kart_kreiv_ir_pav_integralai.pdf

x
Kaip jau suprantame, integralinės sumos riba nepriklauso nuo srities D dalijimo į sriteles ∆ si
būdo, todėl šią sritį galime išdalinti patogiausiu būdu: tiesėmis θ = θ0
, θ = θ1,
θ = θ2
, ..., θ = θn
,
čiaθ 0 = α,
θn
= β , θ0
< θ1
< θ2
< ... < θn
ir apskritimais ρ = ρ0
, ρ = ρ1,
ρ = ρ2
,..., ρ = ρn
, čia
ρ 0 < ρ1
< ρ2
< ... < ρn
, o ρ 0 - minimali funkcijos Φ 1(
θ, ρ)
reikšmė ir ρ n - maksimali funkcijos
Φ 2(
θ, ρ ) reikšmė. Dėl šitokio srities D dalijimo į sriteles būdo, sritelės plotas
∆ si ≈ ρi ⋅ ∆ρi
⋅ ∆θi
, kuris riboje, kai max ∆sk → 0 ( n → ∞)
bus lygus ds = ρ ⋅ dρ
⋅ dθ
, todėl
dvilypis integralas polinėje koordinačių sistemoje apskaičiuojamas kartotiniu integralu
P
V
=
2
( ρ ) ds = ⎜ F(
θ , ρ )
© A. Laurutis, D.Šiaučiūnas Paskaitų konspektas 87
( θ )
β Φ ⎛
⎞
θ , dθ
. (2)
⎜
α ⎝ Φ1(
θ ) ⎠
∫∫ ∫ ∫ ⎟ ⎟
F
ρdρ
D
Galime pasirinkti ir kitą integravimo tvarką dvilypiame integrale polinėje koordinačių
sistemoje. Kai pradžioje integruosime pagal θ , o paskui
pagal ρ , galime naudoti kitą formulę:
θ 2
= ω
( ρ )
θ 1
= ω
( ρ )
ρ1 ρ2
O
z
p
2 2 2
x + y + z =
2a
V
=
ϖ ( θ )
ρ ⎛
⎞
θ ρdρ
. (3)
⎜
ρ1⎝
ϖ1
( θ ) ⎠
2 2
( , ρ ) ds = ⎜ F(
θ , ρ )
∫∫ ∫ ∫ ⎟ ⎟
F
dθ
D
Brėžinys kairėje atitinka šią formulę. Galime nustatyti ryšį
tarp dvilypio integralo polinėje ir stačiakampėje
koordinačių sistemose. Kaip žinome
⎧
2 2
⎧x
= ρ cosθ
,
ρ = x + y ,
⎪
⎨
ir ⎨
⎩y
= ρ sinθ
,
y
⎪θ
= arctg .
⎩ x
Be to ( x,
y)
f ( ρ cosθ
, ρ sinθ
)
2
x = ± 2ay − y
Brėžinyje nupiešta
pusė apskaičiuojamo
kūno tūrio (kita
pusė yra simetriška šiam kūnui xOy plokštumos atžvilgiu).
Kūno tūris yra
2
2 2
2 2 2
2∫
∫ 4
.
⎟
0
2
2
⎟
2 2
x + y −2ay=
0
y
a⎛
ay−
y
⎞
V =
⎜
a − x − y dx dy
⎜
⎝ − ay−
y
⎠
Gautąjį integralą lengviau apskaičiuosime polinėje
4a
2
f = , todėl
( θ )
b
∫∫ f ( x y)
dxdy ∫ ∫ f ( ρ ϕ ρ ϕ)
ρdρ
dθ
⎟
D
a ( θ )
⎟
Φ ⎛ 2
⎞
, = ⎜ cos , sin . (4)
⎜
⎝ Φ1
⎠
Pavyzdys. Apskaičiuoti tūrį kūno, gauto, susikirtus
2 2 2 2
sferai x + y + z = 4a ir cilindrui
2 2
x + y − 2ay
= 0 .
> Sritis D yra tarp taškų y = 0 ir y = 2a
, bei linijų
P
θ
x, p
a
ρ
2 a
D
1
ρ = 2a sinθ
y