kart_kreiv_ir_pav_integralai.pdf

Plokštelę, kurios forma atitinka sritį D , o tankis γ = const = 1 , išdaliname į elementarias sriteles
y
D
∆ Si
( i = 1,
2,...,
n)
. Kiekvienoje ∆ Si
sritelėje
paimame tašką Pi ( ξ i,
ηi
) . Tokios elementarios
sritelės inercijos momentas yra
2
2 2
∆Ii
= ri
∆Si
= ( ξ i + ηi
) ∆Si
.
Pi
Susumuokime visus šiuos elementarių sritelių
ηi
∆Si
i ∈ 1,
n momentus
I
0
2 2 ( x y )
= ∫∫ +
D
( )
2 2 ( ξ + η )
© A. Laurutis, D.Šiaučiūnas Paskaitų konspektas 92
n
∑
i=
1
i
i
∆S
ir apskaičiuokime šios sumos ribą, kai
max diam ∆Si → 0 ( n → ∞)
. Ši sumos riba yra
plokštelės inercijos momentas koordinačių
pradžios taško O atžvilgiu.
I
2 2 ( + )
n
0 = lim ∑ i ηi
max diam
∆S
→ i=
1
i 0
i
ξ ∆S
arba
dxdy . (2)
Šios plokštelės inercijos momentus ašių Ox ir Oy atžvilgiu galime apskaičiuoti analogiškai.
I xx
2
= ∫∫ y dxdy , I yy = ∫∫
D
D
2
x dxdy . (3),(4)
Pavyzdys. Apskaičiuokite skritulio, kurio centras yra koordinačių pradžioje, o spindulys – R ,
inercijos momentą jo centro atžvilgiu.
2 2
> Kadangi I0
= ∫∫ ( x + y ) dxdy , tikslinga integruoti polinėje koordinačių sistemoje, tada
( 0,
2π
) ,
( 0,
R)
,
D
2π
R
4
⎧θ
∈
⎛ ⎞ 2 πR
D : ⎨ ir I0
= ρ ρdρ
dϕ
=
⎩ρ
∈ ∫∫ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
.
2
0⎝0 ⎠
Išvada: „vilkelio“ sukimosi apie ašį inercijos momentas yra proporcingas
Pastaba. Jei plokštelės tankis nėra lygus 1, bet kinta, t.y. γ ( x, y)
I
0
=
ri
O ξi
∫∫
D
2 2
( x,
y)(
x + y )
2
γ dxdy , I = ( x,
y)
y dxdy
b) plokštelės masės centras
Materialių taškų P , P2
,..., Pi
,..., Pn
koordinates apskaičiuojame pagal formules
xx
∫∫
D
γ = , tai
∫∫
γ , I = ( x,
y)
1 , turinčių mases m , m2,...,
mi
,..., mn
∑
∑
x
i
∑
∑
yy
D
4
R .<
2
γ x dxdy . (5),(6),(7)
1 sistemos masės centro
ximi
yimi
x c = , y c = . (8)
m
m
Dabar apskaičiuokime plokštelės masės centro koordinates. Analogiškai aukščiau užrašytoms
formulėms (8) galime gauti
i
i