kart_kreiv_ir_pav_integralai.pdf

§ 5. TRILYPIO INTEGRALO APSKAIČIAVIMAS CILINDRINĖJE IR SFERINĖJE
KOORDINAČIŲ SISTEMOSE
Jau žinome, kad funkcijos w f ( x,
y,
z)
= trilypis integralas srityje V , aprašytoje
( a,
b)
,
( ϕ 1(
x)
, ϕ 2 ( x)
) ,
( z = ψ ( x,
y)
, z = ψ ( x,
y)
) ,
⎧x
∈
⎪
stačiakampėje koordinačių sistemoje reiškiniu V : ⎨y
∈
⎪
⎩z
∈
apskaičiuojamas, pakeičiant jį trigubu integralu
1
2
( ) ( )
∫∫∫ ( ) ∫ ∫ ∫ ( )
⎟
( ) ( )
⎟
b ⎛ ϕ2
x ψ ⎛ 2 x,
y ⎞ ⎞
I =
= ⎜ ⎜
⎟
V f x,
y,
z dv
f x,
y,
z dz dy dx .
⎜ ⎜
⎟
V
a ⎝ ϕ1
x ⎝ψ
1 x,
y ⎠ ⎠
Būtina pabrėžti, kad integravimo tvarka gali būti ir kitokia, priklausomai nuo konkretaus
sprendžiamo uždavinio.
1. Cilindrinėje koordinačių sistemoje
taško M padėtis erdvėje nusakoma
koordinatėmis θ , ρ,
z , t. y. M ( θ , ρ,
z)
, čia θ
ir ρ polinės taško A koordinatės
plokštumoje, o z taško M aplikatė.
x, p
z
O, P
θ
ρ
Ryšio lygtys tarp cilindrinių ir stačiakampių
⎧x
= ρ cosθ
,
⎪
koordinačių yra ⎨y
= ρ sinθ
,
⎪
⎩z
= z.
Cilindrinė koordinačių sistemoje dažniausiai naudojama tais atvejais, kai funkcija f ( x,
y,
z)
arba sritis V yra cilindriniai bei sferiniai paviršiai.
Kadangi ∆v = ρ ∆θ∆ρ∆z
, tai dv = ρdθdρdz
ir
∫∫∫
čia f ( x,
y,
z)
f ( ρ cosθ
, ρ sinθ
, z)
= F(
θ , ρ,
z)
V
( x y,
z)
dv = F(
θ , ρ,
z)
= .
© A. Laurutis, D.Šiaučiūnas Paskaitų konspektas 90
∫∫∫
f , ρdθdρdz
, (1)
Pavyzdys. Apskaičiuoti pusrutulio masę M , jei rutulio centras yra koordinačių pradžioje,
spindulys – R , o tankio funkcija – F = kz .
> Viršutinės sferos dalies paviršiaus lygtis yra
Cilindrinėje koordinačių sistemoje
z
( θ,
ρ z)
M ,
N ( θ, ρ )
y
V
x, p
z −
2 2 2
= R − x y .
2 2
2 2
z = R − ρ , nes = x + y
z
O, P
∆θ
∆ρ
ρ∆θ
∆z
ρ , todėl
∆V = ρ
⋅ ∆θ
⋅ ∆ρ
⋅ ∆z
y