ) 

∆Si 

ρ = Φ2 


⎞ 

⎟ 

⎠ 

d 

c 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

2 

1 

Tegul polinėje koordinačių sistemoje θ , ρ 

duota tokia sritis D , kad kiekviena tiesė, 

einanti iš poliaus P , ir kiekvienas 

apskritimas, kurio centras yra poliuje, 

kerta sritį nedaugiau kaip dviejuose 

taškuose. Iš brėžinio matome, kad sritis D 

yra apribota kreivėmis ρ 1 ( θ ) Φ = , 

ρ 2( 

θ ) Φ = ir tiesėmis θ = α ir θ = β , čia 

Φ ≤ Φ θ ir α < β . 

1 

( θ ) 2( 

) 

⎧θ 

∈ ( α, 

β ) , 

D : ⎨ 

ρ ∈ ( ρ = Φ ( θ ) , ρ = Φ ( θ ) ) 

P 

β 

∆ ϕi 

α 

ρ = ρi 

B ρ = ρi−1 

p 

Taigi 

⎩ 

1 

2 

Tokia sritis D vadinama teisinga sritimi 

polinėje koordinačių sistemoje. 

Tegul šioje srityje D yra žinoma tolydi 

funkcija z = F( 

θ, ρ) 

polinėje koordinatėse 

Išdalinkime sritį D į sriteles ∆ s1 , ∆s2, 

∆s3,..., 

∆si,..., 

∆sn 

. Šiose sritelėse laisvai parenkame taškus 

z = F θ , ρ = F P reikšmes. 

P i , o juose apskaičiuojame funkcijos ( ) ( i ) 

Sudarome integralinę sumą V = 

n 

f ( P ) ∆s 

n 

∑ 

i= 

1 

Pagal dvilypio integralo prasmę, jei = F( 

θ , ρ ) ≥ 0 

∆sk → 0 ( n → ∞) 

V = F( 

ρ ) ds 

( θ ) 

θ = θn 

∆θn 

max yra cilindroido tūris 

θ 

i 

= θn−1 

∆ρi 

∫∫ 

D 

i 

y 

1 

O 

, čia P i yra bet kuris sritelės ∆ si 

taškas. 

D 

z , šios integralinės sumos riba, kai 

y = 

y = x, 

x = y 

θ, . (1) 

1 

x 

2 

x = y , 0 ≤ y ≤1 

x

x 

Kaip jau suprantame, integralinės sumos riba nepriklauso nuo srities D dalijimo į sriteles ∆ si 

būdo, todėl šią sritį galime išdalinti patogiausiu būdu: tiesėmis θ = θ0 

, θ = θ1, 

θ = θ2 

, ..., θ = θn 

, 

čiaθ 0 = α, 

θn 

= β , θ0 

< θ1 

< θ2 

< ... < θn 

ir apskritimais ρ = ρ0 

, ρ = ρ1, 

ρ = ρ2 

,..., ρ = ρn 

, čia 

ρ 0 < ρ1 

< ρ2 

< ... < ρn 

, o ρ 0 - minimali funkcijos Φ 1( 

θ, ρ) 

reikšmė ir ρ n - maksimali funkcijos 

Φ 2( 

θ, ρ ) reikšmė. Dėl šitokio srities D dalijimo į sriteles būdo, sritelės plotas 

∆ si ≈ ρi ⋅ ∆ρi 

⋅ ∆θi 

, kuris riboje, kai max ∆sk → 0 ( n → ∞) 

bus lygus ds = ρ ⋅ dρ 

⋅ dθ 

, todėl 

dvilypis integralas polinėje koordinačių sistemoje apskaičiuojamas kartotiniu integralu 

P 

V 

= 

2 

( ρ ) ds = ⎜ F( 

θ , ρ ) 


( θ ) 

β Φ ⎛ 

⎞ 

θ , dθ 

. (2) 

⎜ 

α ⎝ Φ1( 

θ ) ⎠ 

∫∫ ∫ ∫ ⎟ ⎟ 

F 

ρdρ 

D 

Galime pasirinkti ir kitą integravimo tvarką dvilypiame integrale polinėje koordinačių 

sistemoje. Kai pradžioje integruosime pagal θ , o paskui 

pagal ρ , galime naudoti kitą formulę: 

θ 2 

= ω 

( ρ ) 

θ 1 

= ω 

( ρ ) 

ρ1 ρ2 

O 

z 

p 

2 2 2 

x + y + z = 

2a 

V 

= 

ϖ ( θ ) 

ρ ⎛ 

⎞ 

θ ρdρ 

. (3) 

⎜ 

ρ1⎝ 

ϖ1 

( θ ) ⎠ 

2 2 

( , ρ ) ds = ⎜ F( 

θ , ρ ) 

∫∫ ∫ ∫ ⎟ ⎟ 

F 

dθ 

D 

Brėžinys kairėje atitinka šią formulę. Galime nustatyti ryšį 

tarp dvilypio integralo polinėje ir stačiakampėje 

koordinačių sistemose. Kaip žinome 

⎧ 

2 2 

⎧x 

= ρ cosθ 

, 

ρ = x + y , 

⎪ 

⎨ 

ir ⎨ 

⎩y 

= ρ sinθ 

, 

y 

⎪θ 

= arctg . 

⎩ x 

Be to ( x, 

y) 

f ( ρ cosθ 

, ρ sinθ 

) 

2 

x = ± 2ay − y 

Brėžinyje nupiešta 

pusė apskaičiuojamo 

kūno tūrio (kita 

pusė yra simetriška šiam kūnui xOy plokštumos atžvilgiu). 

Kūno tūris yra 

2 

2 2 

2 2 2 

2∫ 

∫ 4 

. 

⎟ 

0 

2 

2 

⎟ 

2 2 

x + y −2ay= 

0 

y 

a⎛ 

ay− 

y 

⎞ 

V = 

⎜ 

a − x − y dx dy 

⎜ 

⎝ − ay− 

y 

⎠ 

Gautąjį integralą lengviau apskaičiuosime polinėje 

4a 

2 

f = , todėl 

( θ ) 

b 

∫∫ f ( x y) 

dxdy ∫ ∫ f ( ρ ϕ ρ ϕ) 

ρdρ 

dθ 

⎟ 

D 

a ( θ ) 

⎟ 

Φ ⎛ 2 

⎞ 

, = ⎜ cos , sin . (4) 

⎜ 

⎝ Φ1 

⎠ 

Pavyzdys. Apskaičiuoti tūrį kūno, gauto, susikirtus 

2 2 2 2 

sferai x + y + z = 4a ir cilindrui 

2 2 

x + y − 2ay 

= 0 . 

> Sritis D yra tarp taškų y = 0 ir y = 2a 

, bei linijų 

P 

θ 

x, p 

a 

ρ 

2 a 

D 

1 

ρ = 2a sinθ 

y

koordinačių sistemoje. Žinome ryšio lygtis 

⎧ 

2 2 

⎧x 

= ρ cosθ 

, 

ρ = x + y , 

⎪ 

⎨ 

ir ⎨ 

⎩y 

= ρ sinθ 

, 

y 

⎪θ 

= arctg . 

⎩ x 

2 2 

Cilindro x + y − 2ay 

= 0 lygtis polinėje koordinačių sistemoje yra ρ = 2a sinθ 

. 

Sritis D yra 

π 

2 

⎧ ⎛ π ⎞ 

⎪θ 

∈⎜ 

0, 

⎟, 

D : ⎨ ⎝ 2 ⎠ pointegralinė funkcija 

⎪ 

⎩ρ 

∈ ( 0, 

2a 

sinθ 

) , 

2 1 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

= ∫ ∫ 

∫ ∫ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 2 

2 2 

todėl V 4 4a 

− ρ ρdρ 

dθ 

= −2 

4a 

− ρ ( − 2ρ 

) dρ 

dθ 

= 

4 

= − 

3 

π 

2 

∫ 

0 

32a 

= 

3 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

π 

3 

0 

2a 

sinθ 

0 

π 

2 

0 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

2a 

sinθ 

3 

2 

3 

2 2 ⎤ 4 ⎡ 2 2 2 

2 

( 4a 

− ρ ) 2 

( 4 4 sin ) 2 

⎥ dθ 

= − ∫ ⎢ a − a θ − ( 4a 

) 

0 

2 2 2 

2 2 

z = 4a − x − y = 4a 

− ρ , 

2 

3 2 

3 2 

3 

3 

3 32a 

32a 

3 16a 

π 32a 

2! 

! 16 3 

∫ ( 1− 

cos θ ) dθ 

= ∫ dθ 

− ∫cos 

θdθ 

= − = a ( 3π 

− 4). 

0 

⎦ 

2a 

sinθ 

0 

3 

π 

0 

3 

π 

0 

⎣ 

3 

π 

0 


3 

3 

2 

3 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎤ 

⎥dθ 

= 

⎦ 

§ 4. TRILYPIS INTEGRALAS, JO SAVYBĖS IR APSKAIČIAVIMAS STAČIAKAMPĖJE 

KOORDINAČIŲ SISTEMOJE 

Tegul trimatėje erdvėje duota tam tikra sritis V (erdvinio kūnas) apribotas uždaru 

paviršiumi S (erdvinis kūno paviršius). Tegul šioje srityje V ir jo paviršiuje S žinoma tam tikra 

tolydi funkcija w = f ( x, 

y, 

z) 

, čia x , y, 

z stačiakampės srities V koordinatės. Tuo atveju, kai 

f ( x, 

y, 

z) 

≥ 0 , šią funkciją galime įsivaizduoti erdvinio kūno tankio funkcija. 

Išdalinkime V į tam tikras daleles ∆ Vi 

, pažymėdami ∆ Vi 

ne tik atitinkamą srities V dalelę, bet 

ir jos tūrį. Kiekvienoje ∆Vi dalelėje paimkime tašką P i ir šiame taške apskaičiuokime funkcijos 

= f ( x, 

y z) 

reikšmę, t. y. f ( x y, 

z) 

= f ( P ) 

w , 

P 

i 

i 

3! 

! 

, . Sudarykime integralinę sumą 

∑ f ( Pi 

) ∆Vi 

i=1 

ir apskaičiuokime jos ribą, kai ∆V → 0, 

( n → ∞) 

diam i 

n 

max . Ši riba vadinama trilypiu integralu 

n 

∑ 

max diam∆Vi 

→0 

i= 

1 

( P ) ∆V 

= f ( P) 

i 

i 

∫∫∫ 

lim f 

dv arba, (1) 

kai skaidymas į sriteles vykdomas plokštumomis, lygiagrečiomis koordinačių plokštumoms 

lim 

n 

∑ 

max diam∆Vi 

→0 

i= 

1 

f 

( P ) ∆V 

= f ( x, 

y, 

z) 

Jeigu ( x, 

y, 

z) 

≥ 0 

kūno masę M . Atskiru atveju, kai f ( x y, 

z) 

= const = ρ 

i 

i 

∫∫∫ 

V 

V 

dxdydz 

f yra erdvinio kūno tankio funkcija, tai integralas (1) apskaičiuoja erdvinio 

, , tai 

9 

(2)

∫∫∫ 

M = ρ dxdydz . (3) 

V 

Tegul trimatis erdvinis kūnas V yra apribotas uždaru paviršiumi S , pasižyminčiu savybėmis: 

1) kiekviena tiesė, lygiagreti Oz ašiai, ir einanti per srities V vidinį tašką, kerta paviršių S 

dviejuose taškuose, 

2) visa sritis V , suprojektuota į xOy plokštumą, reiškia teisingą dvimatę sritį D , 

3) kiekviena srities V dalis, atkirsta plokštumomis, lygiagrečiomis koordinačių plokštumoms 

xOy , xOz ir yOz , taip pat pasižymi 1 ir 2 savybėmis. 

Tokia sritis V vadinama teisinga trimate sritimi. 

b 

x 

a 

z 

y = ϕ1 

Funkcijos w f ( x, 

y, 

z) 

Aprašykime šią sritį V . Iš brėžinio 

matome, kad sritį V iš apačios ir iš 

viršaus riboja du skirtingi paviršiai 

z = ψ 1 ( x , y ) ir z = ψ 2( 

x, 

y) 

, 

atitinkamai. Plokščią sritį D iš kairės ir iš 

dešinės riboja linijos y = ϕ1( 

x) 


= ϕ x , atitinkamai, kai x ∈ a, 

b .Tada 

y 2( 

) 

⎧x 

∈ ( a, 

b) 

, 

⎪ 

V : ⎨y 

∈ ( ϕ 1( 

x) 

, ϕ 2 ( x) 

) , 

⎪ 

⎩z 

∈ ( z = ψ 1( 

x, 

y) 

, z = ψ 2( 

x, 

y) 

) , 

ir funkcijos w f ( x, 

y, 

z) 

= 

integralas srityje V yra 

trigubas 

ϕ ( x) 

ψ ( x, 

y ) 

ϕ ( x) 

ψ ( x, 

y ) 

( x, 

y, 

z) 

∫ ∫ ∫ ⎟ ⎟ 

⎜ ⎜ f dz⎟dy 


I 

V 

= 

b 

a 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

2 

1 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

2 

1 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

dx . 

⎠ 

= trilypis integralas teisingoje srityje V yra lygus trigubam integralui 

toje pačioje srityje 

( ) ( ) 

∫∫∫ ( ) ∫ ∫ ∫ ( ) 

⎟ 

( ) ( ) 

⎟ 

b ⎛ϕ 

2 x ψ ⎛ 2 x, 

y ⎞ ⎞ 

I = 

= ⎜ ⎜ 

⎟ 

V f x, 

y, 

z dv 

f x, 

y, 

z dz dy dx . (4) 

⎜ ⎜ 

⎟ 

V 

a ⎝ ϕ1 

x ⎝ψ 

1 x, 

y ⎠ ⎠ 

Galime nustatyti tokias trilypio integralo savybes: 

1. Jeigu sritį V perkirsime plokštuma, lygiagrečia kuriai nors iš koordinačių plokštumų, į dvi 

sritis 1 V ir 2 V , tai trilypis integralas srityje V yra lygus trilypių integralų srityse 1 V ir V 2 sumai. 

Šią savybę galima išplėsti baigtiniam sričių V 1 ,..., Vn 

skaičiui. 

I = I + I + ... + I 

V 

V 

1 

2. (Trilypio integralo įvertinimas). Jei m ir M yra, atitinkamai, mažiausia ir didžiausia funkcijos 

w = f x, 

y, 

z reikšmės srityje V , tai mV ≤ IV 

≤ MV , čia V nagrinėjamos srities V tūris. 

( ) 

( x) 

V 

D 

y = ϕ2 

( x) 

( x y) 

z = ψ , 

2 

y 

( x y) 

z = 

ψ , 

1 

3. (Vidurkio savybė). Trigubas integralas srityje V yra lygus šios srities tūriui V , padaugintam iš 

funkcijos w = f ( x, 

y, 

z) 

reikšmės, apskaičiuotos tam tikrame srities taške P . 

IV = f ( P)V 

. 

V 

2 

V 

n

§ 5. TRILYPIO INTEGRALO APSKAIČIAVIMAS CILINDRINĖJE IR SFERINĖJE 

KOORDINAČIŲ SISTEMOSE 

Jau žinome, kad funkcijos w f ( x, 

y, 

z) 

= trilypis integralas srityje V , aprašytoje 

( a, 

b) 

, 

( ϕ 1( 

x) 

, ϕ 2 ( x) 

) , 

( z = ψ ( x, 

y) 

, z = ψ ( x, 

y) 

) , 

⎧x 

∈ 

⎪ 

stačiakampėje koordinačių sistemoje reiškiniu V : ⎨y 

∈ 

⎪ 

⎩z 

∈ 

apskaičiuojamas, pakeičiant jį trigubu integralu 

1 

2 

( ) ( ) 

∫∫∫ ( ) ∫ ∫ ∫ ( ) 

⎟ 

( ) ( ) 

⎟ 

b ⎛ ϕ2 

x ψ ⎛ 2 x, 

y ⎞ ⎞ 

I = 

= ⎜ ⎜ 

⎟ 

V f x, 

y, 

z dv 

f x, 

y, 

z dz dy dx . 

⎜ ⎜ 

⎟ 

V 

a ⎝ ϕ1 

x ⎝ψ 

1 x, 

y ⎠ ⎠ 

Būtina pabrėžti, kad integravimo tvarka gali būti ir kitokia, priklausomai nuo konkretaus 

sprendžiamo uždavinio. 

1. Cilindrinėje koordinačių sistemoje 

taško M padėtis erdvėje nusakoma 

koordinatėmis θ , ρ, 

z , t. y. M ( θ , ρ, 

z) 

, čia θ 

ir ρ polinės taško A koordinatės 

plokštumoje, o z taško M aplikatė. 

x, p 

z 

O, P 

θ 

ρ 

Ryšio lygtys tarp cilindrinių ir stačiakampių 

⎧x 

= ρ cosθ 

, 

⎪ 

koordinačių yra ⎨y 

= ρ sinθ 

, 

⎪ 

⎩z 

= z. 

Cilindrinė koordinačių sistemoje dažniausiai naudojama tais atvejais, kai funkcija f ( x, 

y, 

z) 

arba sritis V yra cilindriniai bei sferiniai paviršiai. 

Kadangi ∆v = ρ ∆θ∆ρ∆z 

, tai dv = ρdθdρdz 


∫∫∫ 

čia f ( x, 

y, 

z) 

f ( ρ cosθ 

, ρ sinθ 

, z) 

= F( 

θ , ρ, 

z) 

V 

( x y, 

z) 

dv = F( 

θ , ρ, 

z) 

= . 


∫∫∫ 

f , ρdθdρdz 

, (1) 

Pavyzdys. Apskaičiuoti pusrutulio masę M , jei rutulio centras yra koordinačių pradžioje, 

spindulys – R , o tankio funkcija – F = kz . 

> Viršutinės sferos dalies paviršiaus lygtis yra 

Cilindrinėje koordinačių sistemoje 

z 

( θ, 

ρ z) 

M , 

N ( θ, ρ ) 

y 

V 

x, p 

z − 

2 2 2 

= R − x y . 

2 2 

2 2 

z = R − ρ , nes = x + y 

z 

O, P 

∆θ 

∆ρ 

ρ∆θ 

∆z 

ρ , todėl 

∆V = ρ 

⋅ ∆θ 

⋅ ∆ρ 

⋅ ∆z 

y

M 

= 

= 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

2π 

R 

∫∫ 

0 0 

∫∫∫ 

V 

k 

2 

kzρdθdρdz 

= 

2π 

R 

0 0 0 

⎞ 

2π 

R 

2π 

2 4 

2π 

4 4 

4 

4 

2 2 k 2 ρ ρ k ⎛ R R ⎞ k R kπR 

( R − ρ ) ρdρ 

⎟dθ 

⎜ R 

⎟ 

⎟ 

= ∫ − dθ 

= ∫ ⎜ − ⎟ 

⎟dθ 

= 2π 

= . < 

⎠ 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

2 2 

R −ρ 

⎞ ⎞ 

kzdz 

⎟ ⎟ 

ρdρ 

dθ 

= 

⎟ ⎟ 

⎠ ⎠ 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ R R ⎞ 

2 ⎜ 

0 ⎝ 

2 0 4 ⎟ 

0 ⎠ 

∫∫ ∫ 


∫∫ 

kz 

2 

2 

0 0 0 

2 

2 

R − 

0 

⎝ 

ρ 

2 

2 

⎞ 

⎟ 

ρdρ 

⎟dθ 

= 

⎟ 

⎠ 

2. Sferinėje koordinačių sistemoje taško M padėtį erdvėje nusakome koordinatėmis θ ,r , ϕ , 

0 ≤ r < ∞ , ϕ – kampas, kurį vektorius 

0 ≤ ϕ ≤ π , θ – kampas, kurį vektoriaus OM r 

projekcija į xOy plokštumą sudaro su 

z 

teigiama Ox ašies 

čia r – taško atstumas nuo koordinačių pradžios taško ( ) 

→ 

OM sudaro su teigiama Oz ašies kryptimi ( ) 

x 

z = r cosϕ 

x = rsinϕ 

sinθ 

O 

θ 

r 

ϕ 

( θ , ρ z) 

M , 

Bet kuriam erdvės taškui M ( x, 

y, 

z) 

⎧x 

= r sinϕ 

cosθ 

, 

⎪ 

⎨y 

= r sinϕ 

sinθ 

, 

⎪ 

⎩z 

= r cosϕ. 

2 

Galime rasti ir dv = r sinϕdrdθdϕ 

, tada 

∫∫∫ 

V 

y = rsinϕ 

sinθ 

ρ = rsinϕ 

A 

( θ ,r sinϕ 

) 

( x y, 

z) 

dv = F( 

r, 

θ , ϕ ) 

∫∫∫ 

V 

4 

⎠ 

2 

4 

kryptimi ( 0 θ ≤ 2π 

) 

≤ . 

2 

f , r drdθdϕ 

. (2) 

§ 6. KARTOTINIŲ INTEGRALŲ TAIKYMAS MECHANIKOJE 

1. Dvilypio integralo taikymas 

a) plokštelės inercijos momentas 

Materialaus taško M , kurio masė yra m , inercijos momentas koordinačių pradžios taško O 

2 

atžvilgiu yra I = mr , čia r = OM . Tada materialiųjų taškų M i , turinčių mases m i , sistemos 

inercijos momentą koordinačių pradžios taško O atžvilgiu apskaičiuosime sumuodami 

I 

n 

= 

n 

∑ 

i= 

1 

2 

m r . (1) 

Dabar apskaičiuokime plokštelės inercijos momentą taško O atžvilgiu 

y 

x 

i i 

∆ϕ 

O 

θ 

z 

ϕ 

∆θ 

r 

∆ r 

4 

2 

∆V = r sinϕ∆r∆θ∆ϕ 

y

Plokštelę, kurios forma atitinka sritį D , o tankis γ = const = 1 , išdaliname į elementarias sriteles 

y 

D 

∆ Si 

( i = 1, 

2,..., 

n) 

. Kiekvienoje ∆ Si 

sritelėje 

paimame tašką Pi ( ξ i, 

ηi 

) . Tokios elementarios 

sritelės inercijos momentas yra 

2 

2 2 

∆Ii 

= ri 

∆Si 

= ( ξ i + ηi 

) ∆Si 

. 

Pi 

Susumuokime visus šiuos elementarių sritelių 

ηi 

∆Si 

i ∈ 1, 

n momentus 

I 

0 

2 2 ( x y ) 

= ∫∫ + 

D 

( ) 

2 2 ( ξ + η ) 


n 

∑ 

i= 

1 

i 

i 

∆S 

ir apskaičiuokime šios sumos ribą, kai 

max diam ∆Si → 0 ( n → ∞) 

. Ši sumos riba yra 

plokštelės inercijos momentas koordinačių 

pradžios taško O atžvilgiu. 

I 

2 2 ( + ) 

n 

0 = lim ∑ i ηi 

max diam 

∆S 

→ i= 

1 

i 0 

i 

ξ ∆S 

arba 

dxdy . (2) 

Šios plokštelės inercijos momentus ašių Ox ir Oy atžvilgiu galime apskaičiuoti analogiškai. 

I xx 

2 

= ∫∫ y dxdy , I yy = ∫∫ 

D 

D 

2 

x dxdy . (3),(4) 

Pavyzdys. Apskaičiuokite skritulio, kurio centras yra koordinačių pradžioje, o spindulys – R , 

inercijos momentą jo centro atžvilgiu. 

2 2 

> Kadangi I0 

= ∫∫ ( x + y ) dxdy , tikslinga integruoti polinėje koordinačių sistemoje, tada 

( 0, 

2π 

) , 

( 0, 

R) 

, 

D 

2π 

R 

4 

⎧θ 

∈ 

⎛ ⎞ 2 πR 

D : ⎨ ir I0 

= ρ ρdρ 

dϕ 

= 

⎩ρ 

∈ ∫∫ ⎜ ⎟ 

⎜ ⎟ 

. 

2 

0⎝0 ⎠ 

Išvada: „vilkelio“ sukimosi apie ašį inercijos momentas yra proporcingas 

Pastaba. Jei plokštelės tankis nėra lygus 1, bet kinta, t.y. γ ( x, y) 

I 

0 

= 

ri 

O ξi 

∫∫ 

D 

2 2 

( x, 

y)( 

x + y ) 

2 

γ dxdy , I = ( x, 

y) 

y dxdy 

b) plokštelės masės centras 

Materialių taškų P , P2 

,..., Pi 

,..., Pn 

koordinates apskaičiuojame pagal formules 

xx 

∫∫ 

D 

γ = , tai 

∫∫ 

γ , I = ( x, 

y) 

1 , turinčių mases m , m2,..., 

mi 

,..., mn 

∑ 

∑ 

x 

i 

∑ 

∑ 

yy 

D 

4 

R .< 

2 

γ x dxdy . (5),(6),(7) 

1 sistemos masės centro 

ximi 

yimi 

x c = , y c = . (8) 

m 

m 

Dabar apskaičiuokime plokštelės masės centro koordinates. Analogiškai aukščiau užrašytoms 

formulėms (8) galime gauti 

i 

i

x 

n 

∑ 

i= 

1 

c ≈ n 

ξi∆Si 

, y 

∆S 

∑ 

i= 

1 

i 


n 

∑ 

i= 

1 

c ≈ n 

η ∆S 

Šių integralinių sumų ribos, kai max ∆Si 

artėja į nulį, atitinka dvilypius integralus skaitikliuose ir 

vardikliuose. Tada 

∫∫ 

D 

∫∫ 

D 

xdxdy 

∑ 

i= 

1 

∫∫ 

D 

∫∫ 

i 

∆S 

i 

i 

. 

x c = , y c = . (9) 

dxdy dxdy 

D 

ydxdy 

Tuo atveju, kai plokštelės medžiagos tankis yra nusakomas funkcija γ ( x, y) 

∫∫ 

x 

c 

= 

∫∫ 

D 

∫∫ 

D 

xγ 

γ 

( x, 

y) 

( x, 

y) 

dxdy 

dxdy 

čia išraiškos x ( x, 

y) 

dxdy ir yγ 

( x, 

y) 

D 

∫∫ 

D 

, 

y 

c 

= 

∫∫ 

D 

∫∫ 

D 

yγ 

γ 

( x, 

y) 

( x, 

y) 

dxdy 

dxdy 

γ = , tai 

, (10) 

γ dxdy vadinamos plokščios figūros D statiniais 

momentais (sukimo momentas apie ašis y ir x 

γ x, y dxdy - plokštelės D masė. 

∫∫ 

D 

atitinkamai), o ( ) 

Pavyzdys. Apskaičiuoti ketvirtadalio elipsės pavidalo 

plokštelės masės centro koordinates, kai γ = 1. 

> x 

c 

= 

a 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

∫ ∫ 

a 

b 2 

a 

a 

0 0 

b 

a 

a 

∫ ∫ 

0 0 

2 2 ( a − x ) 

3 

2 

2 

−x 

⎞ 

⎟ 

xdy⎟dx 

⎟ 

⎠ 

= 

2 2 

−x 

⎞ 

⎟ 

dy⎟dx 

⎟ 

⎠ 

a 

b 

a 

− 4 

0 4a 

= , y 

2 

3πa 

3π 

c 

a 

∫ 

0 

= 

a 

2 

− x 

1 

πab 

4 

a 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

b 

a 

∫ ∫ 

0 0 

2) Trilypio integralo taikymas 

a) kūno inercijos momentas 

Taško M ( x y, 

z) 

2 

xdx 

= 

2 2 

a −x 

⎞ 

⎟ 

ydy⎟dx 

⎟ 

⎠ 4b 

= .< 

1 

πab 

3π 

4 

, , kurio masė yra m , inercijos momentas koordinačių ašių Ox, Oy ir Oz 

2 2 

2 2 

2 2 

atžvilgiu apskaičiuojamas pagal formules ( ) , ( ) , ( ) . 

I xx = y + z m I yy = x + z m I zz = x 

Kūno inercijos momentai šių ašių atžvilgiu apskaičiuojami trilypiais integralais 

b 

O 

y 

b 

y = 

a − 

a 

2 2 

x y 

+ = 1 

2 2 

a b 

2 2 

x 

a 

+ y 

x 

m

I 

I 

I 

xx 

yy 

zz 

= 

= 

= 

2 2 

∫∫∫( 

y + z ) γ ( x, 

y, 

z) 

V 

2 2 

∫∫∫( 

x + z ) γ ( x, 

y, 

z) 

V 

2 2 

∫∫∫( 

x + y ) γ ( x, 

y, 

z) 

V 

čia ( x , y, 

z) 

dxdydz 

dxdydz , (11) 

dxdydz 

γ medžiagos tankio funkcija. 

b) erdvinio kūno masės centro 

koordinatės 

Analogiškai plokštelės masės centro 

koordinačių formulėms, galime užrašyti 

kūno masės centro koordinačių formules 

x 

c 

∫∫∫ 

= 

∫∫∫ 

V 

∫∫∫ 

V 

xγ 

γ 

( x, 

y, 

z) 

( x, 

y, 

z) 

dxdydz 

dxdydz 

∫∫∫ 

, 

y 

c 

= 

∫∫∫ 

V 

∫∫∫ 

V 

yγ 

γ 

( x, 

y, 

z) 

( x, 

y, 

z) 

dxdydz 

dxdydz 

čia x γ ( x, 

y, 

z) 

dxdydz, 

yγ 

( x, 

y, 

z) 

dxdydz, 

z ( x, 

y, 

z) 

V 

momentai apie ašis Ox Oy, 

Oz 

V 

∫∫∫ 

V 

, , o ( x , y, 

z) 

2 

y + 


∫∫∫ 

V 

, 

z 

c 

= 

∫∫∫ 

V 

∫∫∫ 

V 

zγ 

γ 

( x, 

y, 

z) 

( x, 

y, 

z) 

dxdydz 

dxdydz 

, (12) 

γ dxdydz yra statiniai (sukimo) 

γ dxdydz – kūno masė, atitinkamai. 

§ 7. SKALIARINIAI IR VEKTORINIAI LAUKAI 

Sakoma, kad erdvėje yra žinomas laukas, jei kiekviename erdvės taške žinoma šio lauko 

reikšmė. Tokio lauko pavyzdžiu gali būti temperatūros laukas (kiekviename taške temperatūra 

apibrėžta) arba krūvio sudaromas elektrinis laukas. Laukai gali būti skaliariniai ir vektoriniai, 

priklausomai nuo nagrinėjamo dydžio charakterio (temperatūros laukas yra skaliarinis laukas, o 

elektrinis – vektorinis). Be to, laukas gali būti stacionarus (nusistovėjęs), jei kiekviename erdvės 

taške lauko reikšmė nekinta laike ir nestacionarus (nenusistovėjęs), jei lauko reikšmė priklauso 

nuo laiko momento. 

Imkime skaliarinį lauką, kurio dydis kiekviename erdvės taške M yra u . Galime užrašyti 

funkcinį ryšį u = f ( M ) . Tai, suprantama, kitokio pobūdžio funkcija, lyginant ją su anksčiau 

nagrinėtomis, kadangi taškas nėra dydis. Bet juk funkcinį ryšį galime nagrinėti platesne prasme. 

Tai vienos rūšies „objektų“ priklausomybė nuo kitos rūšies objektų. Tuo atveju, kai laukas 

nestacionarus u = f ( M , t) 

. 

Jei taškas M = M ( x, 

y, 

z) 

yra trimatės erdvės taškas, o u = f ( x, 

y, 

z) 

priklauso nuo visų šios 

erdvės koordinačių tai šis laukas yra erdvinis ir jį tenka nagrinėti stačiakampėje arba kurioje nors 

kitoje koordinačių sistemoje. Jeigu nagrinėjamas laukas nepriklauso nuo vienos iš koordinačių, jį 

galime įsivaizduoti plokščiu lauku, t.y. lauku plokštumoje. 

§ 8. LYGIO LINIJOS IR PAVIRŠIAI 

= , tai sakoma, kad 

šioje srityje yra žinomas skaliarinis laukas (temperatūrų skaliarinis laukas, slėgių skaliarinis 

laukas ir pan.). 

Jeigu trimatėje erdvėje yra sritis V , kurioje žinoma funkcija u f ( x, 

y, 

z) 

x 

z 

2 

z 

y 

z 

O 

x 

2 

x + 

( x, 

y z) 

M , 

y 

2 

x + 

2 

y 

z 

2

Imkime srities V taškus, kuriuose funkcija u f ( x, 

y, 

z) 

= turi pastovią reikšmę c . 

( x, 

y z) 

c 

u = f , = 

Tokių taškų aibė sudaro paviršių f ( x, 

y, 

z) 

= c . Kai paimsime kitą c reikšmę, gausime kitą 

paviršių. Šie paviršiai vadinami lygio paviršiais. 

2 2 2 

x y z 

Pavyzdys. Apskaičiuokime skaliarinį lauko f ( x, 

y, 

z) 

= + + lygio paviršius. 

4 9 16 

2 2 2 

x y z 

> Lygio paviršiai yra + + = c , t.y. elipsoidai.< 

4 9 16 

x 

u = z 

O 

x 

( x y) 

u = z = f , 

( x, 

y) 

c 

f = 

§ 9. GRADIENTAS IR JO SAVYBĖS 

Tegul erdvėje yra duotas stacionarus laukas bus u u( 

x, 

y, 

z) 

= yra 

plokščias laukas, o lauko u reikšmes 

(lauko intensyvumas) atidėsime z 

ašyje, tai laukas u = z = f ( x, 

y) 

yra 

dviejų kintamųjų funkcija ir galime 

kalbėti apie tokio lauko lygio linijas 

f ( x, 

y) 

= c . 

Šiuo atveju lygio linijos bus z = c , 

t.y. paviršiaus z = f ( x, 

y) 

susikirtimo 

linijos su plokštumomis z = c . Žinant 

lygio linijas, patogu nagrinėti lauko 

charakterį. 

Tuo atveju, kai u f ( x, 

y, 

z) 

= . Šioje erdvėje yra ir tam tikra 

linija L , einanti per tašką M , kuriame linijos L liestinės kryptis yra → 

l . Lauko u išvestinė pagal 

kryptį → 

l reiškia šio lauko kitimo greitį duotąja kryptimi 

∂u 

u( 

N ) − u( 

M ) 

= lim . (1) 

∂l 

∆s→0 ∆s 

Kai linija L duota parametriniu pavidalu r r () s 

→ → 

l 

= , tai 

laukas u išilgai linijos L yra sudėtinė kelio s funkcija 

τ 

N L 

u ( s) 

= u( 

x( 

s) 

, y( 

s) 

, z( 

s) 

) . 

∆ 

s 

→ 

du 

Lauko u išvestinę pagal kryptį l galime 

ds 

M 

apskaičiuoti, kaip sudėtinės funkcijos išvestinę 

du ∂u 

dx ∂u 

dy ∂u 

dz 

= + + , 

ds ∂x 

ds ∂y 

ds ∂z 

ds 

čia dešinėje pusėje galime rasti dviejų vektorių skaliarinę sandaugą, t.y. 


y 

y

du ⎛ ∂u 

→ ∂u 

→ ∂u 

→⎞ 

⎛ dx → 

= ⎜ i + j+ 

k ⎟ ⋅ ⎜ i + 

dl ⎝ ∂x 

∂y 

∂z 

⎠ ⎝ dS 

Pirmasis iš šių vektorių yra vadinamas lauko u gradientu ir žymimas 


dy 

dS 

Jo fizikinę prasmę išsiaiškinsime vėliau. Antrasis vektorius 

yra krypties → 

l vienetinis vektorius. Todėl 

Taigi skaliarinio lauko u u( 

x, 

y, 

z) 

→ 

j+ 

dz 

dS 

→⎞ 

k ⎟ 

⎠ 

∂u 

→ ∂u 

→ ∂u 

→ 

grad u = i + j+ 

k . (2) 

∂x 

∂y 

∂z 

→ → → 

d 

⎛ 

⎞ → 

→ → → ⎜ x i + y j+ 

z k ⎟ 

dx dy dz 

→ 

+ + = 

⎝ 

⎠ d r 

i j k 

= = τ 

ds ds ds ds ds 

du 

ds 

→ 

= grad u ⋅τ 

(4) 

= išvestinė → 

l kryptimi yra lygi dviejų vektorių grad u ir 

→ 

τ skaliarinei sandaugai. Pasinaudokime žinoma vektorinės algebros formule, tada 

du 

→ 

= grad u ⋅τ 

= prτ 

( grad u) 

= gradlu 

(5) 

ds 

yra gradiento projekcija(skaliaras) į vektorių → 

l . 

∂u 

∂u 

∂u 

Pažymėkime, kad išvestinės , , yra gradiento projekcijos. 

∂x 

∂y 

∂z 

u = u x, 

y, 

z pilnąjį diferencialą 

Apskaičiuokime funkcijos ( ) 

∂u 

∂u 

∂u 

⎛ ∂u 

→ ∂u 

→ ∂u 

→⎞ 

→ → → 

du = dx + dy + dz = 

⎛ 

⎞ 

⎜ i + j+ 

k ⎟⎜dx 

i + dy j+ 

dz k ⎟ = 

∂x 

∂y 

∂z 

⎝ ∂x 

∂y 

∂z 

⎠⎝ 

⎠ 

→ → → 

→ 

= grad u ⋅ d 

⎛ 

⎞ 

⎜ x i + y j+ 

z k ⎟ = grad u ⋅ d r 

⎝ 

⎠ 

Dabar išsiaiškinkime grad u fizikinę prasmę. Iš 

du 

(5) formulės matome, kad yra maksimalus, 

ds 

kai grad u ir → 

τ kryptys sutampa, nes tada 

projekcija yra didžiausia. Taigi grad u reikšmė 

taške M nusako absoliutinį lauko u = u( 

x, 

y, 

z) 

kitimo greitį, o jo kryptis šio lauko kitimo 

(augimo) kryptį. 

Jei tam tikroje aplinkoje yra „krosnis“, tai visur 

temperatūros lauko gradientas nukreiptas į 

„krosnį“. Kuo arčiau „krosnies“, tuo 

temperatūros lauko modulis didesnis, nes ten 

temperatūros lauko kitimas yra didesnis. 

(3)

taško i 

P iki i+ 

1 

→ → 

i = Fi 

⋅∆ 

si 

§ 10. PIRMOJO IR ANTROJO TIPŲ KREIVINIAI INTEGRALAI 

P , t.y. 

→ → 

∆ i = Pi 

Pi 

+ 1 

A (skaliarinė sandauga). 

o 

y 

y i 

O 

i+ 

1 

y 

∆ 

yi 

P 2 

P 1 

M 

→ 

Fi 

xi 

P i 

∆ xi 

Tegul turime tam tikrą liniją L , kurioje 

tarp taškų M ir N , jėgos → 

F veikiamas, juda 

P x, 

y . Jėga → 

F gali keisti tiek savo 

taškas ( ) 

→ 

kryptį, tiek ir dydį, t.y. F 

→ 

F( 

P) 

= . 

Apskaičiuokime jėgos → 

F atliekamą 

darbą A , kai taškas P nueina kelią nuo taško 

M iki taško N . 

Kreivės L dalį nuo taško M iki taško 

N taškaisP i išdaliname į n dalių, 

pažymėdami → 

∆s i vektorių 

→ 

P iPi 

+1 . Lankus, 

esančius tarp taškų P i irP i+ 

1 , pakeičiame 

styga ∆ si 

, tiksliau vektoriumi, einančiu nuo 

s . Tada elementarioje atkarpoje atliekamas darbas yra 

Jei ( ) ( ) → 

→ 

→ 

F = X x, 

y i + Y x, 

y j , čia X ( x, 

y) 

ir ( x y) 

→ → → 

si = ∆xi 

i + ∆yi 

P 

∆ j , tai 

x 

i+ 

1 

i+ 

1 

A ≈ 

∆ si 

i ∆ si 

→ → 

Y , jėgos → 

F projekcijos, 

( xi 

yi 

) ∆xi 

+ Y ( xi 

, yi 

) yi 

F = X , ∆ ir 

n 

∑ 

i= 

1 

→ 

→ 

F ∆ s 

i 

i 

= 

n 

∑ 

i= 

1 

[ X ( x y ) ∆x 

+ Y ( x , y ) ∆y 

] 


i 

, (1) 

Apskaičiuojame reiškinio (1) ribą, kai max s → 0 ( x → 0 , y → 0) 

ir gauname 

∫ 

n 

∑ ∆xi→0 

∆y 

→ i= 

1 

i 0 

∆ i 

i 

i 

∆ i 

[ X ( x , y ) ∆x 

+ Y ( x , y ) ∆y 

] 

A = lim . 

i 

i 

i 

( N ) 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

∆ i 

( x y) 

dx + Y ( x, 

y) 

dy = X ( x, 

y) 

dx + Y ( x y) 

∫ 

A = X , , dy . (2) 

L 

Ši integralinės sumos riba vadinama funkcijų X ( x, 

y) 


Y , antrojo tipo kreiviniu 

integralu kreive L . 

Pastaba. Integrale (2) M ir N yra skliaustuose, nes tai ne skaičiai, o linijos, kuria vyksta 

integravimas, pradžios ir galo taškai. 

Tuo atveju, kai kreivė L yra erdvinė kreivė, tada trijų funkcijų X ( x, 

y, 

z) 

, Y ( x, 

y, 

z) 

, Z( 

x, 

y, 

z) 

kreivinis integralas apskaičiuojamas analogiškai 

∫ 

( M ) 

( x y, 

z) 

dx + Y ( x, 

y, 

z) 

dy + Z( 

x, 

y z) 

A = X , , dz , (3) 

L 

N 

L 

x

čia L - erdvinė integravimo kreivė. 

Atskiru atveju, kai F ( P) 

yra skaliarinė funkcija (pvz.: linijos tankis), tada galime gauti 

pirmojo tipo kreivinį integralą, kuris reiškia linijos masę 

⎧x 

= ϕ 

⎨ 

⎩y 

= ψ 

M 

= 

n 

∑ 

lim 

max ∆si 

→0 

i= 

1 

F ∆s 

( x, 

y) 

§ 11. KREIVINIŲ INTEGRALŲ APSKAIČIAVIMAS 

Apskaičiuokime pirmojo tipo kreivinį integralą įvairias atvejais. 

1. kreivė L duodama parametrinėmis lygtimis: 

() t , 

() t , 

tada 

⎧dx 

= ϕ 

⎨ 

⎩dy 

= ψ 

′ () t 

′ () t 


i 

i 

= 

∫ 

L 

F 

ds 

. (4) 

dt, 

2 2 

2 

2 

, čia t1 ≤ t ≤ t2 

. Kadangi ds = dx + dy = [ ϕ ′ () t ] + [ ψ ′ () t ] dt , 

dt, 

2 

2 

2 

tai F( 

x, 

y) 

ds = F( 

() t , ψ () t ) ϕ ′ ( t) 

+ ψ ′ ( t)dt 

⎧x 

= ϕ 

⎪ 

⎨y 

= ψ 

⎪ 

⎩z 

= η 

∫ 

L 

2. kreivė L duota kryptimi f ( x) 

∫ 

L 

F 

t 

∫ 

t1 

ϕ . (1) 

2 

y = , a ≤ x ≤ b , tada ds = 1 + f ′ ( x)dx 


b 

2 

( x y) 

ds = F( 

x, 

f ( x) 

) 1+ 

f ′ ( x) 

∫ 

, dx . (2) 

3. kreivė L yra erdvinė ir duota parametrinėmis lygtimis: 

() t , 

() t , 

() t , 

čia t1 t ≤ t2 

2 2 2 

≤ , tada ds () t () t ()dt t 

∫ 

L 

F 

a 

= ϕ ′ + ψ ′ + η′ 


t 

2 

2 

2 2 

( x, 

y, 

z) 

ds = F( 

() t , ψ () t , η() 

t ) ϕ ′ () t + ψ ′ () t + η′ 

()dt t 

∫ 

t1 

ϕ . (3) 

Antrojo tipo kreivinius integralus apskaičiuojame analogiškai. Tegul plokščia kreivė L yra 

duota parametrinėmis lygtimis: 

⎧x 

= ϕ 

⎨ 

⎩y 

= ψ 

() t , 

() t , 

čia t1 t ≤ t2 

∫ 

L 

≤ , tada 

⎧dx 

= ϕ 

⎨ 

⎩dy 

= ψ 

′ ( t) 

′ () t 

t 

dt, 

, todėl 

dt, 

2 

( x, 

y) 

dx + Y ( x, 

y) 

dy = ( X ( ( t) 

, ψ ( t) 

) ϕ ′ () t + Y ( ϕ () t , ψ () t ) ′ ( t) 

) 

∫ 

X ϕ ψ dt . (4) 

Pavyzdys. Apskaičiuoti integralą ∫ ydx − xdy viršutine elipsės dalimi 

> Elipsės parametrinės lygtys yra 

L 

t1

⎧x 

= a cost, 

⎨ jos viršutinė dalis, kai 0 ≤ t ≤ π . Apskaičiuojame ⎨ 

⎩y 

= bcost, 

⎩ ⎧dx 

= −a 

sin tdt, 

tada 

dy = bcostdt, 

π 

∫ 

0 

2 2 

( asin 

t) 

dt − a costbcostdt 

= −ab 

( sin t + cos t) 

dt = − ab 

bsin t − ∫ 

π . < 

π 

0 

§ 12. PLOTŲ APSKAIČIAVIMAS KREIVINIU INTEGRALU 

Tegul plokštumoje turime sritį D , apribotą 

uždara linija L . Sritį D aprašome taip: 

⎧x 

∈( 

a, 

b) 

, 

⎨ 

Tokios srities plotas yra 

⎩y 

∈( 

y1( 

x) 

, y2 

( x) 

) . 

∫∫ 

b 

∫ 

y2 

( x) 

∫ 

( x) 

∫ 

( x) 

dx − y ( x) 

Q = dxdy = dx dy = y2 

1 

D 

a 

y1 

Paskutiniuosius du apibrėžtinius integralus 

galime pakeisti kreiviniais integralais. Pirmajame 

iš šių kreivinių integralų integruojame kreive, 

priešinga kreivei l 2 , nes y = y2( 

x) 

, a ≤ x ≤ b yra 

šios kreivės − l2 

lygtis, todėl 

b 

∫ 

a 

2 

( x) 

dx = ∫ ydx = −∫ 

y ydx . Tuo tarpu, antrajame 

−l2 l2 

b 

a 

integrale integruojame kreive l 1 ir jis yra ∫ y 1( 

x) 

dx = ∫ ydx , todėl 

Q = − 

b 

∫ 

a 

b 

a 

∫ 

l2 

ydx − 


dx 

∫ 

l1 

l1 

ydx = − 

∫ 

L 

ydx . (1) 

Analogiškai galime įrodyti, kad Q = ∫ xdy . (2) 

Sudedame (1) ir (2), o po to padaliname iš 2 ir gauname 

y 

Q 

φ 

M 

x 

L 

O 

y 

1 

Q = ∫ xdy − ydx . (3) 

2 

L 

Pavyzdys. Apskaičiuoti Dekarto lapo kilpos 

plotą, jei šios kreivės parametrinės lygtys yra 

⎧ 3at 

⎪ 

x = 

1+ 

t 

⎨ 

⎪ 3at 

⎪ 

y = 

⎩ 1+ 

t 

> Apskaičiuojame 

3 

2 

3 

a b 

, 

. 

l 1 

D 

L 

y1 ( x) 

L 

y2 ( x) 

l 2 

x

3 

⎧ 1− 

2t 

⎪dx 

= 3a 

dt, 

3 2 

⎪ ( 1+ 

t ) 

⎨ 

4 

⎪ 2t 

− t 

dy = 3a 

dt. 

2 

⎪ 

3 

⎩ ( 1+ 

t ) 

Kadangi 

y 

π 

= t = tgϕ 

, o 0 ≤ ϕ ≤ , tai 0 ≤ t ≤ ∞ . 

x 

2 

Todėl pagal (3) formulę 

4 ( 2t 

− t ) 

3 3 

( 1+ 

t ) 

2 3 ( 1− 

2t 

) 

3 3 

( 1+ 

t ) 

2 3 

2 ∞ 2 

( 1+ 

t ) 9a 

t 

dt = 

3 3 

3 

( 1+ 

t ) 2 0 ( 1+ 

t ) 

2 ∞ ⎡ 

⎤ 

2 ∞ 

9a 

t t 

9a 

t 

Q = ∫ ⎢ − ⎥dt 

= 

2 

∫ ∫ 

0 ⎢⎣ 

⎥⎦ 

2 0 

3a 

= 

2 

2 

N 

2 

2 

2 

3t 

3a 

⎛ 1 ⎞ 3a 

lim dt = lim ⎜− 

⎟ = 

N →∞ ∫ .< 

0 

3 2 ( 1 ) 2 N →∞ 

3 

+ t 

⎝ 1 + t ⎠ 2 0 

N 

§ 12. GRINO FORMULĖ 

Nustatykime ryšį tarp dvilypio integralo tam tikroje srityje D ir kreivinio integralo linija L , 

ribojančia šią sritį D . 

Tegul turime teisingą sritį D ir tolydžias šioje 

y 

M 

kiekvieną iš jų. 

D 

y 2 = f ( x) 

b 

∫ 

a 

dt = 

srityje funkcijas X ( x, 

y) 


turi ir tolydžias dalines išvestines. 

Panagrinėkime integralą 

( x, 

y) 

y2 

( x) 

( x, 

y) 

y ( x) 


∫∫ 

D 

b 

∫ 

a 

∂X 

∂y 

X 

(1) 

( x y ( x) 

) dx = X ( x y) 

X , 

, 2 

čia linijos MPN parametrinės lygtys yra 

Q 

P 

( ) 

x 

f 

y = 

1 

a b 

b 

∫ 

a 

⎧ = , 

⎨ 

⎩ = y y 

x x 

1 

dxdy = 

dx = 

b 

∫ 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

y2 

∫ ∫ 

b 

a 

a 

y1 

2 

( x) 

( x) 

Y , , kurios, be to 

∂X 

⎞ 

dy⎟dx 

= 

∂y 

⎟ 

⎠ 

[ X ( x, 

y ( x) 

) − X ( x, 

y ( x) 

) ] dx. 

Pastebėkime, kad integralo (1) dešinioji pusė 

susideda iš dviejų integralų. Išnagrinėkime 

∫ 

MPN 

( ) , 

2 x 

( x y ( x) 

) dx = X ( x y) 

∫ 

MQN 

Integralus (2) ir (3) įrašome į išraišką (1) ir gauname 

L 

N 

x 

2 

dx , (2) 

x – parametras. Analogiškai 

X , 1 , dx 

(3) 

1

∫∫ 

D 

∂X 

dxdy = 

∂y 

∫ 

X 

MPNQM 

∫ 

MPN 

X 

( x, 

y) 

dx − X ( x, 

y) 

dx = X ( x, 

y) 

dx + X ( x, 

y) 

( x, 

y) 

dx = X ( x, 

y) 

∫ 

L pagal laikr.rod 

∫ 

MQN 

dx. 

D 


∫ 

MPN 

∂Y 

Galime taip pat apskaičiuoti integralą ∫∫ dxdy ir gauti 

∂x 

∫∫ 

D 

∂Y 

dxdy = − 

∂x 

∫ 

Y 

( x, 

y) 

Lpagal 

laikr.rod. 

Kai iš (4) integralo atimame (5), randame taip vadinamą Grino formulę 

∫∫ 

D 

⎛ ∂X 

∂Y 

⎞ 

⎜ − ⎟dxdy 

= 

⎝ ∂y 

∂x 

⎠ 

∫ 

dy 

L pagal laikr.rod. 

∫ 

NQM 

Xdx + Ydy 

kuri atvejui, kai kontūras L apeinamas prieš laikrodžio rodyklę yra kitokia 

∫∫ 

D 

⎛ ∂Y 

∂X 

⎞ 

⎜ − ⎟dxdy 

= 

⎝ ∂x 

∂y 

⎠ 

∫ 

L 

dx = 

(4) 

(5) 

, 6) 

Xdx + Ydy . (7) 

Pastaba. Kai kontūras L apeinamas prieš laikrodžio rodyklę, t.y. teigiama kontūro apėjimo 

kryptimi, prie L nieko specialiai nežymime, bet apėjimas pagal laikrodžio rodyklę visada 

pažymimas. 

§ 13. SĄLYGA, KADA KREIVINIS INTEGRALAS NEPRIKLAUSO NUO INTEGRAVIMO 

KELIO 

Tegul turime antrojo tipo kreivinį integralą kreive L , esančia plokštumoje 

( N ) 

∫ 

( M ) 

( x y) 

dx + Y ( x y) 

X , , dy , 

čia M ir N yra kreivės L pradžios ir galo taškai, o funkcijos X ( x, 

y) 


Y , yra tolydžios ir 

turi tolydžias dalines išvestines tam tikroje srityje D , talpinančioje ir kreivę L . Išsiaiškinkime, 

kokią sąlygą turi tenkinti kreivinis integralas, kad jo reikšmė nepriklausytų nuo integravimo kelio, 

o tik nuo taškų M ir N padėties. 

M N 

P 

Q 

L 

L 

Tegul srityje D yra dvi kreivės, 

jungiančios taškus M ir N , t.y. MPN ir 

MQN . Jei norime, kad kreivinis 

nepriklausytų nuo integravimo kelio, tai 

turime pareikalauti, kad būtų patenkinta 

sąlyga 

Xdx + Ydy = Xdx + Ydy arba 

∫ 

MPN 

∫ 

MPN 

∫ 

MQN 

Xdx + Ydy − ∫ Xdx + Ydy = 0. 

MQN

Pakeiskime integravimo kryptį, tada 

∫ 

NQM 

∫ 

MPN 

Xdx + Ydy = − Xdx + Ydy ir 

∫ 

MQN 

Xdx + Ydy + ∫ Xdx + Ydy = 0 arba 

NQM 

∫ L 

Xdx + Ydy = 0 . (1) 

Paskutiniojo integralo integravimo kreivė yra L = MPNQM . Matome, kad kreivinio 

integralo reikšmė nepriklauso nuo integravimo kelio, o tik nuo taškų M ir N padėties, kai 

antrojo tipo kreivinis integralas kreive L = MPNQM yra lygus nuliui. Ir atvirkščias tvirtinimas 

teisingas. Jei kreivinis integralas uždaru kontūru yra lygus nuliui, tai antrojo tipo kreivinis 

integralas bet kuria šio uždaro kontūro dalies kreive, jungiančia bet kuriuos šio kontūro taškus, 

priklauso tik nuo šių taškų padėties. 

Teorema. Jei tam tikroje srityje D funkcijos X ( x, 

y) 


∂ X ( x, 

y) 

∂ Y ( x, 

y) 

Y , yra tolydžios ir turi tolydžias 

dalines išvestines 

∂y 


∂x 

, tai kreivinis integralas uždaru kontūru L , esančiu šioje 

∂ X ( x, 

y) 

∂Y 

( x, 

y) 

srityje D , yra lygus nuliui, t. y. ∫ Xdx + Ydy = 0 , kai = (būtina ir pakankama 

∂y 

∂x 

L 

sąlyga). 

> Jau žinome, kad ∫ Xdx + Ydy = ∫ Xdx + Ydy , kai Xdx + Ydy = 0 . (1) 

MPN 

MQN 


∫ L 

( x, 

y) 

∂X 

( x y) 

⎛ ∂Y 

, ⎞ 

Taip pat žinome Grino formulę ∫∫ ⎜ − ⎟dxdy 

= ∫ Xdx + Ydy . 

⎝ ∂x 

∂y 

D 

⎠ 

L 

∂Y 

( x, 

y) 

∂X 

( x, 

y) 

Iš šios formulės seka, kad sąlyga − = 0 garantuoja, kad ir + = 0 

∂x 

∂y 

∫ Xdx Ydy , 

L 

∂ Y( 

x, 

y) 

∂X 

( x, 

y) 

todėl = .< 

∂x 

∂y 

∂ Y ( x, 

y) 

∂X 

( x, 

y) 

Įdomu, ką gali reikšti sąlyga = . Galime įrodyti, kad ji yra tapatinga kitai 

∂x 

∂y 

sąlygai du ( x, 

y) 

= X ( x, 

y) 

dx + Y ( x, 

y)dy 

, t. y. kreivinio integralo pointegralinis reiškinys yra tam 

tikros funkcijos u ( x, 

y) 

pilnasis diferencialas. Iš tiesų 

∂u 

( ) 

( x, 

y) 

∂u( 

x, 

y) 

du x, 

y = dx + dy = X ( x, 

y) 

dx + Y ( x, 

y)dy 

, jei (2) 

∂x 

∂ 

⎧∂u( 

x, 

y) 

⎪ 

= X ( x, 

y) 

, 

∂x 

⎨ 

(3) 

⎪ 

∂u( 

x, 

y) 

= Y ( x, 

y) 

. 

⎪⎩ 

∂y 

2 ⎧∂ 

u( 

x, 

y) 

∂X 

( x, 

y) 

⎪ = , 

⎪ ∂x∂y 

∂y 

Iš (3) sąlygos galime gauti ⎨ 

(4) 

2 

⎪∂ 

u( 

x, 

y) 

∂Y 

( x, 

y) 

= . 

⎪⎩ 

∂y∂x 

∂x

Kaip žinome, visada 

tik patenkinta sąlyga (2). 

2 ( x, 

y) 

∂ u( 

x y) 

2 

∂ u 

, 

= 

∂x∂y 

∂y∂x 

( N ) 

, o todėl 

Išvada. Kreivino integralo X ( x y) 

dx + Y ( x, 

y) 

∫ 

( M ) 

( x, 

y) 

∂Y 

( x y) 

∂ X 

, 

= 

∂y 

∂x 

visada patenkinta, jei 

, dy reikšmė nepriklauso nuo integravimo 

kelio (kreiviniai integralai kreivėmis MPN ir MQN sutampa), o tik nuo taškų M ir N padėties, 

kai 

∂ X ( x, 

y) 

∂Y 

( x, 

y) 

= , o tai yra tas pats, kad kreivinio integralo pointegralinis reiškinys 

∂y 

∂x 

X ( x, 

y) 

dx + Y ( x, 

y)dy 

yra tam tikros funkcijos u ( x, 

y) 

pilnasis diferencialas 

du x, 

y = X x, 

y dx + Y x, 

y . 

( ) ( ) ( )dy 

§ 14. VIENPUSIAI IR DVIPUSIAI PAVIRŠIAI. PAVIRŠIAUS ORIENTACIJA 

Bet kuriame paviršiuje parinkime tašką ir fiksuokime normalės kryptį šiame taške. Slinkime 

pasirinktą paviršiumi bet kuria 

A 

C kryptimi, neperžengdami 

B 

D 

paviršiaus krašto. Jei pasirodys, 

kad taškui slenkant šiuo paviršiumi 

tolydžiai, galime vėl grįžti į pradinį 

tašką su ta pačia normalės kryptimi, tai tokį 

paviršių vadiname dvipusiu. Vienpusio paviršiaus 

atveju į pradinį tašką grįžtame su priešinga 

normalės kryptimi. Paprasčiausiu vienpusio 

paviršiaus pavyzdžiu gali būti Mebijuso lapas. Jis 

gaunamas iš popieriaus juostelės, kai ją 

suklijuosime persukę, kaip parodyta pavyzdyje. 

Pradėję šį paviršių dažyti, nudažysime jį iš 

abiejų šonų, neperžengdami paviršiaus kraštų. 

Dvipusio paviršiaus taške parinkta normalės 

A B 

D C 

kryptis nustato šio paviršiaus pusę arba, kaip sakoma, šį paviršių orientuoja. Paviršiaus orientacija 

parodo, kuria jo puse yra atliekamas vienas 

teigiamos 

orientacijos 

x 

z 

N 

S 

n r 

neigiamos orientacijos 

y 

ar kitas procesas (pvz.: paviršinio integralo 

apskaičiavimas). 

Paviršiuje S paimkime tašką N ir apie jį 

apibrėžkime pakankamai mažo spindulio 

apskritimu. Šio taško teigiama apėjimo 

kryptimi laikysime tą, kai, einant apskritimo 

linija, jo aprėžiamas plotas lieka kairėje 

pusėje. Išveskime šiame taške normalę. 

Paviršiaus orientaciją laikysime 

teigiama, jei, žiūrint iš normalės galo į 

paviršiaus tašką, pastarojo apėjimo krytis bus 

prieš laikrodžio rodyklę. 

Paviršiaus S viršutinis šonas yra teigiamos 

orientacijos, o apatinis šonas – neigiamos. 

Teigiamos orientacijos atveju paviršiaus 

© A. Laurutis, D.Šiaučiūnas Paskaitų konspektas 103

normalė → 

n su teigiama z ašies kryptimi (vektoriumi → 

k ) sudaro smailą kampą, tuo neigiamos 

orientacijos atveju – buką. 

∧ 

⎛ → →⎞ 

Jei paviršiaus lygtis yra z = f ( x, 

y) 

, tai kampo γ = 

⎜ 

n, k 

⎟ 

kryptį nusakysime krypties kosinusu 

⎜ ⎟ 

⎝ ⎠ 

1 

cosγ 

= ± 

, čia ženklas „+“ taikomas viršutinei paviršiaus pusei, o „–“ 

2 

2 

⎛ ∂z 

⎞ ⎛ ∂z 

⎞ 

1+ 

⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ 

⎝ ∂x 

⎠ ⎝ ∂y 

⎠ 

apatinei pusei. 

§ 15. PAVIRŠINIAI INTEGRALAI 

Stačiakampėje koordinačių sistemoje duota tam tikra sritis V . Tegul šioje srityje yra ir tam 

tikras paviršiaus σ , apribotas erdvine linija λ . Paviršiaus σ orientacija žinoma, nes 

→ 

kiekviename jo taške P ( x, 

y, 

z) 

yra žinoma jo normalės – vienetinio vektoriaus n( 

P) 

teigiama 

kryptis, o šio vektoriaus krypties kosinusai cos α, cos β, 

cosγ 

yra tolydžios funkcijos visame 

paviršiuje σ . 

Tegul bet kuriame paviršiaus σ taške yra žinoma funkcija 

→ 

( ) ( ) ( ) → 

→ 

→ 

x y, 

z i + Y x, 

y, 

z j+ 

Z x, 

y z 

F = X , , k , (1) 

čia X ( x, 

y, 

z) 

, Y ( x, 

y, 

z) 

, Z( 

x, 

y, 

z) 

yra šios funkcijos → 

F koordinatės. 

Paviršių σ išskaidykime į n bet kokių paviršiaus dalių, kurių kiekvienos plotas yra ∆ σ i 

( i = 1, 

n) 

ir kiekvienoje iš jų laisvai paimkime taškus P i , kuriuose apskaičiuokime funkcijos (1) 

reikšmę. Sudarykime integralinę sumą 

čia ( P ) 

→ 

→ 

F → 

i 

– vektoriaus → 

F reikšmė taške i 

F ⋅ n – skaliarinė sandauga. 

→ → 

∧ 

⎛ r r ⎞ 

Fi 

⋅ni 

= Fi 

cos⎜ 

ni, 

Fi 

⎟ 

⎝ ⎠ 

ni r 

Pi 

∆σi 

∧ 

⎛ ⎞ 

⎜ni 

Fi 

⎟ 

⎝ ⎠ 

r r 

, 

→ 

Fi 

n → 

∑ F 

i= 

1 

P , ( P ) 

( P ) n( 

P ) 


→ 

n 

i 

i 

→ 

i 

∆σ 

, (2) 

i 

– paviršiaus normalės → 

n reikšmė taške P i , 

∆ i 

Integralinės sumos (2) riba, kai max σ → 0 

vadinamas antrojo tipo paviršiniu integralu 

paviršiumi σ ir žymimas ∫∫ → → 

F n dσ 

, jei tik ši riba 

egzistuoja. Taigi 

σ 

n 

∑ 

max ∆σi 

→0 

i= 

1 

→ → 

∫∫ 

→ → 

lim F n ∆σ 

= F n dσ 

. 

i 

i 

i 

σ 

(3) 

Kiekvienas sumos (2) narys yra 

∧ 

→ → 

⎛ → → ⎞ 

F ∆ = ∆ 

⎜ ⎟ 

i ni 

σ i Fi 

σ i cos F 

⎜ i, 

ni 

, (4) 

⎟ 

⎝ ⎠

eiškia tūrį cilindro, kurio pagrindas ∆ σ i , o aukštinė – 

∧ 

⎛ → → ⎞ → 

→ 

F 

⎜ ⎟ 

i cos F 

⎜ i, 

ni 

, nes F 

⎟ 

i = Fi 

, n i = 1. 

⎝ ⎠ 

Jeigu vektorius → 

F yra skysčio, pratekančio pro paviršių σ greitis, tai (4) reiškia kiekį 

skysčio, pratekančio → 

n i kryptimi pro paviršiaus elementą ∆ σ i per laiko vienetą. Tada ∫∫ → → 

F n dσ 

apskaičiuoja bendrą skysčio kiekį, kuris prateka pro σ teigiama kryptimi per laiko vienetą. 

→ 

→ 

Kadangi = i cosα 

+ j cos β + k cosγ 

⋅ → → 

→ 

→ 

n , t.y. = { cosα 

, cosβ 

, cosγ 

} 

→ 

→ 

n , o 

{ X ( x , y , z ) , Y ( x , y , z ) , Z ( x , y z ) } 

F = 

, 


, tai 

( x, 

y, 

z) 

cosα 

+ Y ( x, 

y, 

z) 

cos β Z( 

x, 

y, 

) γ 

F n = X cosα + Y cos β + Z cosγ 

= X 

+ z cos 

∆σ 

xz 

x 

∫∫ 

σ 

→ → 

∫∫ 

σ 

→ → 

∫∫ 

( X α + Y cos β + Z γ ) 

F n dσ 

= cos cos dσ 

(5) 

∫∫ 

σ 

σ 

, todėl 

Kaip matome iš brėžinio, sandaugos 

⎧∆σ 

cosα 

= ∆σ 

yz , 

⎪ 

⎨∆σ 

cos β = ∆σ 

xz , 

⎪ 

⎩∆σ 

cosγ 

= ∆σ 

xy 

( X α + Y cos β + Z γ ) dσ 

= ∫∫ 

yra paviršiaus elemento ∆ σ projekcijos į 

atitinkamas koordinačių plokštumas. 

Būtent todėl paviršinį integralą (5) galime 

perrašyti į pavidalą 

F n dσ 

= cos cos Xdydz + Ydxdz + Zdxdy . (6) 

σ 

§ 16. PAVIRŠINIO INTEGRALO APSKAIČIAVIMAS 

Paviršinį integralą bet kuriuo paviršiumi galime pakeisti dvilypiais integralais plokštumose 

∫∫ 

σ 

= 

→ → 

F n dσ 

= 

∫∫ 

σ 

∫∫ 

σ 

( X cosα 

+ Y cos β + Z cosγ 

) 

X cosαdσ 

+ Y cos βdσ 

+ Z cosγdσ 

= 

∫∫ 

σ 

dσ 

= 

σ 

Xdydz + Ydxdz + Zdxdy. 

Savo ruožtu, norint apskaičiuoti integralą ∫∫ Xdydz + Ydxdz + Zdxdy , pakanka mokėti 

apskaičiuoti atitinkamus integralus ∫∫ X cos αdσ , ∫∫Y 

cos βdσ 

, ∫∫ Z cosγdσ 

arba, kas yra tas 

pats, integralus ∫∫ Xdydz, 

∫∫Ydxdz, 

∫∫ Zdxdy . 

σ 

yz 

z 

∆σ 

xy 

n r 

σ 

xz 

∆σ 

σ 

∆σ 

yz 

σ 

xy 

y 

σ 

σ 

σ

Apskaičiavimą pademonstruokime integralu ∫∫ 

σ 


γdσ 

Z cos , čia 

σ yra paviršius z f ( x, 

y) 

= . 

Jei D pavadinsime paviršiaus σ projekciją į xOy plokštumą, tai nurodytą paviršinį integralą 

galėsime pakeisti dvilypiu integralu 

Z cosγ 

dσ 

= ± Z x, 

y, 

f x, 

y dxdy , 

∫∫ 

σ 

∫∫ 

D 

( ( ) ) 

čia ženklą „+“ arba „–“ imsime priklausomai nuo cos γ ženklo. Jei cos γ > 0 , imamas „+“, jei 

cosγ ≤ 0 , – „–“. 

Pavyzdys. Apskaičiuokime ∫∫ x yzdxdy 

S 

3 

spindulio r sferos išoriniu paviršiumi, patenkančiu į 

pirmąjį oktantą. 

2 2 2 

> Integravimo paviršius S yra sferos išorė z = r − x − y , x > 0, 

y > 0 . 

Paviršius yra teigiamai orientuotas, nes jo normalė su Oz ašimi sudaro smailą kampą. Tada 

I 

= 

∫∫ 

S 

3 

x yzdxdy = 

∫∫ 

pirmąjį ketvirtį ( > 0 , y > 0) 

r 

2 2 

r −x 

D 

x 

3 

y 

x , t.y. 

2 2 2 

r − x − y dxdy , čia D yra skritulio x ≤ 

⎪⎧ 

x ∈ 

D : ⎨ 

⎪⎩ y ∈ 

( 0, 

r) 

, 

2 2 ( 0, 

r − x ) . 

2 2 

r −x 

3 

2 2 2 

3 ⎛ 1 ⎞ 

I = ∫ x dx ∫ y r − x − y dy = ∫ x dx⎜− 

⎟ ∫ ⎝ 2 ⎠ 

0 

1 

= − 

2 

r 

∫ 

0 

x 

3 

0 

r 

0 

0 

2 2 2 

+ y r dalis, patenkanti į 

1 

2 2 2 2 2 2 

( r − x − y ) 2 d( 

r − x − y )= 

3 

2 2 2 

r 

3 

r 

( r − x − y ) 2 2 

1 3⎛ 

2 2 ⎞ 1 3 2 2 

dx = − x 0 ( r x ) 2 ∫ ⎜ − − ⎟dx 

= − ∫ x ( r − x ) 

2 2 2 2 2 

⎡r 

− x = u , x = r − u 

⎢ 

= ⎢− 

xdx = udu, 

x = r, 

u = 0, 

⎢ 

⎣x 

= 0, 

u = r 

3 

0 

2 2 

r −x 

2 

⎤ 

⎥ 1 

⎥ = − 

3 

⎥ 

⎦ 

0 

∫ 

r 

3 

u 

4 

0 

⎝ 

7 2 5 

7 7 7 

2 2 1 ⎛ u r u ⎞ 1 ⎛ r r ⎞ 2r 

( r − u ) du = ⎜ − ⎟ = ⎜− 

+ ⎟ = . < 

3 ⎜ 

⎝ 

7 

⎠ 

5 

3 

0 

⎟ 

⎠ 

0 

r 

3⎜ 

⎝ 

7 

3 

2 

dx = 

§ 17. PAVIRŠINIO IR KREIVINIO INTEGRALŲ RYŠYS (STOKSO FORMULĖ) 

Tegul erdvėje yra paviršiusσ : 

z = f ( x, 

y) 

toks, kad kiekviena tiesė, 

lygiagreti Oz ašiai, kerta šį paviršių 

viename taške. Paviršių σ riboja 

linija λ . Teigiamą normalės → 

n kryptį 

imkime tokią, kad ji su Oz ašimi 

sudarytų smailą kampą. Tada krypties 

kosinusai yra 

x 

z 

O 

λ 

D 

L 

n r 

σ 

5 

⎟ 

⎠ 

akis 

y 

105 

prieš 

laikrodžio 

rodyklę

⎧ 

⎪ 

⎪cosα 

= 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎨cos 

β = 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪cosγ 

= 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎩ 

∂f 

− 

∂x 

, 

2 

2 

⎛ ∂f 

⎞ ⎛ ∂f 

⎞ 

1+ 

⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ 

⎝ ∂x 

⎠ ⎝ ∂y 

⎠ 

∂f 

− 

∂y 

, 

2 

2 

⎛ ∂f 

⎞ ⎛ ∂f 

⎞ 

1+ 

⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ 

⎝ ∂x 

⎠ ⎝ ∂y 

⎠ 

1 

. 

2 

2 

⎛ ∂f 

⎞ ⎛ ∂f 

⎞ 

1+ 

⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ 

⎝ ∂x 

⎠ ⎝ ∂y 

⎠ 

(1) 

Tegul visas paviršius σ yra srityje V , kurioje duota funkcija X ( x y, 

z) 

, , tolydi kartu su jos 

pirmos eilės dalinėmis išvestinėmis. Išnagrinėkime kreivinį integralą kreive λ 

Ir linijoje λ galioja lygybė z f ( x, 

y) 

∫ λ 

( x y z) 

X , , dx . 

= , čia x ir y linijos L koordinatės. Galime užrašyti 

∫ 

λ 

( x, 

y, 

z) 

dx = X ( x, 

y, 

f ( x y) 

) 

X , 

Paskutinysis integralas (2) yra kreivinis integralas kreive L . Pertvarkykime jį taip, kad 

galėtume pritaikyti Grino formulę 

∫ 

L 

Xdx 


∫ 

⎛ ∂Y 

∂X 

⎞ 

+ Ydy 

= ∫∫⎜ 

− ⎟dxdy . 

⎝ ∂X 

∂Y 

⎠ 

Mūsų atveju, X ( x, 

y) 

= X ( x, 

y, 

f ( x, 

y) 

) , ( x, 

y) 

= 0 

rodyklę. Gauname tokį rezultatą 

− 

∫∫ 

D 

∂X 

( x, 

y, 

f ( x, 

y) 

) 

∂y 

D 

L 

dx 

(2) 

Y , L apėjimo kryptis yra prieš laikrodžio 

dxdy = 

∫ 

L 

X 

( x, 

y, 

f ( x, 

y) 

) 

Apskaičiuojame sudėtinės funkcijos X ( x, 

y, 

z) 

, čia z f ( x, 

y) 

kintamąjį y 

( x, 

y, 

f ( x, 

y) 

) ∂X 

( x, 

y, 

z) 

∂f 

( x, 

y) 

∂X 

( x, 

y z) 

∂ X 

, 

= 

+ 

∂y 

∂z 

∂y 

∂y 

Reiškinį (4) įrašome į (3) ir gauname 

dx . (3) 

= dalinę išvestinę pagal 

⎛ ∂X 

∂X 

∂z 

⎞ ∂X 

∂X 

∂z 

∫ X ( x, 

y, 

f ( x, 

y) 

) dx = −∫∫⎜ 

+ ⎟dxdy 

= −∫∫ 

dxdy − 

∂ ∫∫ dxdy . (5) 

⎝ ∂y 

∂z 

∂y 

⎠ 

y ∂z 

∂y 

L 

Paskutiniajam reiškiniui pritaikome (2), ir tada 

D 

D 

D 

(4)

∂X 

∂X 

∂z 

∫ X ( x, 

y, 

z) 

dx = −∫∫ 

dxdy − 

∂ ∫∫ dxdy . (6) 

y ∂z 

∂y 

λ 

D D 

Integralai (6) gali būti pertvarkomi į paviršinius, nes iš anksčiau žinome, kad 

Taip gauname 

∫∫ 

σ 

( x, 

y, 

z) 

cos dσ 

= F( 

x, 

y z) 


∫∫ 

F γ , dxdy . 

⎧ 

⎪ 

⎨ 

⎪ 

⎪⎩ 

∫∫ 

D 

∫∫ 

D 

D 

∂X 

∂X 

dxdy = 

∂ ∫∫ cosγdσ 

, 

y ∂y 

σ 

∂X 

∂z 

∂X 

∂z 

dxdy = 

∂ ∂ ∫∫ cosγdσ 

. 

z y ∂z 

∂y 

cosβ 

∂f 

∂z 

Dabar jau tenka pasiremti formulėmis (1). Iš jų paimame santykį = − = − , o iš 

cosγ 

∂y 

∂y 

∂z 

∂X 

∂z 

∂X 

čia cosγ = −cosβ 

. Tai įvertinę, kadangi cosγdσ cos βdσ 

∂y 

∫∫ = − 

z ∂y 

∫∫ 

, iš (7) gauname 

∂ 

∂z 

Formules iš reiškinio (7a) įrašome į (6), todėl 

∫ 

λ 

= 

X 

∫∫ 

σ 

( x, 

y, 

z) 

⎧ 

⎪ 

⎨ 

⎪ 

⎪⎩ 

∫∫ 

D 

∫∫ 

D 

dx = − 

σ 

σ 

∂X 

∂X 

dxdy = 

∂ ∫∫ cosγdσ 

, 

y ∂y 

σ 

∂X 

∂z 

∂X 

dxdy = − 

∂ ∂ ∫∫ cosβdσ 

. 

z y 

∂z 

∫∫ 

σ 

∂X 

cosγdσ 

+ 

∂y 

⎛ ∂X 

∂X 

⎞ 

⎜− 

cosγ 

+ cosβ 

⎟dσ 

. 

⎝ ∂y 

∂z 

⎠ 

σ 

∫∫ 

σ 

σ 

∂X 

cosβdσ 

= 

∂z 

Būtina pabrėžti, kad kontūro λ apėjimo kryptis yra suderinta su teigiama normalės → 

n 

kryptimi, t.y., jei į paviršiųσ žiūrėsime iš normalės → 

n galo, tai λ apeinama prieš laikrodžio 

rodyklę. 

Galime užrašyti ir kitas, analogiškas reiškiniui (8), formules 

λ 

∫ 

λ 

∫ 

σ 

(7) 

(7a) 

⎛ ∂Y 

∂Y 

⎞ 

Y ( x, 

y, 

z) 

dy = ∫∫ ⎜− 

cosα 

+ cosγ 

⎟dσ , (8a) 

⎝ ∂z 

∂x 

⎠ 

⎛ ∂Z 

∂Z 

⎞ 

Z( x, 

y, 

z) 

dz = ∫∫⎜ 

− cos β + cosα 

⎟dσ 

. (8b) 

⎝ ∂x 

∂y 

⎠ 

σ 

Atskirai sudedame formulių (8, 8a ir 8b) kairiąsias ir dešiniąsias puses ir gausime taip 

vadinamą Stokso formulę 

∫ 

λ 

⎛ ∂Y 

∂X 

⎞ ⎛ ∂Z 

∂Y 

⎞ 

⎛ ∂X 

∂Z 

⎞ 

Xdx + Ydy + Zdz = ∫∫⎜ 

− ⎟cos 

γdσ + ∫∫⎜ 

− ⎟cosαdσ 

+ ∫∫⎜ 

− ⎟cos βdσ 

(9) 

⎝ ∂x 

∂y 

⎠ ⎝ ∂y 

∂z 

⎠ 

⎝ ∂z 

∂x 

⎠ 

σ 

σ 

σ 

(8)

Ši formulė nustato ryšį tarp paviršinio integralo tam tikru paviršiumi σ ir kreivinio integralo 

šio paviršiaus ribine linija λ , kai λ apėjimo kryptis yra prieš laikrodžio rodyklę, o cosγ ≥ 0 . 

I išvada. Jei paviršius σ yra dalis plokštumos, lygiagrečios xOy plokštumai, tai yra, kai 

π 

⎛ ∂Y 

∂X 

⎞ 

∆z = 0 , α = β = , γ = 0 , gauname Grino formulę 

2 

∫ Xdx + Ydy = ∫∫⎜ 

− ⎟dσ 

, o tai reiškia, 

⎝ ∂x 

∂y 

λ 

σ ⎠ 

kad Grino formulė yra atskiras Stokso formulės atvejis. 

II išvada. Jei formulėje (9) yra įvykdomos visos trys sąlygos 

∂Y 

∂X 

∂Z 

∂Y 

− = 0 , − = 0, 

∂x 

∂y 

∂y 

∂z 

∂X 

∂Z 

− = 0, 

(10) tai kreivinis integralas 

∂z 

∂x 

Xdx + Ydy + Zdz = 0 , (11) o tai reiškia, kad jis 


∫ λ 

nepriklauso nuo integravimo kreivės formos. Kaip ir plokščios kreivės atveju, sąlygos (10) ir (11) 

išpildomos, kai pointegralinis reiškinys Xdx + Ydy + Zdz yra kokios nors funkcijos pilnasis 

diferencialas, t. y. 

( u( 

x, 

y z) 

) 

Xdx + Ydy + Zdz = d , , o todėl 

( N ) 

∫ 

( M ) 

( N ) 

Xdx + Ydy + Zdz = ∫ du = u 

M ir N kreivės λ taškai. 

( M ) 

§ 18. GAUSO – OSTROGRADSKIO FORMULĖ 

( N ) − u( 

M ) 

Tegul trimatėje erdvėje yra teisinga sritis V , apribota uždaru paviršiumi σ , kuri 

suprojektuota į xOy plokštumą yra taip pat 

teisinga dvimatė sritis D . Tada paviršių σ 

z 

galime išdalinti į tris atskiras dalis: 1. paviršių 

σ 1 : z = f1( 

x, 

y) 

, apribojantį sritį V iš apačios, 2. 

paviršių σ 2 : z = f2 

( x, 

y) 

, apribojantį sritį V iš 

viršaus, 3. cilindrinį paviršių σ 3 , apribojantį sritį 

V iš 

šonų. Cilindrinio paviršiaus sudarančioji tiesė yra 

lygiagreti Oz ašiai, o normalė – jai statmena. 

Pasirenkame teigiamą paviršiaus σ 2 

orientaciją, tada paviršiuje σ 2 , 

⎛ ∧ 

→ →⎞ 

⎜ ⎟ ⎡ π ⎤ 

⎜ 

n , k 

⎟ 

∈ 

⎢ 

0, 

⎣ 2 ⎥ 

, 

⎦ 

⎝ ⎠ 

∧ 

⎛ → →⎞ 

t.y. šiame paviršiuje cos γ = cos 

⎜ 

n, 

k 

⎟ 

> 0 , tada 

⎜ ⎟ 

⎝ ⎠ 

∧ 

⎛ → →⎞ 

paviršiuje 1 : cos cos 

⎜ 

, 

⎟ 

π 

σ γ = n k < 0 , o paviršiuje σ 0 

⎜ ⎟ 

3 : cosγ 

= cos = . Nagrinėkime integralą 

2 

⎝ ⎠ 

x 

n3 r 

n2 r 

n1 r 

λ 

D 

σ 2 

σ3 

σ1 

, čia 

y

∫∫∫ 

V 

= 

∫∫ 

D 

( x, 

y, 

z) 

∂Z 

∂z 

Z 


( x, 

y ) 

( x, 

y ) 

( x, 

y, 

f ( x, 

y) 

) dxdy − Z( 

x, 

y, 

f ( x, 

y) 

) dxdy. 

2 

dxdydz = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

f 2 

⎜ ∫∫ ∫ 

D 

f1 

∫∫ 

D 

∂Z 

⎞ 

dz⎟dxdy 

= 

∂z 

⎟ 

⎠ 

Jau žinome, kad Z( 

x y, 

f ( x, 

y) 

) dxdy = Z( 

x, 

y, 

z) 

∫∫ 

D 

Z 

∫∫ 

D 

, 2 

∫∫ 

σ 

2 

1 

cosγdσ 

( x y, 

f ( x, 

y) 

) dxdy = Z( 

x, 

y, 

z)( 

− cos ) dσ 

= − Z( 

x, 

y, 

z) 

, 1 

Reiškinius (2) ir (3) įrašome į formulę (1), tada 

∫∫∫ 

V 

( x, 

y, 

z) 

∂Z 

∂z 

∫∫ 

Dar pridedame ( x, 

y, 

z) 

∫∫ 

σ 

1 

σ 

3 

dxdydz = 

∫∫ 

σ 

1 

Z 

∫∫ 

σ 

1 

∫∫ 

( x, 

y, 

z) 

cos dσ 

+ Z( 

x, 

y, 

z) 

γ cosγdσ 

∫∫ 

γ cosγdσ 

. 

Z cosγdσ 

= 0 , nes šiame paviršiujeσ 3 – cos γ = 0, 

tada 

( x, 

y, 

z) 

cos dσ 

+ Z( 

x, 

y, 

z) 

cosγdσ 

+ Z( 

x, 

y, 

z) 

cosγdσ 

= Z( 

x, 

y, 

z) 

∫∫ 

σ 

∫∫ 

Z γ cosγdσ 


2 

∫∫∫ 

V 

∂Z 

dxdydz = 

∂z 

Analogiškai galime gauti šias išraiškas: 

∂Y 

∫∫∫ dxdydz = 

∂y 

V 

σ 

∫∫ 

σ 

∫∫ 

σ 

3 

Z 

Y 

( x y, 

z) 

σ 

2 

σ 

∫∫ 

σ 

1 

(1) 

(2) 

(3) 

, cosγdσ 

. (4) 

( x y, 

z) 

, cos βdσ 

, (4a) 

∂X 

∫∫∫ dxdydz = ∫∫ X ( x, 

y, 

z) 

coαβdσ 

. (4b) 

∂x 

V 

σ 

Sudedame jas visas (4, 4a, 4b) ir gauname Gauso – Ostrogradskio formulę 

∫∫∫ 

V 

⎛ ∂X 

∂Y 

∂Z 

⎞ 

⎜ + + ⎟dxdydz 

= 

⎝ ∂x 

∂y 

∂z 

⎠ 

∫∫ 

σ 

( X ( x y, 

z) 

cos + Y ( x, 

y, 

z) 

cos β + Z( 

x, 

y, 

z) 

cosγ 

) 

, α dσ 

, 

kuri nustato ryšį tarp trilypio integralo srityje V ir paviršinio integralo paviršiumi σ , ribojančiu 

šią sritį. 

Pavyzdys. Apskaičiuoti paviršinį integralą 

3 

3 

3 

I = x dydz + y dxdz + z dxdy išoriniu sferos 

∫∫ 

S 

2 2 2 2 

+ y + z R paviršiumi. 

φ 

x = 

> Gauso – Ostrogradskio formulę perrašome į 

r 

pavidalą 

θ 

⎛ ∂X 

∂Y 

∂Z 

⎞ 

x 

∫∫∫ ⎜ + + ⎟dxdydz 

= ∫∫ X ( x, 

y, 

z) 

dydz + Y ( x, 

y, 

z) 

dxdz + Z( 

x, 

y, 

z) 

dxdy 

⎝ ∂x 

∂y 

∂z 

V 

⎠ 

σ 

, nes 

z 

P(x,y,z) 

y

⎧dσ 

cosα 

= dσ 

yz = dydz, 

⎪ 

⎨dσ 

cosβ 

= dσ 

xz = dxdz, 

⎪ 

⎩dσ 

cosγ 

= dσ 

xy = dxdy. 

I 

= 

= 

todėl 

3 

3 

3 

x dydz + y dxdz + z dxdy = 

2 2 2 

∫∫∫ ( 3x 

+ 3y 

+ 3z 

) dxdydz. 

V 

∫∫ 

S 

Pereiname į sferinę koordinačių sistemą 

⎧x 

= r sinϕ 

cosθ 

, 

⎪ 

⎨y 

= r sinϕ 

sinθ 

, 

⎪ 

⎩z 

= r cosϕ, 

Integravimo sritis yra 

2π 

4 

2 

I = 3∫ 

dθ∫ 

sinϕdϕ 

∫ r dr = 3θ 

0 

0 

π 

0 

2 2 2 2 

2 

tada x + y + z = r , dxdydz = r sinϕdrdθdϕ. 

R 

0 

[ 0; 

R] 

, 

[ 0; 

2π 

] , 

[ 0; 

π ] , 

⎧r 

∈ 

⎪ 

V = ⎨θ 

∈ todėl 

⎪ 

⎩ϕ 

∈ 

π 

5 

r 

5 

12πR 

5 

π 

( − cosϕ 

) = 3⋅ 

2π 

( 1+ 

1) 

= . < 

0 

R 

0 


R 

5 

5 

5

kart_kreiv_ir_pav_integralai.pdf

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?